Dao động

46

Dao động

Chúng ta gặp phải sự do dự ở khắp mọi nơi. Ví dụ, đây là sự rung động của các nam châm khác nhau và vảy của nhạc cụ, phân tử khí trong sóng âm và phân tử chất lỏng trong sóng biển. Chuyển động dao động được thực hiện bởi các nguyên tử trong chất rắn và bởi các electron là một phần của nguyên tử. Sự dao động của điện tích và dòng điện xảy ra trong các mạch của radio và tivi. Theo các định luật tương tự, hướng của điện trường và trường cảm ứng trong sóng điện từ thay đổi.

Điều đáng kinh ngạc nhất là tất cả những hiện tượng vật lý hoàn toàn khác nhau này đều được mô tả bằng cùng một phương trình toán học, nghĩa là chúng tuân theo một định luật duy nhất. Với quan điểm này, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về hệ thống dao động đơn giản nhất. Chúng ta sẽ giới hạn chỉ xem xét các dao động tự do, khi không có tác động bên ngoài nào lên hệ dao động, các tham số của hệ và các điều kiện xảy ra dao động không thay đổi theo thời gian.

Chúng ta sẽ bỏ qua sự tổn thất năng lượng trong hệ dao động, nghĩa là chúng ta sẽ giả sử rằng tổng năng lượng của hệ không đổi. Tất nhiên, đây là một sự lý tưởng hóa, nhưng nếu tổn thất năng lượng nhỏ hơn đáng kể so với tổng năng lượng của hệ thống, thì các dao động khi thực hiện hệ thống trong một thời gian đủ dài sẽ khác rất ít so với các dao động của hệ thống lý tưởng hóa.

Bài toán 1. Một tải trọng khối lượng m đặt trên mặt ngang chính được gắn vào một bức tường cố định bằng một lò xo cứng k (Hình 1, a). Tải được dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng 00′ một lượng A₀ và được thả ra với tốc độ ban đầu. Tìm thấy:

1. độ dịch chuyển của tải trọng khỏi vị trí cân bằng theo thời gian; 2) sự phụ thuộc thời gian của tốc độ tải; 3) sự phụ thuộc theo thời gian của động năng của tải trọng và thế năng của lò xo; 4) động năng trung bình (mỗi chu kỳ) và thế năng trung bình của một hệ thống nhất định.

2. Giả sử tại một thời điểm t tải ở một điểm có tọa độ x (Hình 1, b). Hãy viết phương trình chuyển động của tải dọc theo trục X. Theo hướng này chỉ có một lực tác dụng lên tải trọng - lực đàn hồi của lò xo $\vec{F}$ hướng về vị trí cân bằng ($x=0$). Hình chiếu của lực này là $F=-kx$ nên phương trình chuyển động của tải trọng có dạng

Hình 1.
Hình 2.

47

$$ma = -kx,$$

(1)

trong đó $a$ là hình chiếu gia tốc của tải tại một thời điểm nhất định. Xét gia tốc là tọa độ tùy ý thứ hai trong thời gian $(a = x'')$, ta viết lại phương trình (1) như sau:

$$x'' + \frac{k}{m} x = 0,$$

hoặc, biểu thị hệ số không đổi $\frac{k}{m}$ bằng $\omega_0^2$, -

$$x'' + \omega_0^2 x = 0.$$

(2)

Phương trình thu được mô tả dao động điều hòa của tải, tức là các dao động trong đó độ dịch chuyển của tải khỏi vị trí cân bằng thay đổi theo thời gian theo định luật

$$x = x_m \cos (\omega t + \varphi_0).$$

(3)

Biểu thức (3) là nghiệm của phương trình (2). Ở đây $x_m$ là biên độ, $\omega$ là tần số tròn, $(\omega t + \varphi_0)$ là pha và $\varphi_0$ là pha ban đầu của dao động.

Để tìm tần số tròn, thay lời giải (3) vào phương trình (2):

$$-x_m \omega^2 \cos (\omega t + \varphi_0) + \omega_0^2 x_m \cos (\omega t + \varphi_0) = 0,$$

hoặc

$$x_m \cos (\omega t + \varphi_0) \cdot (\omega_0^2 - \omega^2) = 0.$$

Đẳng thức này có giá trị tại bất kỳ thời điểm nào $t$, nếu $x_m = 0$ hoặc $\omega_0^2 - \omega^2 = 0$. Vì biên độ dao động không thể bằng 0 nên nó vẫn

$$\omega_0^2 - \omega^2 = 0,$$ hoặc $\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Chúng ta đã thu được một kết quả rất quan trọng: hệ số của $x$ trong phương trình (2) không khác gì bình phương tần số dao động tròn.

Bây giờ chúng ta hãy tìm biên độ dao động và pha ban đầu. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các điều kiện ban đầu: tại thời điểm $t = 0$ độ dịch chuyển $x = A_0$ và tốc độ, là tọa độ tùy ý đầu tiên trong thời gian, $v = x' = 0$. Từ điều kiện thứ hai, chúng ta thu được $\varphi_0 = 0$ và từ điều kiện thứ nhất, $x_m = A_0$.

Như vậy, hỗn hợp hàng hóa thay đổi theo thời gian theo quy luật

$$x = A_0 \cos \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Hình 3.

2. Vận tốc (chính xác hơn là hình chiếu của nó) là tọa độ tùy ý đầu tiên trong thời gian, vì vậy nó phụ thuộc vào thời gian:

$$v = -A_0 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Đồ thị $x = x(t)$ và $v = v(t)$ được thể hiện ở Hình 2.

3. Động năng của tải tại một thời điểm tùy ý $t$ bằng

$$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t,$$

và thế năng của lò xo là

$$E_\pi = \frac{kx^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Hình 3 thể hiện các đồ thị tương ứng.

4. Giá trị trung bình (trong mỗi chu kỳ) của động năng và thế năng bằng các giá trị tương ứng.

$$\overline{E_k} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

Và

$$\overline{E_\pi} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

— giá trị trung bình của $E_k$ và $E_\pi$ là như nhau. (Ở đây người ta sử dụng giá trị trung bình của bình phương sin trong một khoảng thời gian bằng giá trị trung bình của bình phương cosin và bằng 1/2.)

Bài tập 2. Một vòng mỏng có bán kính $r$ lăn không trượt trên mặt trong của hình trụ có bán kính $R$, tạo ra những dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng (Hình 4). Tìm chu kỳ của các dao động này.

48

Hình 4.

Từ lời giải bài toán trước, rõ ràng là để tìm tần số $\omega$ của hệ dao động hoặc chu kỳ $T(T=2\pi/\omega)$ chỉ cần lập một phương trình chuyển động và rút gọn nó về dạng (2). Khi đó hệ số của số hạng thứ hai sẽ cho bình phương tần số.

Rõ ràng là trong phương trình (2), vai trò trộn $x$ có thể được thực hiện bởi bất kỳ đại lượng vật lý nào khác. Chúng ta hãy chọn một góc $\varphi$ sao cho đường thẳng nối khối tâm của vòng và điểm $O$ tạo thành với phương thẳng đứng.

Để lập phương trình chuyển động cho khối tâm của vòng, chúng ta sẽ sử dụng các xét về năng lượng. Trong một số trường hợp, một khoảnh khắc thời gian tùy ý $t$ vòng có động năng $E_{\kappa1}$ gắn liền với chuyển động của khối tâm dọc theo một đường tròn bán kính $R-r$, động năng $E_{\kappa2}$ của chuyển động quay so với tâm khối lượng và thế năng $E_{\pi}$ trong trường hấp dẫn của Trái đất. Gọi vận tốc khối tâm của vòng là $v$; thì động năng là $E_{\kappa1}=mv^2/2$ (m là khối lượng của vòng). Vì vòng mỏng, tức là toàn bộ khối lượng của nó tập trung vào một vòng mỏng, nên động năng là $E_{\kappa2}=mV^2/2$, trong đó $V$ là tốc độ tuyến tính của chuyển động quay của vòng. Do đó, khi lăn mà không xuyên thủng $V=v$

$$E_{\kappa2}=\frac{mv^2}{2}=E_{\kappa1}.$$

Đối với mức thế năng bằng 0, ta chọn mức khối tâm của vòng ở vị trí cân bằng ổn định thì thế năng của vòng tại một thời điểm nhất định sẽ bằng

$$E_{\pi}=mg((R-r)-(R-r)\cos \varphi)= =mg(R-r)(1-\cos \varphi)=\frac{mg(R-r)\varphi^2}{2}$$

Hình 5.

(bình đẳng gần đúng cuối cùng được viết có tính đến độ nhỏ của góc $\varphi$: $1-\cos \varphi=2\sin^2\varphi/2=\varphi^2/2$).

Tổng năng lượng vòng

$$E_{\kappa1}+E_{\kappa2}+E_{\pi}=\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{2}+ \frac{mg(R-r)\varphi^2}{2}=mv^2+\frac{mg(R-r)\varphi^2}{2}$$

vẫn không đổi theo thời gian. Xét mối liên hệ giữa tốc độ $v$ và vận tốc góc của khối tâm trong một đường tròn bán kính $R-r$, động năng $E_{\kappa2}$ của chuyển động quay so với khối tâm và thế năng $E_{\pi}$ trong trường hấp dẫn của Trái Đất. Gọi vận tốc khối tâm của vòng là $v$; thì động năng là $E_{\kappa2}=mV^2/2$, trong đó $V$ là tốc độ tuyến tính của chuyển động quay của vòng. Do đó, khi lăn mà không xuyên qua $V=v$

$$\varphi'(\varphi''+\frac{g}{2(R-r)}\varphi)=0.$$

Vì vận tốc góc $\varphi'$ không bằng 0 nên đẳng thức

$$\varphi''+\frac{g}{2(R-r)}\varphi=0.$$

Đây là phương trình chuyển động của vòng. Do đó, phần hình tròn là $\omega=\sqrt{\frac{g}{2(R-r)}}$ và chu kỳ dao động

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{2(R-r)}{g}}.$$

Bài 3. Trong một hình trụ thẳng đứng có tiết diện $S$, một piston lớn có khối lượng $M$ có thể chuyển động mà không cần mâm (Hình 5). Tàu chứa đầy khí đốt. Ở vị trí cân bằng, khối lượng giữa piston và đáy souza là $h$. Xác định chu kỳ dao động nhỏ xảy ra khi piston chuyển động

49

Hình 6.
từ vị trí cân bằng. Áp suất khí quyển là $p_0$, khí lý tưởng và nhiệt độ khí không đổi.

Để tại một thời điểm nào đó piston di chuyển xuống dưới một lượng nhỏ $x$. Thể tích khí dưới pít-tông giảm sẽ bằng $\Delta V = Sx$, điều này sẽ làm áp suất khí tăng $\Delta p$. Hãy tìm mối liên hệ giữa $\Delta V$ và $\Delta p$. Bởi vì quy trình sản xuất cuộn dây là $pV = \text{const}$ và $\Delta(pV) = 0$. Do đó, $V\Delta p + p\Delta V = 0$ hoặc $\Delta p = -\frac{\Delta V}{V} p = -\frac{Sp}{V} x$.

Do đó, đối với các dao động nhỏ $\Delta V \ll V$ và $\Delta p \ll p$

$$\Delta p = -\frac{(p_0 + Mg/S)}{h} x.$$

Viết phương trình chuyển động của piston:

$$Mx'' = \Delta p S,$$

hoặc

$$x'' + \frac{p_0 S + Mg}{Mh} x = 0.$$

Từ đây ta tìm được tần số tròn $\omega = \sqrt{\frac{p_0 S + Mg}{Mh}}$ và chu kì dao động

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{Mh}{p_0 S + Mg}}.$$

Bài 4. Một mạch dao động gồm một tụ điện có điện dung $C$ và một cuộn cảm $L$ được nối qua các công tắc $K$ với một nguồn có EMF $\delta$ không đổi và điện trở trong $r$ (Hình 6). Chìa khóa được đóng và sau khi chế độ tĩnh được thiết lập trong mạch, nó sẽ đóng lại. Tìm sự phụ thuộc của điện áp vào tụ điện vào thời điểm sau khi mở công tắc. Điện trở ohmic của cuộn dây được xem xét.

Khi công tắc được đóng ở chế độ đứng yên thông qua các cuộn dây, dòng điện trên tụ điện và do đó điện tích trên nó bằng 0, vì điện áp trên tụ điện bằng điện áp trên các cuộn dây và nếu không có điện trở hoạt động của cuộn dây, nó bằng 0.

Sau khi mở chìa khóa, bình còn trống sẽ chảy vào mạch. Giả sử tại một thời điểm nào đó điện tích trên tụ bằng $q$ và hiệu điện thế trên tụ bằng $u$. Rõ ràng, trong trường hợp này điện áp trên cuộn dây cũng bằng $u$. Chúng ta sẽ coi điện áp trên tụ điện là dương khi tấm trên cùng tích điện dương; đối với chiều dương của dòng điện, chúng ta chọn chiều chỉ bằng mũi tên ở Hình 6. Với cách chọn dấu này, mối liên hệ giữa điện tích $q$, điện áp $u$ và dòng điện $i$ sẽ như sau: $i = -q'$, $q = Cu$, $u = Li'$.

Do đó $i = -Cu'$, $u = -LCu''$ hoặc

$$u'' + \frac{1}{LC} u = 0.$$

Ta lại có phương trình mô tả hiện tượng ngắn mạch hài theo thời gian của điện áp $u$ trên tụ điện. Dễ dàng chứng minh rằng cả dòng điện $i$ trong mạch và điện tích $q$ trên tụ điện đều thay đổi theo một định luật tương tự. Xem cho chính mình.

Nói chung, điện áp phụ thuộc vào thời gian trông như thế này:

$$u = U_M \cos (\omega t + \varphi_0).$$

Tần số dao động trong trường hợp này bằng

$$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}.$$

Biên độ và pha ban đầu có thể tìm được từ các điều kiện ban đầu: tại thời điểm $t = 0$ $u = 0$ và $i = \delta/r$. Dễ dàng chứng minh rằng lời giải thỏa mãn điều kiện ban đầu như vậy sẽ có dạng

$$u = \frac{\delta}{r} \sqrt{\frac{L}{C}} \sin \sqrt{\frac{1}{LC}} t.$$

50

Hình 7.

Tại sợi

1. Một quả cầu đặc treo trên một lò xo không trọng lượng thực hiện dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với chu kỳ $T_0$ và biên độ $A$. Chu kỳ dao động sẽ là bao nhiêu nếu một lực tác dụng lên quả bóng bởi một tấm phẳng lớn nằm ngang, mà nó sẽ va chạm đàn hồi theo chu kỳ? Khoảng cách từ vị trí cân bằng của quả bóng đến tấm đĩa là $A/2$, khối lượng của quả bóng nhỏ so với khối lượng của tấm đĩa.

2. Một sợi dây được ném qua một khối đứng yên có dạng đĩa có khối lượng $M$ và bán kính $R$, ở một đầu treo vật có khối lượng $m$, đầu kia được cố định qua một lò xo có độ cứng $k$ (Hình 7). Tìm chu kỳ dao động nhỏ của tải so với vị trí cân bằng. Sợi chỉ không trượt so với khối. Chỉ định và e. Sử dụng phương pháp năng lượng để lập phương trình chuyển động. Động năng của đĩa,

$$MR^2\omega^2/4.$$

3. Một chất lỏng có mật độ $q$ được đổ vào các bình thông có tiết diện $S_1$ và $S_2$ (Hình 8). Khối lượng của toàn bộ chất lỏng là $M$. Bỏ qua sức căng bề mặt và độ nhớt, xác định chu kỳ dao động của chất lỏng quanh vị trí cân bằng.

4. Trong mạch dao động gồm một cuộn cảm và một tụ điện không khí, cường độ dòng điện thay đổi theo thời gian tuân theo định luật điều hòa: $i = I_m \cos \omega t$. Khi dòng điện trong mạch bằng 0, một tấm điện môi có hằng số điện môi $e$ nhanh chóng được đưa vào khoảng trống giữa các bản tụ điện. Thời gian tác dụng của trọng số này ngắn so với chu kỳ dao động của mạch. Tìm sự phụ thuộc của dòng điện trong mạch theo thời gian sau khi treo tấm kim loại đó.

Danh sách độc giả đã gửi đúng lời giải bài toán từ Sách Vấn đề “Kvat”

(Để bắt đầu, xem trang 35)

A. Sanzhur (Kyiv) 18-31; A. Safonov (Barnaul) 18; S. Svetlchikky (Zaporozhye) 19, 21; Yu. Svistunov (Zaporozhye) 25; V. Semenov (Vladimir) 23; A. Sereda (Donetsk) 25, 27, 31; O. Sereda (Berdyansk) 19; V. Sereda (Lviv) 23, 27; A. Sidorenkov (Smolensk) 19, 21, 27—29, 31; V. Sidorin (Rutov) 19, 31; V. Simonov (Moscow) 18, 25, 27, 28; A. Sokok (Talgar) 19, 21; O. Skoptsov (Angarsk) 18, 19, 21; A. Smirnov (Kurgan) 21, 25, 27, 28, 31; I. Smolyarenko (Minsk) 23, 25, 28, 31; A. Sokol (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 18, 25, 28, 29, 31; I. Solovey (Donetsk) 25, 27; V. Solovye (Rybnoe) 23; S. Soloenko (Meluuz) 19; Yu. Spiridonov (Zagorsk) 25, 27, 28, 31; D. Stenanov (Arzamas) 25, 29, 31; A. Phố (Kyiv) 18, 21; D. Suvorov (Sverdlovsk) 28, 31; T. Surova (Stupino) 25, 27; E. Syrchieva (Vyshny Volochek) 18, 25; I. Tavin (Kovrov) 21, 25, 27; S. Takovychky (Zhukovsky) 18; Yu. Taldenko (Sumy) 18, 19, 23, 25, 27, 31; V. Tanasichuk (Horodenka) 23, 27; A. Tereshchenko (Kyiv) 25, 27-29; S. Timofeev (quận Noazovsky, vùng Donetsk) 19; Yu. Topchev (Svetly) 21; V. Faber (Baku) 23, 25, 29, 31; N. Fedin (Omsk) 18, 19, 20, 23, 25, 27, 31; V. Fedyukovich (Kyiv) 18, 20, 21, 27-29, 31, 32; S. Fedykov (Efremov) 28; N. Fesun (Kyiv) 21, 25, 27; A. Flerov (Riga) 18, 19, 27; O. Fonarev (Sumgant) 18, 25, 26; M. Friedman (Lviv) 28, 31; A. Frolov (Tula) 20, 21, 28; S. Frolov (Moscow) 25, 28, 29, 31; I. Kharin (Sukhumi) 23, 25, 27; I. Khasanov (Kokand) 25, 31; S. Khosid (Alma-Ata) 23, 25; A. Tsekhansky (làng Zaprudnya, vùng Moscow) 18, 23, 25, 27-29, 31; Yu. Tsyzdankov (quận Drozhzhanovsky của TASSR) 19-21, 27-29, 31, 32; O. Cherykov (Arkhangelsk) 27; E. Chulkin (làng Ryabovo, UdASSR) 18, 19, 25, 26, 28; A. Chulkov (làng Manykapsky, vùng Tambov) 18—21, 27, 28, 31, 32; V. Shapoval (Vinnitsa) 18, 19, 23, 25, 27, 28; Yu. Shapovalov (Serpukhov) 18, 23, 25, 27; A. Shapenko (Orsk) 18, 19; S. Shary (Novosibirsk) 23; A. Shevchenko (Artemovsk, vùng Donetsk) 19, 28, 29; M. Shevchenko (Artemovsk, vùng Donetsk) 19, 28, 29; L. Yashchuk (Rivne) 25.