[Các lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Đại học quốc gia Moscow. MV Lomonosov năm 1980]

51

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Mathematica
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện
   $(x^2 - 4)\sqrt{x + 1} = 0$.

2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $\sin 2x = \sqrt{3}\sin x$.

3. Trong một hình thang, độ dài của đường giữa là 4 và các góc tại một trong các đáy có giá trị $40^\circ$ và $50^\circ$. Tìm độ dài các đáy của hình thang nếu độ dài đoạn nối trung điểm của các đáy này bằng 1.

4. Tiếp tuyến của đồ thị của hàm $\sqrt[3]{x^2}$ sao cho trục hoành $c$ của điểm tiếp tuyến thuộc đoạn $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$. Tại giá trị nào của $c$ thì diện tích của tam giác giới hạn bởi tiếp tuyến này, trục $Ox$ và đường thẳng đứng $x = 2$ sẽ nhỏ nhất và diện tích nhỏ nhất này bằng bao nhiêu?

5. Tìm tất cả các giá trị của $a$, với mỗi giá trị đó bất đẳng thức
   $$\log_1(\sqrt{x^2 + ax + 5} + 1) \cdot \log_5(x^2 + ax + 6) + \log_a 3 \geq 0$$
   có chính xác một lời giải.

Phân tích cú pháp bài toán tùy chọn 1

1. Đáp số. $\{-1, 2\}$.
   Hầu như tất cả các ứng viên đều hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ này. Tuy nhiên, một số đã viết
   $$(x^2 - 4)\sqrt{x + 1} = 0 \iff \left[\frac{x^2 - 4}{x + 1} = 0\right];$$
   Hơn nữa, ngay cả khi giá trị $x = -2$ không được đưa vào đáp số cuối cùng, giám khảo không thể cho rằng bài toán đã giải quyết một cách hoàn hảo.

2. Đáp số. $x_1 = \pi m, x_2 = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n(m, n \in \mathbb{Z})$.
   Gợi ý. Phương trình này bằng sự kết hợp của hai phương trình:
   $$\sin x = 0$$
   $$\cos x = \sqrt{3}/2$$

3. Đáp số. 3 và 5.

Lời giải. Gọi $KM$ là đường trung bình của hình thang, $ABCD, LN$ là đoạn nối hai đáy BC và AD, $BAD = 50^\circ$, $CDA = 40^\circ$. Lưu ý rằng $|AD| > |BC|$ kể từ $BAD + CDA = 90^\circ < 180^\circ$ (Hình 1). Gọi $Q$ là giao điểm của đường $AB$ và $DC$. Vì $CB \parallel AD$ nên tam giác $AQD$ đồng dạng với tam giác $BQC$. Đó là lý do tại sao
$$\frac{|BQ|}{|AQ|} = \frac{|BC|}{|AD|} = \frac{|BC|/2}{|AD|/2} = \frac{|BL|}{|AN|}.$$
Vì $QBC = QAD$ và $\frac{|BD|}{|AQ|} = \frac{|BL|}{|AN|}$ nên các tam giác $QBL$ và $QAN$ tương tự nhau. Do đó $BQL = AQN$ và do đó, các điểm $Q, L, N$ nằm trên cùng một đường thẳng. Tam giác $AQD$ là tam giác vuông vì $AQD = 180^\circ - QAD - QDA = 90^\circ$. Do đó $N$ là tâm của đường tròn được mô tả xung quanh nó; có nghĩa là $|QN| = \frac{|AD|}{2}$. Tương tự như vậy, $|QL| = \frac{|BC|}{2}$. Vì thế,
$$\frac{|AD|}{2} - \frac{|BC|}{2} = |QN| - |QL| = |LN| = 1.$$
Theo tính chất đường trung bình của hình thang $\frac{|AD| + |BC|}{2} = |KM| = 4$.
Từ hệ thống $\left\{ \begin{array}{l} |AD| - |BC| = 2, \\ |AD| + |BC| = 8 \end{array} \right.$ chúng ta tìm thấy $|AD| = 5, |BC| = 3$.
Chỉ có khoảng một nửa số người nộp đơn hoàn toàn có thể đối phó với nhiệm vụ này. Một số người nộp đơn nhận được quyền đáp số đã không thể biện minh cho điều đó. Ví dụ: nếu không có bằng chứng về tư cách thành viên thì điểm $Q, L, N$ nằm trên cùng một đường thẳng.

4. Đáp số. Diện tích nhỏ nhất $\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \cdot \frac{48}{25}$ đạt được ở $c = \frac{4}{5}$.
   Lời giải. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = \sqrt[3]{x^2}$ tại điểm hoành độ $c$ có ​​dạng
   $$y = \sqrt[3]{c^2} + \frac{2}{3\sqrt{c}} (x - c).$$
   Đường thẳng cắt trục x tại điểm $x = -\frac{c}{2}$. Diện tích tam giác $ABC$ (Hình 2) bằng $S(c) = \frac{1}{2} |AB| \cdot |BC| =$

Hình 1.

52

Hình 2.

$$\frac{1}{2} \left( 2 + \frac{c}{2} \right) \cdot \left( \sqrt[3]{c^2} + \frac{2}{3\sqrt{c}} (2 - c) \right) = \frac{(c+4)^2}{12\sqrt{c}}.$$

Vì $S'(c) = \frac{1}{36} c^{-\frac{4}{3}} (c+4) \times (5c-4)$ cho $c > 0$, nên trong khoảng $]0; +\infty[$, hàm $S(c)$ chỉ có một điểm tới hạn $c = \frac{4}{5}$, hơn nữa $S'(c) < 0$ cho $0 < c < \frac{4}{5}$ (hàm tắt) và $S'(c) > 0$ cho $c > \frac{4}{5}$ (hàm tái tạo). Hơn nữa, hàm $S(c)$ liên tục ở $c = \frac{4}{5}$. Do đó, trên đoạn $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$, hàm $S(c)$ đạt giá trị lớn nhất tại $c = \frac{4}{5}$; $S\left( \frac{4}{5} \right) = \sqrt[3]{\frac{5}{4}} \cdot \frac{48}{25}$. Nhiều ứng viên đã không hoàn thành được nhiệm vụ này do mắc lỗi trong quá trình tính toán và biến đổi. Một phần đáng kể các lỗi mắc phải ở lời giải có liên quan đến các điều kiện hình thức của các phần tương ứng trong chương trình giảng dạy ở trường. Nhiều người nộp đơn không thể giải thích chính xác tại sao điểm $c = \frac{4}{5}$ là điểm mà hàm $S(c)$ nhận giá trị cao nhất trên đoạn $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$.

Một số cách là “tên giá trị” và “điểm tối thiểu”.

5. Đáp số. $a = 2$.

Lời giải. Vế trái của bất đẳng thức này được xác định tại $a \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$.

Hãy để $a > 1$ trước. Lấy logarit thứ nhất cơ số 3 rồi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $\log_3 \frac{1}{a} < 0$, ta thu được bất đẳng thức tương đương

$$\log_3 \left( \sqrt{x^2 + ax + 5} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( x^2 + ax + 6 \right) \leq 1.$$

Ở đây chúng tôi sử dụng thực tế là $\log_3 3 \cdot \log_3 \frac{1}{a} = -1$. Hãy để $u = x^2 + ax + 5$.

Khi đó bất đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại thành

$$\log_3 \left( \sqrt{u} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( u + 1 \right) \leq 1.$$

Hàm $f(u) = \log_3 \left( \sqrt{u} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( u + 1 \right)$ được xác định và trả về $[0; +\infty[$. Lưu ý rằng $f(4) = 1$. Do đó $f(u) \leq 1$ khi và chỉ khi $0 \leq u \leq 4$. Do đó, bất đẳng thức ban đầu tương đương với hệ bất đẳng thức

$$0 \leq x^2 + ax + 5 \leq 4.$$

Giải hệ này, ta được

1. $$\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}; \frac{-a - \sqrt{a^2 - 20}}{2}$$

$$\cup \left[ \frac{-a + \sqrt{a^2 - 20}}{2}; \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2} \right],$$

nếu $a^2 - 20 \geq 0$

2. $$\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}; \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2}$$

$$\cup \left\{ a^2 - 4 \geq 0; a^2 - 20 < 0 \right\}$$

3. Giải quyết không nếu $a^2 - 4 < 0$.

Như vậy, hệ thống có chính xác một lời giải nếu $a^2 - 4 = 0$. Xét rằng $a > 1$, chúng ta nhận được $a = 2$.

Nếu $0 < a < 1$ thì bất đẳng thức ban đầu tương đương với bất đẳng thức

$$\log_3 \left( \sqrt{x^2 + ax + 5} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( x^2 + ax + 6 \right) \geq 1$$,

do đó tương đương với bất đẳng thức

$$x^2 + ax + 5 \geq 4.$$

Bất đẳng thức cuối cùng cho bất kỳ $a$ nào có số vô hạn là lời giải; do đó, không có $a$ nào trong khoảng đang xét thỏa mãn điều kiện bài toán.

Hầu hết các ứng viên không thể đối phó với nhiệm vụ này.

Tùy chọn 2

(Khoa Cơ và Toán)

1. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.

$$9 - x^2) \sqrt{2} - x = 0.$$

2. Tìm tất cả các phương trình lời giải

$$\sin x = \sqrt{5} \cos \frac{x}{2}.$$

3. Một đường tròn bán kính 3 nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại điểm $D$. Đường tròn bán kính 4 tiếp xúc với phần kéo dài của các cạnh $AB$ và $AC$ và tiếp xúc với cạnh $BC$ tại điểm $E$. Tìm $|ED|$ nếu góc $BCA$ bằng $\frac{2}{3}$ π.

4. Chất lượng của đồ thị hàm số $\frac{1}{x^2}$ sao cho trục hoành $c$ của điểm tiếp tuyến thuộc đoạn [5, 9]. Tại giá trị nào của $c$ thì diện tích của tam giác giới hạn bởi tiếp tuyến này, trục $Ox$ và đường thẳng đứng $x = 4$ sẽ lớn nhất và diện tích lớn nhất này bằng bao nhiêu?

5. Tìm tất cả các giá trị của $a$, với mỗi giá trị đó phương trình

$$4 - |x - a| \cdot \log_3 \left( x^2 - 2x + 3 \right) + 2 - x^2 + 2x \cdot \log_3 \left( 2 |x - a| + 2 \right) = 0$$

có chính xác ba lời giải.

Tùy chọn 3

(khoa hóa học)

1. Giải phương trình

$$\log_7 \left( \frac{x+3}{21} \right) = \log_7 \left( \frac{2}{3x-6} \right).$$

53

2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$2\cos^2(3x) - \cos(3x) = 0.$$

3. Trên mặt phẳng tọa độ, chúng ta xét các tam giác thẳng $ABC$ ($ACB = 90^\circ$), mỗi tam giác có đỉnh $A$ có ​​tọa độ $(-4; 0)$, đỉnh $C$ nằm trên đoạn $[0; 4]$ của trục $Ox$ và đỉnh $B$ nằm trên parabol $y = 4x - x^2$. Đỉnh $B$ phải có tọa độ bao nhiêu để diện tích tam giác thẳng $ABC$ lớn nhất?

4. Một tam giác cân bằng $ABC$ có đáy $AC$ được nội tiếp một đường tròn tiếp xúc với cạnh $AB$ tại điểm $M$. Qua điểm $M$ một đường vuông góc $ML$ được vẽ tới cạnh $AC$ của tam giác $ABC$ (điểm $L$ là đáy của đường vuông góc này). Tìm độ lớn của góc $BCA$ nếu biết diện tích của tam giác $ABC$ bằng 1 và diện tích của tứ giác $LMBC$ là $S$.

5. Tìm tất cả các giá trị như vậy của $a$, với mỗi giá trị đó số lời giải tương ứng với $x$ của phương trình
   $$3(x^2 + a^2) = 1 - (9a^2 - 2)x$$
   sẽ không vượt quá số lời giải so với $y$ của phương trình
   $$y + (3a - 2)^2 3'' = (8a - 4) \log_3(3a - \frac{1}{2}) - 3y^3.$$

Tùy chọn 4
(Khoa Sinh học)

1. Giải phương trình
   $$1 + 2\cos 3x \cos x - \cos 2x = 0.$$

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm $y(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 10$ trên đoạn $[-5; 4]$.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{-x^2 + 6x} - 5 > 8 - 2x.$$

4. Chu vi của hình bình hành $ABCD$ bằng 26 m. Độ lớn của góc $ABC$ bằng $120^\circ$. Bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác $BCD$ bằng $\sqrt{3}$ m. Tìm độ dài các cạnh của hình bình hành biết rằng độ dài cạnh $AD$ lớn hơn độ dài cạnh $AB$.

5. Tìm tất cả các phương trình lời giải đó
   $$3\sin^3x - 3\cos^2x + 7\sin x - \cos 2x + 1 = 0$$,
   đó cũng là nghiệm của phương trình
   $$\cos^2x + 3\cos x \sin 2x - 8\sin x = 0.$$

Tùy chọn 5
(khoa khoa học đất)

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x - y = 6, \\ x^3 - y^3 = 126. \end{cases}$$

2. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà hàm tùy ý
   $$y = 4x - \sin 2x + 4\sqrt{2} \cos x$$
   bằng không.

3. Hợp âm $AB$ và $AC$ có cùng độ dài. Độ lớn của góc tạo bởi góc nội tiếp trong đường tròn là $\frac{\pi}{6}$. Tìm tỉ số diện tích của phần hình tròn nằm trong góc này với diện tích của toàn bộ hình tròn.

4. Giải bất đẳng thức
   $$4x^2 - 16x + 7 \log_2(x - 3) > 0.$$

Tùy chọn 6
(khoa địa lý)

1. Tính diện tích hình giới hạn bởi trục x và parabol
   $$y = -2(x - 1)^2 + 8.$$

2. Giải phương trình
   $$\log_2(3) = 2.$$

3. Một hình nón bên phải được ghi vào một paramit lục giác đều và một hình nón bên phải được mô tả xung quanh nó. Chiều cao của paramid $H$ và bán kính đáy của hình nón ngoại tiếp $R$ đã cho. Tìm sự khác biệt giữa thể tích của hình nón ngoại tiếp và nội tiếp.

4. Giải phương trình
   $$\cos^6x + \sin^6x = \frac{15}{8} \cos 2x - \frac{1}{2}.$$

5. Tìm tất cả các cặp số $(x; y)$ thỏa mãn điều kiện $x < 0, y > 0$ và hệ
   $$\begin{cases} |y + \frac{1}{x}| + |\frac{13}{6} + x - y| = \frac{13}{6} + x + \frac{1}{x}, \\ x^2 + y^2 = \frac{97}{36}. \end{cases}$$

Tùy chọn 7
(Khoa Kinh tế, Khoa Kinh tế Chính trị)

1. Giải phương trình
   $$\log_2\left(\frac{1}{|x - 1| - 1}\right) = 1.$$

2. Tính diện tích hình được giới hạn bởi bốn đường thẳng: $y = -x^2 + x + 2; y = 0; x = 0; x = 1.$

3. Cho hai đường tròn bán kính 12 cm và 7 cm có tâm tại các điểm $O_1$ và $O_2$ cho trên mặt phẳng, tiếp xúc với một đường thẳng nhất định tại các điểm $M_1$ và $M_2$ và nằm về một phía của đường thẳng này. Tỷ lệ dữ liệu của đoạn $M_1M_2$ với độ dài của đoạn $O_1O_2$ là $\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Tính độ dài của đoạn $M_1M_2$.

4. Có hai hợp kim bao gồm vòng, đồng và thiếc. Được biết, hợp kim thứ nhất chứa 40% thiếc và hợp kim thứ hai - 26% đồng. Tỷ lệ chu kỳ trong hợp kim thứ nhất và thứ hai là như nhau. Hợp kim 150 kg của hợp kim thứ nhất và 250 kg của hợp kim thứ hai nhận được một hợp kim mới, hóa ra có 30% thiếc. Xác định xem hợp kim mới thu được có bao nhiêu kg thiếc.

5. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $k$, với mỗi giá trị đó phương trình
   $$5 - 4\sin^2x - 8\cos^2\frac{x}{2} = 3k$$
   có lời giải. Tìm tất cả những lời giải này.

Tùy chọn 8
(Khoa Kinh tế, Khoa Kế hoạch và Thư viện Kinh tế)

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_5(26 - 3^x) > 2.$$

54

2. Một hình tròn nội tiếp một tam giác vuông có chu vi là 36 cm. Điểm tiếp xúc với đường tròn chia cạnh huyền theo tỉ lệ 2:3. Tìm độ dài cạnh của tam giác.

3. Tìm tất cả các hệ phương trình lời giải
   $$\begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y + 6 = 0, \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y + 4 = 0. \end{cases}$$

4. Trên đoạn $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$ tìm giá trị lớn nhất của hàm
   $$y = 5 \cos x - \cos 5x.$$

5. Trên đường thẳng, các điểm $A, B, C, D$ được sắp xếp tuần tự. Khoảng cách từ điểm $A$ đến các điểm $B, C$ và $D$ có tỷ lệ 1:2:4. Theo hướng từ $A$ đến $D$ dọc đường đều đặn với cùng tốc độ. Lối sang đường dành cho người đi bộ đầu tiên trên đường giữa $A$ và $B$ đã bị vượt vào ngày 3 tháng 8. Lối sang đường thứ hai giữa $A$ và $C$ đã bị vượt vào ngày 4 tháng 8. Người đi bộ thứ ba rời đi $A$ và đến gần $D$, khi tháng 8 tiếp theo đi qua những điểm này. Có bao nhiêu xe buýt đã vượt xe thứ ba trên đường dành cho người đi bộ trên đường từ $A$ đến $D$?

Tùy chọn 9
(Khoa Tâm lý học)

1. Giải phương trình
   $$(\sqrt{3})^{\lg 2x} - \frac{3\sqrt{3}}{3^{\lg 2x}} = 0.$$

2. Tìm tất cả các hệ phương trình lời giải thực
   $$\begin{cases} 2u + v = 7, \\ |u - v| = 2. \end{cases}$$

3. Trong tam giác vuông $ABC$, góc $A$ là góc vuông, độ lớn của góc $B$ là $30^\circ$ và bán kính của đường tròn nội tiếp là $\sqrt{3}$. Tìm khoảng cách từ đỉnh $C$ đến điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp và chân $AB$.

4. Tính tam giác phẳng giới hạn bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị của hàm số $y = \frac{x}{2x - 1}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

5. Chứng minh rằng với mọi số thực $p$ và $t$ thì bất đẳng thức sau đúng:
   $$2(2p - 1)^4 + 1 + [1 - 2(2p - 1)^4] \sin 2t \geq 0,$$
   và tìm tất cả các cặp số $(p, t)$ mà bất đẳng thức này trở thành đẳng thức.
   N. Melnikov, A. Mitsenko

Vật lý

Bài thi vấn đáp

Khoa Vật lý

1. Trong hệ như hình 3, các khối lượng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ nằm trên một mặt phẳng ngang nhẵn. Một sợi dây không trọng lượng và không thể tách rời nối các quả nặng được ném qua các khối nghịch đảo. Không có ma sát trong trục khối. Tại một thời điểm nhất định, các lực $\vec{F}$, hướng thẳng đứng, bắt đầu tác dụng lên trục của khối trên
   54

55

Hình 7. Hình 8.

8. Ở khoảng cách $a=10$ cm với nhau, các thanh ray ngang được đặt bằng một thanh đồng có thể lăn dọc theo chúng. Các đường ray được nối với pin có lực điện động $\delta=3$ V và điện trở trong $r=5$ ohm; Một từ trường được tạo ra vuông góc với mặt phẳng của đường ray. Xác định cảm ứng $|\vec{B}|$ của từ trường mà tại đó thanh sẽ chuyển động với tốc độ ổn định nhất và tốc độ này $|\vec{v}_{\text{mah}}|$. Bỏ qua điện trở của ray và thanh; Lực cản lại chuyển động của thanh được coi bằng $|\vec{F}|=0,06$ N ($\vec{F}$ là lực cơ học).

9. Một bình thủy tinh hình chữ nhật chứa đầy chất lỏng và được chiếu sáng từ đáy của một ngọn đèn nhỏ đặt dưới bình gần đáy. Giá trị nhỏ nhất của chiết suất của chất lỏng $n_{\text{min}}$ mà tại đó không thể nhìn thấy bóng đèn qua thành bình chứa là bao nhiêu?

10. Một lượng $x$ ảnh của một vật nhỏ sẽ bị trộn lẫn với chính vật đó khi nhìn nó qua một lăng kính mỏng có góc khúc xạ nhỏ $\alpha$ (Hình 6)? Khoảng cách giữa vật và lăng kính là $a$, chiết suất của lăng kính là $n$. Các tia rơi trên nguyên tố ở những góc nhỏ.

Khoa Cơ học và Toán học và Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Một đoàn tàu có khối lượng $M=1000$t chuyển động đều trên một đường ray nằm ngang. Một phần toa tàu có khối lượng $m=100$ tấn đã bị tách ra khỏi đoàn tàu. Theo định luật nào thì khoảng cách $s$ giữa các phần của đoàn tàu sẽ thay đổi theo thời gian (trước khi phần tách rời của đoàn tàu dừng lại)? Lực đẩy của đầu máy không đổi, hệ số ma sát là $\mu=5 \cdot 10^{-3}$, gia tốc rơi tự do là $g=10$ m/s².

2. Một bánh xe có bán kính $R=10$ cm có phần phẳng có chiều dài $a=1$ cm (Hình 7). Ở giá trị nào của hệ số ma sát, bánh xe sẽ trượt và không lăn trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn nếu nó bị trục quay kéo phẳng?

3. Hệ thống thể hiện trên Hình 8 bao gồm bốn thanh không trọng lượng giống hệt nhau được gắn bản lề và một lò xo không trọng lượng. Ở trạng thái không tải ($m=0$), các thanh tạo thành hình vuông và chiều dài của lò xo là $l=9,8$ cm. Khi tải nặng $m=500$ g được treo ở bản lề dưới, sẽ có một góc nhọn giữa các thanh $\alpha=60^\circ$. Tìm hằng số lò xo $k$, xét gia tốc rơi tự do $g=9,8$ m/s².

4. Hai bình giống hệt nhau nối một ống với một vòi. Bình thứ nhất chứa 1 mol khí đơn nguyên tử lý tưởng ở áp suất $p=100$ kPa và nhiệt độ $t_1=27^\circ$ C. Bình kia chứa cùng loại khí ở cùng áp suất và nhiệt độ $t_2=227^\circ$ C. Mở vòi và nhiệt độ của các khí cân bằng. Áp suất $p'$ nào sẽ được thiết lập trong hệ thống? Trao đổi nhiệt với môi trường có thể bỏ qua.

5. Hai quả cầu kim loại có bán kính $r_1=0,01$ m và $r_2=0,05$ m đặt cách nhau một khoảng lớn hơn bán kính của chúng rất nhiều. Các quả bóng lần lượt mang điện tích $q_1=8 \cdot 10^{-8}$ C và $q_2=4 \cdot 10^{-8}$ C. Chúng được đặt trong một chất điện môi lỏng và lực tương tác bị thay đổi. Sau đó, các quả bóng được lấy ra khỏi chất điện môi, nối với dây dẫn kết nối trong thời gian ngắn và lực tương tác được đo lại. Cô ấy vẫn không thay đổi. Tìm điện dung ε của chất điện môi.

6. Điện trở $R_{\mu}$ của mạch giữa các điểm $A$ và $B$ là bao nhiêu, nếu nó gồm các phần tử giống hệt nhau thì điện trở của mỗi điểm là $R$? Các phần tử đầu nối tùy chọn được hiển thị trong Hình 9, a và 6.

7. Mạch điện có dạng hình tròn bán kính $R=0,5$ m (Hình 10). Bốn phần tử điện có emf $\delta_1=2$ V, $\delta_2=4$ V, $\delta_3=3$ V và $\delta_4=5$ V được mắc nối tiếp với nhau và có điện trở trong lần lượt là $r_1=1$ Ohm, $r_2=2$ Ohm, $r_3=1$ Ohm, $r_4=0,5$ Ohm. Một từ trường đơn vuông góc với mặt phẳng của mạch điện, hướng về phía sau hình vẽ và quay trở lại theo thời gian theo định luật $|\vec{B}|=kt$, trong đó $k=4T/\text{с}$. Dòng điện $I$ trong mạch là bao nhiêu? Bỏ qua điện trở của các dây nối.

8. Độ sâu của hồ bơi là bao nhiêu $H$ nếu một người nhìn một góc $\alpha=30^\circ$ so với bề mặt

56

Hình 12. Hình 13.

nước, nhìn thấy một đồng xu nằm dưới đáy cách mình $l=0,5$ m so với thực tế? Chỉ báo nạp nước $n=1,3$.

9. Một nguồn sáng chính xác được đặt tại tiêu điểm của một gương cầu lõm có bán kính $R=0,3$ m. Gương được cắt làm đôi dọc theo mặt phẳng chứa trục quang chính và các nửa kết quả được phân tách đối xứng ở khoảng cách $2a=20$ cm dọc theo mặt phẳng cắt (Hình 11). Xác định khoảng cách $s$ giữa ảnh nguồn ở trên và dưới gương.

10. Một nguồn sáng đặt trên trục quang chính phía trước một thấu kính phân kỳ có tiêu cự $F=20$ cm. Ở phía bên kia của thấu kính, một gương phẳng được đặt vuông góc với trục quang chính của thấu kính. Tìm khoảng cách $s$ giữa nguồn và ảnh của nó trong gương. Nguồn nằm cách gương $L=1$ m và cách thấu kính $l=30$ cm.

Khoa Địa lý, Địa chất và Hóa học, Khoa Khoa học Đất

1. Khoảng cách giữa hai ga đường sắt, bằng $s=18$ km, cho phép thời gian $t=20$ phút. $t_1=5$ phút đầu tiên giống hệt nhau (không có tốc độ ban đầu), và sau đó - chậm như nhau cho đến khi duy trì. Xác định gia tốc của đoàn tàu dọc theo đường tăng tốc.

2. Một khối có khối lượng $M=300$ g nằm trên bàn ngang chính (Hình 12). Ở mép bàn có một khối không trọng lượng có thể quay không ma sát. Khối được nối với nhau bằng một sợi dây, được ném qua một khối, có vật có khối lượng $m=100$ g. Tốc độ ban đầu của khối hướng từ khối và bằng $|v_0|=4,9$ m/s. Xác định các đại lượng sau sau thời gian $t=4$ s sau khi khối bắt đầu chuyển động: 1) mô hình và hướng của tốc độ $v$ của khối; 2) khoảng cách $s$ của khối từ vị trí ban đầu của nó.

3. Tần số dao động nhỏ của ma trận toán học trên mặt, spuscocele, với tốc độ không đổi, bằng $v_0=1$ Hz. Tần số dao động $v_1$ sẽ là bao nhiêu nếu thang máy giảm tốc độ với gia tốc $a=-9,8$ m/s²? Gia tốc rơi tự do của vật được coi là bằng $g=9,8$ m/s².

4. Có nước đựng trong một bình hình trụ bằng đồng. Ở nhiệt độ $t_1=15^\circ C$ chiều cao của cột nước là $h_1=1$ m. Mực nước trong bình sẽ tăng bao nhiêu nếu nhiệt độ của nước và bình tăng thêm một

$$\Delta t=5^\circ C? \text{ Коэффициент объемного расширения воды } \alpha=1,5 \cdot 10^{-4} \text{ K}^{-1}, \text{ коэффициент линейного расширения latунни } \beta=2 \cdot 10^{-3} \text{ K}^{-1}.$$

5. Có 1 mol khí lý tưởng chứa trong xi lanh của động cơ nhiệt. Tìm công mà khí $A$ thực hiện trong một chu trình, có sơ đồ như hình 13.

6. Tụ điện bao gồm ba tấm hình chữ nhật phẳng song song, như trong Hình 14. Khoảng cách giữa các tấm là $l_1=1$ mm và $l_2=10$ mm. Diện tích của các tấm là $S=500$ cm². Xác định điện tích $q$ trên tấm ở giữa nếu hiệu điện thế giữa các điểm $A$ và $B$ là $U=100$ V. Khoảng trống giữa các tấm được lấp đầy bằng một chất điện môi có hằng số điện môi $\varepsilon=2$. Hằng số điện $\varepsilon=8,85 \times 10^{-12} \text{Ф}/\text{м}.$

7. Mạch điện là một hình thoi có hai đường chéo làm bằng các dây dẫn giống hệt nhau (Hình 15). Góc $\gamma=60^\circ$. Mạch điện tại các điểm $A$ và $C$ được nối với nguồn có điện áp $U=100$ V. Xác định lượng nhiệt $q$ toả ra trong một đơn vị thời gian trong mỗi dây: $AB, BC, CD, AD, BD$ và $AC$. Điện trở của cạnh hình thoi là $R=250$ Ohm.

8. Một viên pin có suất điện động $\varepsilon_1=12$ V được sạc từ nguồn có suất điện động $\varepsilon_2=18$ V thông qua một đèn sợi đốt, đèn này tiêu thụ công suất $P=24$ W. Sẽ mất $t$ để sạc pin nếu công suất của nó là $C=40$ ampe-giờ? Bạn vẫn giữ nguyên điện trở trong của nguồn và pin.

9. Hai gương phẳng tạo thành hai góc vuông. Một tia sáng chiếu vào một trong các gương một góc $\alpha=\pi/6$ ở khoảng cách $a=20$ cm tính từ mép góc. Mặt phẳng tới vượt quá rìa kirn. Xác định khoảng cách $x$ giữa tia rơi và tia ló (sau khi phản xạ kép).

10. Một nguồn sáng điểm đặt trên trục quang chính của một thấu kính hội tụ mỏng có tiêu cự $F=10$ cm và cách thấu kính $d=30$ cm. Thấu kính đã dịch chuyển theo hướng song song với trục quang mới một khoảng $a=2$ cm. Ở khoảng cách nào $x$ ảnh của nguồn đã dịch chuyển?