Nút thắt màu

8

O. Viro

Nút thắt màu

Nút là gì
Khi xử lý một chủ đề trong đời thực, các nhà toán học thường thay thế nó bằng một đối tượng toán học phù hợp. Nút thắt dây cũng không thoát khỏi số phận này - nó đã bị biến thành nút thắt toán học.

Nguyên mẫu của nút thắt toán học là một đoạn dây được thắt nút với các đầu được buộc chặt.

Một trong những câu hỏi thôi thúc các nhà toán học nghiên cứu về các nút thắt là câu hỏi về nút thắt nào có thể tháo ra mà không bị đứt, và nút nào không thể.

Các đầu của sợi dây trở nên chắc chắn, bởi vì nếu bạn không ngăn chúng bị thao túng, tất cả các nút thắt sẽ được buộc bằng nhau (trên thực tế, bất kỳ nút thắt nào trên dây đều có thể được tháo ra bằng cách kéo từng đầu dây một qua các vòng của nút thắt).

Một cách thuận tiện hơn để loại bỏ rắc rối khỏi việc lo lắng về các đầu sợi dây là nối chúng lại với nhau. Thao tác này được thể hiện trong Hình 1. Kết quả là một đoạn dây biến thành một vòng thắt nút.

Bước tiếp theo của nút thắt toán học là thay thế sợi dây bằng các đường - trục của sợi dây.

Không phải mọi đường đều có thể là trục của một sợi dây. Ví dụ, một đường cong có vô số nút thắt vô hạn (Hình 2) không thể “tăng” thành một sợi dây có độ dày hữu hạn. Những đường cong loại này được xem xét trong toán học; chúng được gọi là các nút hoang dã.

Chúng tôi sẽ không đề cập đến các nút hoang dã ở đây và để loại trừ chúng, chúng tôi sẽ sử dụng định nghĩa sau: nút đa giác là một đường đứt đoạn không gian khép kín, được kết nối, không có điểm tự giao nhau, bao gồm một số hữu hạn các đoạn thẳng.

Định nghĩa này khá phù hợp với cách trình bày trực quan của chúng ta về các nút. Bất kỳ nút thắt đa giác nào cũng có thể được mở rộng thành một vòng dây, và trong bất kỳ vòng dây nào bạn cũng có thể tìm thấy một trục, một đồng

9

được tạo từ một số hữu hạn các đoạn.

Từ “được kết nối” trong định nghĩa của nút đa giác có nghĩa là đường đứt nét không được biểu diễn dưới dạng sự kết hợp của một số đường gãy khép kín. Nếu bạn không tạo kết nối, bạn sẽ nhận được định nghĩa về liên kết đa giác. Hình 3 hiển thị các nút đa giác và Hình 4 hiển thị các liên kết đa giác không phải là nút.

Vì trong bài viết này tất cả các nút và liên kết sẽ có dạng đa giác nên từ “đa giác” sẽ được lược bỏ để cho ngắn gọn.

Cách viết một nút

Khi mô tả một nút, hãy chọn một điểm quan sát sao cho trước tiên, nút đó nằm ở một phía của một mặt phẳng nhất định đi qua điểm này và thứ hai, sao cho dường như không có ba liên kết nào của nút đi qua một điểm. Việc đáp ứng điều kiện đầu tiên có thể đạt được bằng cách chọn một điểm quan sát ở xa nút. Từ một điểm thỏa mãn những điều kiện này, các thang đo có thể được chiếu lên một mặt phẳng, nghĩa là, như thể thu vào toàn bộ không gian bằng cái nhìn của một người. Để thỏa mãn điều kiện thứ hai, điều cần thiết là bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm quan sát đều xác định không quá hai nút liên kết. Việc đáp ứng điều kiện này có thể đạt được bằng cách dịch chuyển điểm quan sát nhỏ tùy ý.

Ở vị trí giao nhau của hình ảnh hai liên kết không giao nhau của một nút, bạn cần chỉ ra liên kết nào gần và liên kết nào xa hơn. Để làm điều này, hình ảnh của liên kết ở xa được vẽ lại, như được thực hiện trong Hình 3 và 4.

Hình ảnh nút thắt được thực hiện theo các quy tắc này được gọi là “thiết kế nút thắt”.

Các nút thắt “có lưới bằng nhau” có nghĩa là gì?

Các chốt dây, được hình thành từ nhau do uốn, giãn, trượt và các biến dạng liên tục khác, một cách tự nhiên.

nhưng hãy xem xét “hướng như nhau”. Biểu diễn trực quan này của cùng một liên kết khi di chuyển đến các nút đa giác biến thành khái niệm đồng vị: hai nút (hoặc nói chung hơn là hai liên kết) được gọi là đồng vị nếu một nút có thể di chuyển từ nút này sang nút khác bằng cách thực hiện tuần tự các phép biến đổi được gọi là đồng vị cơ bản. Đồng vị cơ bản là sự thay thế một trong các liên kết của nút bằng hai đoạn mới, cùng nhau tạo thành đường viền của một hình tam giác, chỉ giao nhau với một nút thẳng dọc theo liên kết được thay thế*) hoặc thao tác ngược lại - thay thế hai liên kết liền kề bằng một đoạn, cùng với chúng tạo thành đường viền của một hình tam giác, chỉ giao nhau với một nút thẳng dọc theo các liên kết được thay thế. Hình 5 cho thấy hai nút được tạo ra từ nhau bằng đồng vị cơ bản.

*) “Hai đoạn mới” này, cùng với mắt xích được thay thế, có thể tạo thành một tam giác “thoái hóa” - một đoạn. Trong trường hợp này, đồng vị cơ bản biểu thị việc bổ sung một đỉnh mới bên trong liên kết.

10

Hình 5.

Tam giác liên quan đến việc xác định đồng vị cơ bản phải được coi là một quỹ đạo biến dạng.

Bài tập 1. Chứng minh rằng các nút có sơ đồ đồng vị giống nhau.

Một nút, một đường viền đồng vị của một tam giác, được gọi là tầm thường. Các nút hiển thị trong Hình 5 là tầm thường. Trình tự các đồng vị cơ bản kết nối chúng với đường viền của tam giác được thể hiện trong Hình 6.

Rõ ràng là các đường viền của hai tam giác bất kỳ là đồng vị, vì vậy tất cả các nút tầm thường đều đồng vị với nhau. Tuy nhiên, các nút tầm thường có thể khá phức tạp.

Bài tập

2. Chứng minh tính tầm thường của các nút được hiển thị trong Hình 7.
3. Chứng minh rằng các nút ở Hình 3a và 3b là đồng vị.

Làm thế nào để chứng minh rằng các nút không đồng vị

Định nghĩa về tính đồng vị ngay lập tức khiến chúng ta phải đối mặt với một khoảng trống: liệu có các nút không đồng vị không?

Cho đến khi chúng tôi có thể trả lời câu hỏi này, tất cả các nút sẽ trông giống nhau đối với chúng tôi.

Chúng ta biết rằng những nút thắt rất phức tạp có thể trở nên tầm thường

Hình 6.

Hình 7.

10

11

Hình 8.

Tuy nhiên, việc đưa ra những bất biến này và nhiều bất biến tương tự không giúp giải quyết những câu hỏi cũ mà dẫn đến việc hình thành những câu hỏi mới. Vấn đề là việc tính toán những bất biến này gây ra những khó khăn tương tự như việc chứng minh một nút thắt không tầm thường.

Điều duy nhất có thể giúp chứng minh một nút không tầm thường là một bất biến tính toán dễ dàng, được xác định không phải thông qua toàn bộ lớp nút đồng vị mà trực tiếp từ sơ đồ nút. Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu một bất biến như vậy.

Sơ đồ nút tô màu theo ba màu

Hãy để tôi nhắc bạn rằng sơ đồ của một nút là hình ảnh của nó trên một mặt phẳng, trong đó hình ảnh của không có ba liên kết nào đi qua một và ở những nơi hình ảnh của các liên kết không giao nhau sẽ giao nhau, hình ảnh của liên kết xa hơn sẽ bị kéo dài quá mức. Do những thay đổi này, sơ đồ nút thắt hóa ra bao gồm một số đường đứt đoạn không giao nhau. Chúng ta sẽ gọi những đường đứt nét này là những phần của sơ đồ. Số lượng của chúng bằng số lần chuyển tiếp, tức là số lần giao cắt.

Để chứng minh tính chất không đồng vị của các nút, việc tô màu sơ đồ của chúng hóa ra rất hữu ích, tuân theo các quy tắc nhất định.

Chúng ta sẽ gọi việc tô màu sơ đồ nút bằng các màu đen, đỏ và xanh lam là chính xác nếu mỗi phần của nó được sơn một màu và gần mỗi điểm giao nhau cả ba phần đều được sơn cùng một màu hoặc xuất hiện cả ba màu. Ví dụ về cách tô màu đúng được thể hiện trong Hình 9, ví dụ về cách tô màu sai được thể hiện trong Hình 10.

Bài tập

4. Chứng minh rằng các sơ đồ nút trong Hình 6 và 7 không thể được tô màu chính xác bằng cách sử dụng cả ba màu, nghĩa là chứng minh rằng các sơ đồ này chỉ chấp nhận ba màu đơn sắc.

5. Chứng minh rằng số cách tô màu đúng của hình ba lá (Hình 8.6) là chín.

Định lý 1 (Định lý chính về cách tô màu ba màu). Số lượng màu chính xác của sơ đồ nút theo ba màu là bất biến của nút.

Trước khi chứng minh Định lý 1, chúng ta hãy thảo luận về một số ứng dụng của nó. Đây là hệ quả đơn giản nhất:

Hệ quả 1. Nếu sơ đồ nút cho phép tô màu đúng thì phần được đề cập là phần ba.

Hệ quả tất yếu này ngay lập tức cho phép chúng ta giải quyết vấn đề được nêu trong Bài tập 4 (các nút được thảo luận ở đó là trivalny). Nhưng điều quan trọng hơn nhiều là một hình ba lá không tầm thường và nhiều nút khác bắt nguồn từ nó.

Hình 9.

Hình 10.

12

Bình luận. Nếu sơ đồ mục tiêu không cho phép tô màu chính xác, trong đó có nhiều hơn một màu, thì không thể đánh giá mục tiêu (nghĩa là nó không đồng vị với bất kỳ mục tiêu nào bao gồm các nút nằm ở phía đối diện của mặt phẳng tân sinh).

Bài toán 8. Chứng minh rằng các mục tiêu trong Hình 4 không được xem xét.

Cách chứng minh Định lý 1

Định lý 1 tuân theo rất chặt chẽ hai định lý sau đây, những định lý này được chứng minh đơn giản nhưng khá phức tạp; các ứng dụng, chắc chắn người đọc sẽ tự tìm thấy chúng.

Định lý 2. Bất kỳ đồng vị chữa lành cơ bản nào cũng có thể được thay thế bằng một chuỗi hữu hạn các đồng vị elematrine, mỗi đồng vị đó thay đổi sơ đồ chữa lành theo một trong những cách được minh họa trong Hình 11.

Ví dụ, đồng vị cơ bản thể hiện trên Hình 12 có thể được thay thế bằng một chuỗi các đồng vị elematrine thể hiện trong Hình 13 (các con số chỉ ra thứ tự thực hiện các đồng vị elematrine).

Định lý 3. Có sự tương ứng một-một giữa cách tô màu ba màu thông thường của các sơ đồ tạo ra từ nhau và các phép toán thể hiện trên Hình 11, trong đó, theo cách tô màu của chúng, các phần không thay đổi của sơ đồ được tô màu giống nhau.

Đối với tất cả các phép toán ngoại trừ phép toán được hiển thị trong Hình 11, 3, phát biểu của Định lý 3 rất khác nhau. Trong trường hợp sau, phép chứng minh dễ dàng rút gọn thành các hình minh họa trong Hình 14.

Tại sao số lượng màu sắc chính xác của sơ đồ là bất biến của một nút?

Tôi hy vọng rằng người đọc đã chứng minh được Định lý 2 và 3, cùng với Định lý 1. Tuy nhiên, câu trả lời cho câu hỏi đặt ra ở tiêu đề của đoạn này là gì?

Bạn bị thuyết phục về sự bất biến của số lượng màu đúng, nhưng,

13

Bạn có thể sẽ nói rằng bạn muốn biết lý do thực sự của hiện tượng kỳ lạ này. Bạn muốn một lời giải thích và muốn hiểu các nhà toán học nên tô màu sơ đồ nút thắt như thế nào. Ngoài ra, bằng chứng này không thể là bằng chứng đầu tiên! Bằng cách này, bạn có thể chứng minh tính bất biến của bất kỳ bất biến nào được xác định bằng sơ đồ nút mà không hoàn toàn hiểu nó đến từ đâu! Rốt cuộc, không rõ tại sao cần phải sơn ba màu và các quy tắc tô màu nảy sinh như thế nào. Cuối cùng, không rõ làm thế nào để khái quát hóa điều này và đây chắc chắn là dấu hiệu của sự hiểu lầm.

Tại sao tôi chọn con đường chứng minh này? Có hai lý do cho việc này. Đầu tiên, bằng chứng thực sự của Định lý 1, làm rõ bản chất của vấn đề, liên quan đến các đối tượng phụ trợ phức tạp, chiếm một vị trí danh dự trong toán học hiện đại, nhưng lại không có trong toán học phổ thông. Tôi muốn trình bày một bằng chứng hoàn toàn cơ bản về sự tồn tại của các nút không tầm thường. Không có bằng chứng nào như vậy trong văn học, và đặc biệt là trong văn học đại chúng. Thứ hai, dựa trên Định lý 2, cái thực có thể chứng minh tính bất biến của bất kỳ bất biến nào được xác định từ sơ đồ. Hãy thử tìm ra một bất biến hoàn toàn mới và chứng minh tính bất biến của nó theo cách này. Nếu nó hoạt động, xin vui lòng cho tôi biết, nó có thể rất thú vị! Có nhiều bất biến đã biết được xác định bằng sơ đồ nút, nhưng hầu hết chúng được xác định đều chứa các khái niệm toán học không cơ bản. Vì vậy, nguy cơ phát minh ra một cái gì đó đã được biết đến là không lớn.

Điều gì thực sự giải thích sự bất biến của số lượng màu đúng? Bất biến quan trọng nhất của một nút là nhóm của nó. Bản thân nhóm nút không phải là một đối tượng đơn giản. Đây là một tập hợp trong đó một phép toán được xác định để thực hiện phép cộng các số nguyên với các kết nối và thuộc tính. Chứng minh rằng hai nhóm nút khác nhau có thể rất khó khăn. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất để làm điều này là nghiên cứu