Bức tranh khảm vui nhộn của Sam Loyd

57

Năm nay đánh dấu kỷ niệm 140 năm ngày sinh và 70 năm ngày mất của bậc thầy giải đố nổi tiếng, người phát minh ra “trò chơi số 15” nổi tiếng, một trong những người tiên phong của nhà toán học, tác giả kinh điển của thể loại này, Sam Loyd. Năm 1980, nhà xuất bản “Mir” xuất bản “Toán học Mozic” của Loyd - một tuyển tập các bài toán học hay nhất của ông. bài toán và câu đố.

Bài viết được xuất bản dưới đây, hiển nhiên khi đọc bộ sưu tập độc đáo này, không phải là một giải pháp theo nghĩa được chấp nhận rộng rãi của từ này. Tác giả của nó, một nhà toán học chuyên nghiệp, thích kể lại Loyd theo từng đợt và xem xét chi tiết các câu đố cụ thể, đề xuất những câu đố mới trong quá trình thực hiện, thay vì thảo luận chung về nội dung, ưu điểm và nhược điểm của cuốn sách. Mặc dù có rất nhiều sự vắng mặt trong bài toán của Lloyd (hoặc có lẽ là nhờ họ), đối với chúng tôi, bài báo dường như hay hơn so với lời giải đã hứa truyền tải tinh thần lễ hội của làn sóng phát minh, sự hóm hỉnh và vui nhộn đặc trưng cho cuốn sách của Lloyd.

Bạn bè đối với tôi là “A Mathematical Mozic” của Sam Loyd, khi “ngày hôm kia” vẫn là “ngày mai”, đồng thời yêu cầu trả lại khi “ngày mốt” trở thành “ngày hôm kia” *), để khi “ngày mai” trở thành “hôm nay”, tôi sẽ phải chia tay cuốn sách thú vị này, dường như chưa đọc hết nó - và nó không còn ở cửa hàng nữa! Ngày nào anh ấy đưa sách cho tôi, bạn tự thương lượng rồi tôi sẽ báo cho bạn

*) Câu đố này được lấy cảm hứng từ “lời lảm nhảm khó hiểu” của cô bé Princila từ bài toán Số 183 (độc giả chưa có sẵn sách của Lloyd có thể tham khảo Princila ở trang 50 trong số trước của “Kvat”), và tổng cộng có 280 bài toán và câu đố giải trí trong “Toán học Mozic”, không tính những câu hỏi ngẫu nhiên nảy sinh trong quá trình chuẩn bị sách cho xuất bản (chúng ta sẽ nói riêng về chúng).

chỉ có điều không phải một lần trong năm nó rơi vào ngày trong tuần mà tháng mà tôi viết những dòng này bắt đầu; Hãy đọc trong đầu bạn: hai tháng còn lại trong cùng một năm bắt đầu vào cùng một ngày.

Sau khi giải được câu đố này, bạn và tôi sẽ thấy “Mozic toán học”, phát hành vào tháng 3 năm 1980 với phiên bản đáng giá, đã bán hết nhanh như thế nào.

Nhiều câu đố của Loyd còn sống động hơn câu đố này. Ví dụ: hãy thử giải bài toán Số 45 về một con ngựa con và một con ngựa trắng, mà Loyd thực sự bao quanh với một luồng khí bí ẩn (Hình 1).

Sao chép con ngựa ra giấy, cắt ra 6 phần và sắp xếp chúng sao cho bạn có được hình con ngựa đẹp nhất có thể. Bot và thế là xong! Tuy nhiên, cả thế giới đã bối rối suốt một năm trời trước những hình thù kỳ dị thu được từ 6 bộ phận này. Hàng triệu bản của câu đố này đã được bán.

Cái đẹp (không hề kỳ cục) lời giải của bài toán này là một thủ thuật điển hình của Sam Loyd. Kẻ quỷ quyệt khiến chúng ta thất vọng trong TÁC PHẨM nhỏ hóm hỉnh sau đây:

Số 48. Bò, dê, ngỗng
Một người Đan Mạch với một con dê trên dây và một con ngỗng dưới cánh tay đã gặp một cô gái vắt sữa đang dắt một con bò. Đột nhiên cô gái hét lên sợ hãi.

• Bạn đang làm gì thế? - Hans hỏi.

“Vậy là anh muốn hôn tôi trái với ý muốn của tôi,” người phụ nữ khiêm tốn trả lời.

• Làm sao tôi có thể làm điều này với những con vật đáng sợ này? - Hans gật đầu với con dê và con ngỗng.
  “Điều gì đã ngăn cản bạn cắm cây gậy xuống đất, buộc một con dê vào đó và thả một con ngỗng dưới thùng của tôi?” - cô gái nhấn mạnh.
  “Con bò của bạn đang nhìn sang tôi và sẽ không giả vờ húc tôi vào lúc này,” Hans tự biện minh.
• Ồ, con bò biết đi này không có mông, nhưng nếu bạn đột nhiên bắt cả ba con và đuổi chúng ra đồng cỏ của tôi thì sao? - Christina không bỏ cuộc.

Đây là nơi nảy sinh một câu đố thú vị, hoặc trong cuộc trò chuyện sau đó, hóa ra một con dê và một con ngỗng cùng nhau ăn nhiều cỏ như một con bò. Vì vậy, hãy cho tôi biết, nếu cái cây này nuôi một con bò và một con dê trong 45 ngày, hoặc một con bò và một con ngỗng trong 60 ngày, hoặc một con bò và một con ngỗng trong 90 ngày, thì một con bò, một con dê và một con ngỗng có thể phát triển trên đó bao nhiêu ngày?

Nếu không có phần giới thiệu vui vẻ thì chưa chắc chúng ta đã bắt đầu giải được bài toán - điều chưa từng có này: x=y+z (một con bò ăn cùng một lượng mỗi ngày như một con dê và một con ngỗng),

45(x+y)=60(x+z)=90(y+z),

Ở đâu

45(2y+z)=60(y+2z)=90(y+z),

3(2y+z)=4(y+2z)=6(y+z)…

58

Dừng lại!
Nếu 6y+3z=6y+6z thì z=0, nhưng khi đó 6y=4y; điều này có nghĩa là cả y=0 và x=y+z=0. Tội nghiệp động vật không ăn cỏ!? Nhưng làm thế nào chúng có thể ăn cỏ và thậm chí trong một số ngày khác nhau?
Thật là vớ vẩn!
Nếu không thông cảm cho Hanz và Christina, những người vừa khiến chúng tôi cười một cách rạng rỡ, có lẽ chúng tôi đã bỏ rơi những cuộc tấn công vụng về như cỏ của họ. Chúng tôi đã lập luận chính xác - điều đó có nghĩa là đã xảy ra lỗi hoặc lỗi đánh máy trong các điều kiện!
Không không! Không phải nhầm lẫn, không phải lỗi đánh máy mà là cái chết có chủ ý của kẻ chế nhạo Loyd.
Ngỗng ăn cỏ: z>0. Điều này có nghĩa là 45(x+y)=45(2y+z)<90(y+z) - một con bò và một con dê sẽ ăn ít cỏ hơn trong 45 ngày so với một con dê và một con ngỗng sẽ ăn trong 90 ngày!
Làm thế nào tôi có thể thay đổi? Người ta thường nói: “Đồng cỏ này sẽ nuôi một con bò và một con dê trong 45 ngày, hoặc một con dê và một con ngỗng trong 90 ngày”.
Vậy thì sao? Chúng không ăn đồng cỏ mà ăn cỏ. Cỏ đến từ đâu? Đang phát triển. Thế đấy, nó đang phát triển! Và trong 90 ngày, nhiều cỏ sẽ mọc hơn trong 45 ngày!
Vì vậy hãy biểu thị bằng t sự phát triển hàng ngày của cỏ, tạo các phương trình mới và giải chúng*)! Đồng thời, xác định xem cỏ đã mọc trên cây bao lâu trước khi bắt đầu cắt**), và nhân tiện, hãy cho tôi biết chiều cao của cây trượng xấp xỉ bằng bao nhiêu mà koeda được thể hiện trong Hình 2.

*) Bạn có thể thực hiện mà không cần phương trình bằng cách sử dụng sai phân số học thuần túy. Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng bài toán Loyd không phức tạp (không giống như đối tượng đang được xem xét) chỉ yêu cầu sự tháo vát nếu giải chúng bằng số học và hơi buồn tẻ hơn khi sử dụng ngôn ngữ đại số cơ bản, tuy nhiên, để lại rất nhiều tiêu chuẩn bài toán để soạn phương trình.

**) Tôi đã làm được 1/2 năm một lần, ngay cả khi Christina cho con bò của mình ăn ở một nơi khác suốt thời gian này - để trời không có tuyết vào cuối mùa vọng! Tuy nhiên, kiểu mâu thuẫn này sẽ không khiến Loyd bối rối, người có vợ Smith mới 15 tuổi (bài toán số 99) và những học sinh chưa biết chữ chưa được hai tuổi (vấn đề số 32).

Hình 2.

Người bán hàng sẽ tức giận: “Điều này không khoa học - cả bài toán của chính cô ấy và sự hiểu biết của bạn! Cần phải đơn giản tạo 4 phương trình với 3 ẩn số: x=y+z, 1=45(x+y), 1=60(x+z), 1=90(y+z), ký hiệu là x, y, z đồng cỏ bị động vật ăn hàng ngày. Bài toán được định nghĩa quá mức và do đó mâu thuẫn. Và nếu nó cần phải tính đến sự phát triển của cỏ thì việc này phải được thỏa thuận trước!”

Tôi nên trả lời anh ấy thế nào đây? Hãy cảnh báo anh ta rằng trong bài toán số 32 từ cuốn sách của Loyd đáp số - không phải 3,5 năm - người trống hỏi trước về điều này. Và liên quan đến thực tế rằng “câu đố không phải là khoa học”, đề cập đến các nhà chức trách: “… không phải mọi thứ không phải là khoa học đều nhất thiết phải là pluo (“Bài giảng Vật lý của Feynman”, tập 1, trang 55).

Tất nhiên, câu đố không phải là khoa học (mặc dù trong khoa học - không giống như sách giải bài tập tiêu chuẩn - các điều kiện bài toán thường thay đổi nhiều lần trong quá trình lời giải), đây là một thể loại hoàn toàn khác - giải trí, dễ, vui! Loyd không tỏ ra khoa học khi báo cáo (trong bài toán Số 65) nơi tìm kiếm nguồn gốc của câu chuyện nổi tiếng về quả trứng của Columbus, hoặc nói chuyện (trong bài toán Số 107) về quyền của các nữ tu Tây Ban Nha bị người Frank bắt giữ.

Số 65. Bài toán Columbus
Vào thế kỷ 15, mọi người đam mê trò chơi cờ bạc. Trong số đó có trò chơi với những quả trứng gà, dường như có thể tìm ra nguồn gốc của câu chuyện nổi tiếng về quả trứng của Columbus, cùng với việc phát hiện ra châu Mỹ, đã làm nên tên tuổi của Nhà hàng hải vĩ đại.
Hai người chơi lần lượt đẻ trứng theo cách giống nhau -

Hình 3.

59

Hình 4

thay đổi: 3 yêu cầu của cô vẫn được đáp ứng, mặc dù chín nữ tu đã mất tích.

Có bao nhiêu nữ tu sống trong tu viện và họ được bố trí trong phòng giam như thế nào?
lời giải có phải là điều duy nhất? Đặt dòng căn đều đáp số.

Tiểu thuyết đặc biệt của Loyd là những văn bản tươi sáng, đầy hóm hỉnh, không quá liên quan đến sinh vật bài toán, nhưng tạo ra tâm trạng phấn chấn cho người đọc và truyền cảm hứng cho anh ta để giải đáp những câu hỏi phức tạp và hóc búa. “Những gì học được với sự hài lòng và hứng thú,” Loyd nói trong một trong những câu đố qua miệng gã hề Beppo, “không bao giờ bị quên… Một giáo viên buộc bạn phải ghi nhớ các quy tắc chỉ có ích cho việc tiếp nhận!”

Đôi khi Loyd thay đổi nguyên tắc này bằng cách cung cấp công thức cho lời giải câu đố của mình mà không có bất kỳ nghĩa vụ nào. Ví dụ: bài toán Số 145 nói về Tom, con trai lao động. Ở các nước nói tiếng Anh, ai cũng nhớ một câu chuyện có vần điệu thuở nhỏ: “Tom, Tom là con trai của người lao động, nó ăn trộm một con lợn và cho nó đi…” Kết thúc câu chuyện này thật buồn: con lợn bị ăn thịt và Tom bị đánh. Lloyd cho chúng ta biết sự khởi đầu của nó: cuộc săn lợn của Tom diễn ra như thế nào (Hình 4).

…Tom, con trai lao động, quyết định ăn trộm con lợn. Khi anh đuổi theo đàn lợn, anh cách cô 250 dặm về phía nam. Cả con lợn và Tom đều chạy cùng một lúc với tốc độ không đổi (Tom nhanh hơn con lợn 4/3 lần). Con lợn chạy về phía đông. Thay vì chạy qua đường*, người thợ xây Tom nổi điên đến mức bất cứ lúc nào anh ta cũng lao thẳng về phía con lợn. Con lợn sẽ chạy bao xa trước khi bị bắt?

Hơn nữa, các điều kiện cho biết: “Quy tắc đơn giản để giải bài toán thuộc loại này dựa trên số học cơ bản, nhưng nó có thể mới đối với nhiều người yêu thích câu đố.”

Tôi không biết mình là một nhà toán học như thế nào, nhưng nhận định như vậy thật đáng báo động đối với một chuyên gia toán học: hãy biểu thị bằng $R_T$ và $R_C$ khoảng cách mà Tom và con lợn sẽ chạy; Tom đánh trên một đường cong khá phức tạp (theo cái gọi là “linini Chase”), và nói chung, việc huýt sáo $R_C$ (và do đó $u_R = \frac{4}{3} R_C$) sử dụng số học cơ bản gây ra sự ngờ vực.

Chúng ta hãy cùng nhau nhập dữ liệu theo thứ tự chữ cái: trống $r$ - khoảng cách ban đầu giữa Tom và những con lợn, $v_T$ và $v_C$ - tốc độ của chúng và $\omega = |v_C|/|v_T|$ (trong bài toán $r = 250$ yard, $\omega = 3/4$).

Xét hai phụ bài toán:

Cho Tom và chú lợn chạy một đường thẳng, một lần - Tom đi theo đàn lợn, lần khác - về phía nhau. Sau đó (kiểm tra), hãy tóm lấy con lợn, Tom sẽ chạy quãng đường tương ứng $R_1 = r/(1-\omega)$ và $R_2 = r(1+\omega)$.

Trong lời giải bài toán Số 145, Loyd nêu các quy tắc mà không có lời giải thích hoặc bằng chứng: $R_T = (R_1 + R_2)/2$.

Ngay khi nhìn vào công thức cực kỳ đơn giản này, phần lớn các nhà toán học nhân tạo (những người chưa từng nghiên cứu bài toán đuổi theo) sẽ thốt lên: “Điều này không thể được!” - và sẽ ngạc nhiên về cách mà người biên tập cuốn sách, Martin Gardner, và người dịch, Yu. N. Sudarev (nói chung là đáng được khen ngợi nhất) đã không nhận ra sai lầm hiển nhiên này!

Điều tuyệt vời nhất là quy luật này… chính xác! Thật kỳ lạ, $R_T$ thực sự bằng $r/(1-\omega^2) = (R_1 + R_2)/2$, điều này cho chúng ta một công thức cực kỳ đơn giản cho $R_C$: $R_C = r(\omega)/(1-\omega^2) = (R_1 - R_2)/2$.

Chưa hết, có hại gì không khi nói rằng các công thức cho $R_C$ và $R_T$ đều dựa trên số học cơ bản: đạo hàm của chúng*) đòi hỏi phải làm quen với những bước đầu của phân tích toán học.

Vâng, cân nặng không hề dễ dàng bài toán về Tom, đứa con lao động! Nhưng câu đố còn khó hơn:

Con gái của nông dân Smith, cô Pocahont, 24 tuổi, thuyền trưởng John bé nhỏ của em trai cô 3 tuổi. Mỗi người trong số 13 ngày nghỉ trang trại còn lại bao nhiêu tuổi nếu tất cả 15 đứa trẻ nhà Smith sinh cách nhau 1 năm?

Một tình huống khá bí ẩn! Nếu họ của người nông dân là Hont chứ không phải Smith, thì có thể điền vào đó là một loại lời giải siêu phức tạp nào đó bằng cách chơi chữ. Nhưng không! Chúng ta. 162 nó được viết bằng chữ đen trắng rằng họ của người nông dân là Smith (hoàn toàn phù hợp với câu chuyện khiến mọi người Mỹ phải lo lắng về việc ngày xưa một thủ lĩnh người da đỏ tên là Pocahont đã yêu một thuyền trưởng John Smith nào đó).

Chúng ta. 162? Hãy để tôi nói cho bạn biết, điều này không giống nhau bài toán:

Số 154. Cô Pocahont bao nhiêu tuổi?

15 đứa con của nông dân Smith được sinh ra cách nhau chưa đầy 1 năm. Pocahont, con cả, lớn hơn thuyền trưởng John, con út 8 lần. Cô Pocahont bao nhiêu tuổi, ngoại trừ số 154 thì Lloyd không có!

*) Chúng tôi sẽ trình bày nó bằng một trong các số sau đây của mức trung bình lời giải của các câu đố còn lại được cung cấp trong nhãn này.

60

Câu đố đến từ đâu trong đó cô Pocahont 24 tuổi? Như bạn có thể đã đoán, đây là lỗi đánh máy từ đáp số đến bài toán số 154.

Than ôi, đây không phải là vấn đề duy nhất không đáng kể khi chuẩn bị in sách. Một sự hiểu lầm đáng tiếc không kém đã xảy ra với Mary (chị gái của Anne), người mà Loyd yêu cầu tính tuổi bằng cách sử dụng các điều kiện khó hiểu của bài toán Số 127:

Ông nội nói: “Con thấy đấy, tổng số tuổi của Mary và Ann là 42 tuổi, và Mary gấp đôi tuổi Ann khi Mary chỉ bằng một nửa tuổi Ann khi Ann lớn thứ hai so với Mary khi Mary lớn hơn Ann thứ hai.” Mary bao nhiêu tuổi?

Chúng tôi cho rằng cần phải cảnh báo những độc giả đã thoát khỏi những tình tiết phức tạp này: đừng nhìn vào đáp số - Mary chưa 27,5 tuổi.

Tất nhiên, thật đáng tiếc cho cả Pocahont và Mary tội nghiệp, những người đã kết hôn trong nước mắt, nhưng số phận không thể chối cãi của họ chẳng là gì so với số phận của Lou Dillon vĩ đại và những điều kỳ quặc của bài toán Số 215, tất nhiên, phần chính của nó là đáp số với bài toán này, được in trên trang. 324:

Con ngựa chạy liên tiếp một phần tư dặm trong 27 1/4, 27, 27 1/8 giây, tương ứng, và một dặm trong 1 phút 48 1/2 giây.

Để chúng ta có thể đánh giá nó, đây là các điều kiện:

Số 215. Đang chạy trốn

Một ngày nọ, tại cuộc đua với nữ hoàng đường đua Lou Dillon, một bài toán khá kỳ lạ xuất hiện, hóa ra lại quá khó đối với những giám khảo không giỏi toán. Giám khảo đầu tiên tính thời gian (81 3/8 giây) mà Lou chỉ chạy 3/4 dặm đầu tiên, và giám khảo thứ hai tính thời gian (81 1/4 giây) Lou chỉ chạy 3/4 dặm cuối cùng. Giả sử Lou chạy nửa dặm đầu tiên cùng thời gian với nửa dặm thứ hai. Bạn có thể dự đoán Lou mất bao nhiêu giây để chạy được một dặm?

Hình 5.

Vì chúng ta đang nói về bài toán Số 215, hãy giải (chỉ nhanh thôi!) câu tiếp theo (gần như cũng lạ không kém) bài toán:

Album bút chì đắt tiền trị giá 47 kopecks. Một cây bút chì cho 2 album giá bao nhiêu?

Những con số 154, 127, 215,… Danh sách đáng buồn này có thể còn tiếp tục. Một bộ sưu tập các tác phẩm bài toán của Loyd đã được con trai ông xuất bản sau khi tác giả qua đời. Cuốn sách chứa đầy những điểm không chính xác và lỗi chính tả. Sửa lỗi (và rút ngắn độ dài của cuốn sách, rút ​​ra những điều hay nhất) bằng cái nhìn của Martin Gardner. Anh ấy luôn không nhận thấy một số lỗi mà thật không may, đã được đưa vào ấn bản tiếng Nga. Vì vậy, đối với những người sẽ chuẩn bị ấn bản mới *), chúng tôi đề cập đến đoạn mã sau (hy vọng rằng nó được hát chính xác - nhà xuất bản câu đố phải yêu thích câu đố):

IVSPTREA SRTYAE OSHKII VÀ OPHARMACY VÀ KHÔNG PHẢI DYETLEA NYUHV!

Đối với độc giả (có tính đến việc “Moznik toán học” không bao gồm một số ngôn ngữ, đặc biệt là tiếng Anh bài toán), chúng tôi cung cấp thêm một số câu đố - bắt chước Loyd - dưới tên chung

chuông

Có 3 từ “vô tình” được viết bằng slino. Chèn 2 dấu cách vào giữa chúng để tạo thành một cụm từ có ý nghĩa vừa phải. Viết nó trên 18 hình khối (16 chữ cái và

*) Không còn nghi ngờ gì nữa, nó sẽ bán hết nhanh chóng như chiếc đầu tiên. Bản sao của Loyd có giá bao nhiêu? Anh ấy đã quen với hàng triệu người!

Hình 6.

nằm ngang (không tháo khỏi rãnh và di chuyển lần lượt) sao cho chữ có thể đọc từ trái sang phải.

Sau một thời gian, bạn có thể học cách di chuyển các khối vào vị trí tương ứng với 9 và 8 lần di chuyển (do đó di chuyển từng khối trực tiếp đến vị trí cần giữ nguyên). Loyd sẽ nói về trò chơi này: “Đơn giản như một quả cam!” Đây chính xác là những gì nhà ảo thuật và trí thông minh này thường nói khi lấy ra một con thỏ khác, hoặc thậm chí là một con mèo - hoặc thậm chí là một con chó - từ chiếc mũ của mình!

M. Gerver

*) Chúng tôi cảnh báo người đọc - không chỉ Loyd mới thích những chiêu trò!