Các phương trình nghĩ cho chúng ta

42

V. Nakhshin

phương trình
nghĩ cho chúng tôi

Lời giải bất kỳ tính toán bài toán nào trong vật lý bao gồm hai phần - vật lý và toán học.

Trong khi chúng tôi nghĩ về các điều kiện bài toán, phân tích hiện tượng này xảy ra theo các định luật vật lý nào và soạn thảo hệ phương trình tương ứng, chúng tôi là những nhà vật lý. Sau đó, vật lý tạm thời mờ dần. Bây giờ chúng ta là những nhà toán học, và chúng ta đang phải đối mặt với các vấn đề khác: làm thế nào để giải hệ phương trình kết quả một cách hợp lý nhất và tìm đáp số? Hơn nữa, đáp số phải được tìm thấy ở dạng chung (nghĩa đen), sao cho dấu bằng là đại diện cho số lượng mong muốn (trong ký hiệu chữ cái) và ở bên phải - sự kết hợp của các đại lượng chỉ đã biết (giống nhau trong ký hiệu chữ cái tương ứng).

Nhưng bây giờ đáp số đã thu được ở dạng tổng quát và chúng ta lại chuyển sang vật lý: trước khi thay thế dữ liệu số, chúng ta cần kiểm tra thứ nguyên của đại lượng mong muốn và phân tích đáp số theo quan điểm về độ giống nhau của nó. Nếu kích thước đúng và đáp số hợp lý, bạn có thể thay thế dữ liệu và đếm.

Các giai đoạn được mô tả lời giải thực tế vốn có trong tất cả các nhiệm vụ. Tuy nhiên, đôi khi - và chính những trường hợp như vậy sẽ được thảo luận trong bài viết - sau khi tính toán, người ta thu được kết quả vô lý cần thiết, điều này cho thấy rằng lời giải không chính xác. Ví dụ, điều này xảy ra khi cả điều kiện bài toán, trực giác hay lẽ thường đều không thể cho biết quá trình này hoặc quá trình kia đang diễn ra theo hướng nào hoặc kết quả cuối cùng là gì.

Khi tiếp cận lời giải như vậy bài toán, chúng ta buộc phải đưa ra một số phương án và theo đó, tạo ra một hệ phương trình. Nếu đáp số trở nên vô lý, bạn không nên đăng ký. Chúng tôi chỉ không may mắn: giả định của chúng tôi hóa ra là sai. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn nhận được thông tin - quá trình này không diễn ra theo hướng mong đợi. Chà, hãy nói một lựa chọn khác, v.v. Vấn đề trở thành một nghiên cứu nhỏ và các phương trình biến thành một thứ gì đó giống như một bài tập thiền định. Cuối cùng, họ sẽ không làm chúng tôi thất vọng (tất nhiên, nếu chúng tôi không làm họ thất vọng, tức là chúng tôi không mắc lỗi khi biên soạn lời giải) và sẽ cho chúng tôi biết về hướng đi thực sự của quá trình hoặc kết quả cuối cùng.

Hãy cùng xem xét một vài bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Ở phía trên của mặt phẳng nghiêng lấy kéo có một khối để luồn chỉ qua đó (Hình 1). Hai vật có khối lượng $m_1=3$ kg và $m_2=2$ kg được gắn vào cuối đường. Tìm gia tốc của hệ và lực ma sát giữa vật thứ nhất và mặt phẳng nếu hệ số ma sát là $\mu=0,5$ và mặt phẳng so với đường chân trời $\alpha=30^\circ$.

Hệ thống đang tăng tốc ở đâu và nó có đang chuyển động không? Không rõ ràng về điều kiện bài toán. Trong khi đó, điều rất quan trọng là phải biết điều này. Vì vậy, nếu hệ thống

44

máy bay. Đây là hình chiếu của lực hấp dẫn, có mô đun bằng $m_1 g \sin \alpha = 15$ N, và lực căng của sợi dây, mô hình của nó có thể được tìm thấy từ điều kiện phần còn lại của vật thứ hai: $T = m_2 g = 20$ N. Do đó, lực ma sát tĩnh hướng dọc theo mặt phẳng xuống dưới và có mô đun bằng nhau

$$F_{\text{тр.п}} = T - m_1 g \sin \alpha = 5 \text{ Н}.$$

Nhân tiện, không khó để chứng minh rằng trong trường hợp này lực ma sát $F_{\text{тр.п}} = 5$ N thực sự nhỏ hơn $\mu N = \mu m_1 g \cos \alpha \approx 13$ N.

Bài toán 2. Trong lò sưởi chứa $m_1 = 3$ ke đá ở nhiệt độ $t_1 = -10^\circ C$, độ ẩm $m_2 = 2$ ke nước ở nhiệt độ $t_2 = 80^\circ C$. Nhiệt độ nào được thiết lập do sự trao đổi nhiệt? Bỏ qua công suất nhiệt của lò sưởi.

Rõ ràng là nhiệt độ cuối cùng $t$ nằm trong khoảng từ - 10 đến +80 ° C:

$$-10^\circ C < t < 80^\circ C.$$

Do đó, nó có thể lớn hơn 0°C—nhiệt độ hấp dẫn của băng—hoặc nhỏ hơn hoặc bằng nhiệt độ này. Không thể nói trước chính xác nó diễn ra như thế nào. Chúng ta sẽ tiến tới mục tiêu “bằng cách chạm”, xem xét các lựa chọn khả thi và dựa vào ý chí của phương trình.

Giả sử rằng $t > 0^\circ C$, tức là sẽ chỉ có nước trong lò sưởi. Sau đó, băng nhận nhiệt theo ba giai đoạn: trở thành băng, nóng lên từ -10 đến 0°C, biến thành nước ở 0°C và vốn đã là nước, nóng lên từ 0°C đến $t$. Trong trường hợp này, nước chỉ tỏa nhiệt khi được làm lạnh từ nhiệt độ $t_2$ đến $t$. Viết phương trình cân bằng nhiệt tương ứng:

$$c_1 m_1 (0 - t_1) + \lambda m_1 + c_2 m_2 (t - 0) + c_2 m_2 (t - t_2) = 0,$$

trong đó $c_1 = 2,1 \cdot 10^3$ J/(kg K) và $c_2 = 4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K) là nhiệt dung riêng của băng và nước, và $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ J/kg là nhiệt dung riêng của băng tan. Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy

$$t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2 - \lambda m_1}{c_2 (m_1 + m_2)}.$$

Thay thế dữ liệu số, chúng ta nhận được $t < 0^\circ C$. Điều này có nghĩa là giả định của chúng tôi là không chính xác.

Bây giờ hãy giả sử rằng $t < 0^\circ C$. Trong trường hợp này, nước tỏa nhiệt theo ba giai đoạn - làm mát đến 0°C, biến thành băng ở 0°C và làm lạnh dưới dạng băng đến nhiệt độ mong muốn $t$, và băng năm đầu chỉ nhận nhiệt trong một giai đoạn - làm nóng từ $t_1$ đến $t$:

$$c_1 m_1 (t - t_1) + c_2 m_2 (0 - t_2) - \lambda m_2 + c_1 m_2 (t - 0) = 0.$$

Giải phương trình này, ta được

$$t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2 + \lambda m_2}{c_1 (m_1 + m_2)}.$$

Hãy thay thế dữ liệu số và đảm bảo rằng $t > 0^\circ C$. Vì vậy câu thứ hai cũng sai.

Lựa chọn duy nhất còn lại là $t = 0^\circ C$. Đây sẽ là đáp số bài toán.

Ở đây, chúng tôi thấy trước một số sự thất vọng đối với người đọc: tại sao tác giả lại cố tình chọn những ví dụ trong đó tất cả các câu ban đầu đều sai và cả hai cột lời giải rườm rà đều dẫn đến kết quả tương đối đơn giản ($a = 0, t = 0^\circ C$)? Trên thực tế, tại sao không đưa ra trước những lựa chọn đơn giản này?

Con đường này có thể thực hiện được, nhưng nó không hứa hẹn sự nhẹ nhõm. Vì vậy, ở phần bài toán đầu tiên đề xuất đứng yên và không có công thức tính lực ma sát tĩnh, chúng ta phải lập hệ ba phương trình cân bằng, nhưng sau khi giải và tìm ra lực ma sát, chúng ta nhất định phải kiểm tra xem thực tế nó có nhỏ hơn lực ma sát trượt hay không. Nếu không phải vậy, bạn sẽ phải bắt đầu lại mọi thứ lời giải được mô tả ở trên.

Trong bài toán thứ hai, bằng cách đề xuất $t = 0^\circ C$, chúng ta phải xác nhận phương trình cân bằng nhiệt này, nhưng chúng ta không biết cách xây dựng nó. Chúng ta không biết cái nào bằng 0: băng “từ bên dưới” hay nước “từ bên trên”, và kết quả là - có một phần (và phần nào) băng tan chảy hoặc một phần nước bị đóng băng? Tất nhiên, bạn có thể cung cấp một cái gì đó, nhưng số lượng tùy chọn sẽ không ít, và thậm chí nhiều hơn so với lời giải trên.

Bài 3. Tìm dòng điện trong tất cả các nhánh của mạch như hình 4. Ở đây $\mathcal{G}_1 = \mathcal{G}_2 = \mathcal{G}_3 = 1$ B,

45

Hình 4.

$$r_1 = r_2 = r = 1 \text{ Ом} \text{ и } R_1 = R_2 = R_3 = R = 10 \text{ Ом}.$$

Giả sử rằng các điểm $I_1, I_2$ và $I_3$ có hướng như trong Hình 4, mặc dù chúng ta không biết chắc chắn về điều này. Nếu chúng ta sai, các phương trình tương ứng sẽ sửa chúng ta.

Vì điện tích không tích lũy tại các điểm phân nhánh (nút), nên điện tích đi vào một nút trong một đơn vị thời gian bằng điện tích rời khỏi nút trong cùng thời gian, nghĩa là

$$I_1 = I_2 + I_3.$$

Chúng ta hãy chọn hai đường viền khép kín đơn giản trong sơ đồ này, chẳng hạn như trái và phải, và chọn hướng đi ngang trong chúng, chẳng hạn như ngược chiều kim đồng hồ. Theo định luật bảo toàn năng lượng, tổng đại số của suất điện động bằng tổng đại số của các phép chia phương:

$$\mathcal{E} = I_1 R + I_1 r + I_2 r + I_2 R,$$
$$-\mathcal{E} = -I_2 R - I_2 r + I_3 R.$$

Hãy kết hợp các phương trình thu được thành một hệ thống và để đơn giản, thay thế dữ liệu số:

$$\begin{cases} I_1 = I_2 + I_3, \\ 10 I_1 + I_1 + I_2 + 10 I_2 = 0, \\ 10 I_2 + I_2 - 10 I_3 = 1. \end{cases}$$

Giải hệ này, ta tìm được

$$I_1 = -\frac{1}{31} \text{ А}, \quad I_2 = \frac{1}{31} \text{ А}, \quad I_3 = -\frac{2}{31} \text{ А}.$$

Điểm thứ nhất và thứ ba hóa ra là tiêu cực. Điều này có nghĩa là giả định của chúng tôi về hướng đi của chúng là không chính xác. Chúng tôi đã tìm thấy các giá trị số một cách chính xác và hướng của các dòng điện này ngược lại với hướng được mong đợi.

Bài 4. Một vật được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu $v_0 = 25 \text{ м/с}$. Sẽ mất bao lâu để nó đạt được độ cao $h = 40 \text{ м}$?

Chúng ta hãy viết ra công thức nổi tiếng về tọa độ của một vật được ném thẳng đứng lên trên (chúng ta coi hướng đi lên là dương):

$$h = v_0 t - \frac{g t^2}{2}.$$

Giải nó cho $t$, chúng ta nhận được

$$t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}.$$

Tuy nhiên, khi thay thế dữ liệu số, biểu thức dưới gốc là âm. Điều này có nghĩa là gì?

Hóa ra phương trình này bằng ngôn ngữ riêng của nó cho chúng ta biết rằng cơ thể này hoàn toàn không đạt đến độ cao như vậy. Trên thực tế, chiều cao tăng tối đa là $h_{\text{max}} = v_0^2 / 2g \approx 31,5 \text{ м}$, nhỏ hơn $h = 40 \text{ м}$.

Thế nên có những lúc một phương trình được “tưởng” một cách bất ngờ, ngoài dự tính.

Nhà tự nhiên học người Anh Thomas Huxley từng so sánh toán học với những chiếc cối xay chỉ nghiền những gì được đổ vào, không nghiền thêm gì nữa. Các ví dụ trên minh họa cho ý tưởng này - nếu đưa ý tưởng sai vào phương trình, lời giải sẽ làm lộ ra “trấu” và từ đó đẩy chúng ta hạ thấp “hạt” hợp lý.

Bài tập

1. Một đòn bẩy đồng nhất có khối lượng $m = 10$ kg nằm trên một giá đỡ cách đầu bên trái của nó $l_1 = 25$ cm. Chiều dài của đòn bẩy là $l = 1$ m. Một tải nặng $m_1 = 2$ kg được treo ở đầu bên trái của đòn bẩy. Phải tác dụng lực bao nhiêu lên đầu bên phải hướng xuống một góc $\alpha = 30^\circ$ so với phương ngang để đòn bẩy cân bằng?

2. Ở 卡尔iter, nơi có $m_1 = 1$ kg nước đá ở nhiệt độ $t_1 = 0^\circ \text{C}$, $m_2 = 500$ g hơi nước được đưa vào ở nhiệt độ $t_2 = 100^\circ \text{C}$. Sau khi truyền nhiệt xảy ra sẽ đạt nhiệt độ bao nhiêu? Có thể sử dụng công suất nhiệt 卡尔 itera.

3. Một vật được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu $v_0 = 15 \text{ м/с}$. Nó sẽ đi được bao xa trong chuyến bay $t = 2$? Gia tốc rơi tự do được coi là bằng $g = 10 \text{ м/с}^2$.