Có thể không có đạo hàm

36

G. Perevalov

Có thể nếu không có chương trình miễn phí

Chuyển đổi đồ thị

Trong kỳ thi tuyển sinh, một trong những ứng viên được yêu cầu xây dựng đồ thị của hàm $f(x) = 2\lg(x-1)$. Ông, theo khuyến nghị của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10” (tr. 27), đã tìm ra miền định nghĩa của hàm $f$, tính một $f'$ tùy ý, thấy rằng nó dương ở mọi nơi trên $D(f)$, kết luận rằng hàm $f$ tăng trên $D(f)$, tìm ra giao điểm của đồ thị với trục hoành, ghi lại kết quả của nghiên cứu dưới dạng bảng và xây dựng biểu đồ (Hình 1, a).

Tuy nhiên, biểu đồ mong muốn có thể được xây dựng mà không cần bất kỳ phép tính nào nếu bạn áp dụng các quy tắc chuyển đổi biểu đồ được nêu ở cuối sách hướng dẫn đã đề cập (“Tài liệu để lặp lại”, đoạn 9). Hãy liệt kê các quy tắc này:

1. Đồ thị của hàm $y=f(x)+B$ được lấy từ đồ thị của hàm $y=f(x)$ bằng cách truyền $\vec{r}(0; B)$, tức là truyền song song với trục tọa độ bằng $B$ - hướng lên trên, nếu $B>0$; giảm nếu $B<0$ (Hình 2).

2. Đồ thị của hàm $y=f(x+b)$ được lấy từ đồ thị của hàm $y=f(x)$ bằng cách truyền $\vec{s}(-b; 0)$, tức là truyền song song với trục abscissa $-b$ - sang trái, nếu $b>0$; ở bên phải nếu $b<0$ (Hình 3).

3. Đồ thị của hàm $y=A\cdot f(x)$ thu được bằng cách nhân từng tọa độ của đồ thị hàm $y=f(x)$ với $A$, tức là kéo dài từ trục abscissa với $A$ lần, nếu $A>1$ và trượt về phía trục abscissa $\frac{1}{A}$ lần, nếu $0<A<1$ (Hình 4).

3′. Đồ thị của hàm $y=-f(x)$ có được nhờ sự đối xứng của đồ thị của hàm $y=f(x)$ so với trục abscissa (Hình 5).

4. Đồ thị của hàm $y=f(ax)$ thu được bằng cách trượt đồ thị của hàm $y=f(x)$ sang trục tọa độ $a$ lần, nếu $a>1$ và bằng cách kéo dài đồ thị của hàm $\frac{1}{a}$ lần, nếu $0<a<1$ (Hình 6).

4′. Đồ thị của hàm $y=f(-x)$ thu được nhờ tính đối xứng của đồ thị hàm $y=f(x)$ quanh trục tọa độ (Hình 7).

Để làm nền, bây giờ chúng tôi sẽ trình bày hai quy tắc ít quan trọng hơn, ít phổ biến hơn nhưng có thể hữu ích trong các nhiệm vụ “đăng ký”:

5. Đồ thị của hàm $y=|f(x)|$ trùng với đồ thị của hàm $y=f(x)$ trong đó $f(x) \geq 0$ và thu được từ nó bằng cách đối xứng qua trục hoành trong đó $f(x) < 0$ (Hình 8).

6. Đồ thị của hàm số $y=f(|x|)$ tại $x \geq 0$ trùng với đồ thị của hàm số $y=f(x)$; với $x<0$ hóa ra

37

tính đối xứng của “nửa bên phải” của đồ thị hàm $y=f(x)$ so với trục tọa độ (Hình 9).

Để xây dựng đồ thị của hàm $y=2\lg(x-1)$ bằng phương pháp biến đổi đồ thị, bạn cần dịch đồ thị của hàm $y=\lg x$ song song với trục abscissa sang phải 1 và kéo giãn đồ thị kết quả từ trục abscissa thêm 2 lần (Hình 1, b). Bạn đọc hãy so sánh cách “chung” để xây dựng biểu đồ này (xem phần đầu của bài viết) với cách được trình bày ở đây. Đúng không, cái này đẹp hơn nhiều!

Đôi khi, để áp dụng phương pháp này, trước tiên bạn phải chuyển đổi biểu thức mà hàm được chỉ định. Ví dụ: đồ thị của hàm $y=\frac{2x-3}{3x+5}$ rất dễ xây dựng

38

Hình 10.

Có một phương pháp để chuyển đổi biểu đồ vì
$$\frac{2x-3}{3x+5} = \left(-\frac{19}{9}\right) \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}} + \frac{2}{3}.$$

Hãy viết một “chuỗi phụ trợ”:

$$y_1 = \frac{1}{x}$$
$$y_2 = \frac{1}{x+\frac{5}{3}}$$
$$y_3 = \frac{19}{9} \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}}$$
$$y_4 = -\left(\frac{19}{9} \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}}\right)$$
$$y_5 = \left(-\frac{19}{9}\right) \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}} + \frac{2}{3}$$

Như vậy, đồ thị mong muốn thu được từ đồ thị của hàm $y = \frac{1}{x}$ bằng bốn phép biến đổi liên tiếp: truyền song song

Hình 11.

Tuyến tính với trục abscissa blevо $\frac{5}{3}$, kéo dài từ trục abscissa $\frac{19}{9}$ lần, đối xứng so với trục abscissa và truyền song song với trục tọa độ $\frac{2}{3}$ (Hình 10).

Phương pháp chuyển đổi đồ thị phục vụ một lớp hàm rất rộng. Ví dụ: sử dụng phương pháp này để vẽ đồ thị các hàm $y = \frac{1}{2x-2}$, $y = \lg(-x) + 2$, $y = 3\sin(2x-1) + 5$, $y = \sin^4x + \cos^4x$.

Đừng nhầm lẫn: tất nhiên, đồ thị của hàm $y = f(ax+b)$ thu được bằng cách chuyển đồ thị của hàm $y = f(ax)$ song song với trục abscissa, nhưng bằng cách chuyển nó không phải sang $-b$ mà sang $-\frac{b}{a}$ (tại sao?).

Các quy tắc biến đổi đồ thị được liệt kê ở trên cho phép chúng ta nói rằng nếu số $T$ là chu kỳ của hàm $y = f(x)$ thì chu kỳ của hàm $y = A \cdot f(ax+b) + B$ là số $\frac{T}{a}$ từ tất cả các phép biến đổi.

39

Hành động trên biểu đồ

Đôi khi có thể thu được đồ thị mong muốn bằng cách thực hiện các phép tính số học trên “đồ thị tổng hợp” được chỉ định trong công thức xác định hàm.

Ví dụ 1. Hãy thử xây dựng đồ thị của hàm $f(x) = x + \sin x$ bằng cách sử dụng đồ thị thứ tự của hàm $y = x$ và $y = \sin x$ (Hình 11). Trước hết, chúng ta hãy lưu ý rằng hàm $f$ là số lẻ và do đó chúng ta sẽ chỉ “thêm đồ thị” cho $x \ge 0$. Rõ ràng, ở đâu $\sin x > 0$, đồ thị mong muốn sẽ nằm phía trên đường thẳng $y = x$; trong những khoảng thời gian mà $\sin x < 0$, nó sẽ nằm dưới đường này; tại các điểm $x = \pi k$ ($k \in \mathbb{N}$) nó sẽ cắt nó.

Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ cả hai số hạng đều tăng, có nghĩa là tổng $f$ của chúng cũng sẽ tăng. Nhưng trên đoạn thẳng, chẳng hạn, $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, số hạng thứ nhất tăng, số hạng thứ hai giảm - điều gì sẽ xảy ra với tổng $f$ thì không rõ ràng. Bạn không thể làm gì nếu không tính toán ở đây. $f'(x) = 1 + \cos x > 0$ ở mọi nơi ngoại trừ điểm $x = \pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{N}$). Điều này có nghĩa là hàm $f$ tăng thêm $[0; +\infty]$.

Ví dụ 2. Bây giờ chúng ta thử xây dựng đồ thị của hàm $f(x) = x \cdot \sin x$ bằng cách nhân tọa độ của các đồ thị tương ứng (Hình 12). Hàm $f$ là hàm chẵn nên sẽ “nhảy đồ thị” tại $x \ge 0$.

Ví dụ 15. Trên khoảng $[0; \frac{\pi}{2}]$ cả hai đều dương và tăng, nghĩa là hàm $f$ cũng sẽ tăng trong khoảng này. Nhưng trong khoảng thời gian $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ một trong những cái tích cực với sự trợ giúp của reggae, cái thứ hai sẽ giết chết. Điều gì sẽ xảy ra với công việc? Nếu trong ví dụ trước vẫn có thể thực hiện được mà không cần một chứng minh tùy ý (một bằng chứng không có một chứng minh tùy ý $x_1 < x_2$ ngụ ý $x_1 + \sin x_1 < x_2 + \sin x_2$), thì ở đây khó có thể làm được như vậy. Nghiên cứu về tùy ý ($f'(x) = \sin x + x \cdot \cos x$, $f'(x) = 0 \Leftarrow \mathrm{tg} x = -x$) cho thấy điểm cực trị của hàm $f$ và $y = \sin x$ không trùng nhau (Hình 13).

Ví dụ 3. Đồ thị của hàm $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ có thể dễ dàng xây dựng bằng cách chia đơn vị cho tọa độ của hàm $y = \sin x$ (Hình 14). Cũng dễ dàng xây dựng bất kỳ đồ thị nào có dạng $g(x) = \frac{1}{f(x)}$, nếu biết đồ thị của hàm $f$ (Hình 15).

Cố gắng xây dựng đồ thị của hàm $y = x + \lg x$, $y = 2^x \cdot \sin x$, $y = \frac{\sin x}{1 + x^2}$ theo cách tương tự.