Các đoạn và góc phụ trợ

46

I. Gabovich

Các đoạn và góc phụ trợ

Với lời giải hình học bài toán, nó thường hữu ích, ngoài các đại lượng đã cho trong điều kiện, cùng với các đại lượng trợ giúp (độ dài các đoạn, giá trị của các góc, v.v.) và biểu thị đại lượng mong muốn thông qua chúng. Hơn nữa, trong một số trường hợp, các đại lượng phụ “biến mất” trong lời giải (ví dụ: chúng giảm đi), trong những trường hợp khác, chúng được xác định thông qua dữ liệu.

Bài toán 1 (MIPT, 1979). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AC và BC lần lượt tại các điểm M và N rồi cắt đường phân giác BD tại các điểm P và Q. Tìm tỉ số diện tích của các tam giác PQM và PQN nếu $\widehat{A} = \frac{\pi}{4}, \widehat{B} = \frac{\pi}{3}$ (Hình 1).

Lời giải. Hãy vẽ đường cao $[MM_1] \perp [PQ]$ và $[NN_1] \perp [PQ]$ trong các tam giác PQM và PQN. Vì hai tam giác PQM và PQN có chung đáy nên

$$\frac{S_{\triangle PQM}}{S_{\triangle PQN}} = \frac{|MM_1|}{|NN_1|}.$$

Đặt $O$ là tâm của đường tròn nội tiếp và $|OM| = |ON| = x$. Vì $\widehat{BON} = \frac{\pi}{3}$ và $\triangle ONN_1$ thẳng thắn nên $|NN_1| = \frac{x\sqrt{3}}{2}$. Vì $\widehat{C} = \frac{5}{12}\pi$, từ NOMC tứ giác, chúng ta thu được $M\widehat{ON} = \frac{7\pi}{12}$. Vì vậy $M\widehat{OM}_1 = \frac{\pi}{12}$. Từ $\triangle MOM_1$ chúng ta nhận được $|MM_1| = x\sin \frac{\pi}{12} = x\sin \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = x\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Đáp số: $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{6}}$.

Bài toán 2 (MOPI, 1978). Chiều cao của một paramid tứ giác đều là 30°. Một mặt phẳng được vẽ qua cạnh của đế của paramida, vuông góc với mặt đối diện. Tìm tỉ số thể tích của các đa tạp thu được khi paramid cắt mặt phẳng này.

Lời giải. Dễ dàng nhận thấy tứ giác CDMN (Hình 2) có mặt cắt ngang là hình thang. Ta vẽ mặt phẳng đi qua đường cao SO và trung điểm SE. Mặt phẳng này vuông góc với các mặt bên SAB và SCD (bằng bao nhiêu?). Vì vậy $F\widehat{SO} = 30^\circ$. Vì $|SF| = |SE|$ và $F\widehat{SE} = 60^\circ$, tam giác là FSE đều. Hãy để $|AB| = |AD| = |EF| = x$. Sau đó $|MN| = \frac{x}{2}, |EP| = \frac{x\sqrt{3}}{2}$. Hãy tìm thể tích của SCDMN paramid tứ giác. Đoạn SP là chiều cao của paramid này (bao nhiêu?) và CDMN hình thang là đáy của nó. Vì vậy $V_{SCDMN} = \frac{1}{3}|SP| \cdot S_{CDMN}$.

Vì $|SP| = \frac{x}{2}$ và $S_{CDMN} = \frac{(x + \frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{3x^2\sqrt{3}}{8}$, chúng ta nhận được

48

$\triangle SDE$ chúng tôi tìm thấy $|DE| = x \sin \frac{\alpha}{2}$.
$|CD| = 2x \cdot \sin \frac{\alpha}{2}$. Như vậy,
$V = \frac{4}{3} x^2 h \sin^2 \frac{\alpha}{2}$. Bây giờ hãy biểu thị $x^2$ theo $h$ và $\alpha$. Để làm điều này, hãy xem xét tam giác $SOD$. Chúng ta có $|SD|^2 = |SO|^2 + |OD|^2$, nhưng $|OD| = |CD| \times \frac{\sqrt{2}}{2} = x\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}$. Do đó $x^2 = h^2 + 2x^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$, do đó $x^2 = \frac{h^2}{\cos \alpha}$. Vì vậy, $V = \frac{4}{3} h^3 \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha}$.

Chúng ta hãy giảm lời giải thành bài toán này bằng cách giới thiệu một góc phụ. Hãy để $SDO = \varphi$. Từ $\triangle SDO$ chúng ta nhận được $|DO| = h \text{ ctg } \varphi$, $|CD| = h\sqrt{2} \text{ ctg } \varphi$. Vì vậy, $V = \frac{2}{3} h^3 \text{ ctg}^2 \varphi$. Vẫn còn phải biểu thị $\text{ctg}^2 \varphi$ dưới dạng hàm góc $\alpha$. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một phân đoạn phụ trợ $SD$. Hãy để $|SD| = x$. rồi $|DE| = x \sin \frac{\alpha}{2}$, $|OD| = x\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \varphi = \frac{|OD|}{|SD|} = \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}$. Do đó, $\text{ctg}^2 \varphi = \frac{\cos^2 \varphi}{1 - \cos^2 \varphi} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos \alpha}$, dẫn đến đáp số sớm hơn.

Trong trường hợp này, lời giải bài toán thứ hai hóa ra dài hơn một chút so với lần đầu tiên.

Việc giới thiệu một phân đoạn phụ thường giúp ích cho lời giải bài toán, trong đó một góc và một số phần tử phi tuyến (ví dụ: thể tích) đã cho và cần phải tìm một phần tử phi tuyến khác (bề mặt, diện tích mặt cắt ngang, thể tích của hình gốc hoặc hình nào đó có liên quan).

Bài toán 5 (KSU, nhà vật lý, 1978). Một hình cầu có diện tích bề mặt là $S$ có hình nón visan. Góc giữa đường sinh của hình nón và mặt phẳng đáy bằng $\alpha$. Xác định tổng diện tích bề mặt của hình nón.

Lời giải. Nếu hình nón là một vissan thành một quả bóng thì tâm của quả bóng nằm ở độ cao của hình nón hoặc phần mở rộng của nó ra ngoài mặt phẳng của đế (“Hình học 9-10”, trang 108). Mặt cắt chính của tổ hợp các hình đang xét

Hình 5.

Một tam giác đều được ghi trong một vòng tròn lớn.

Nếu $\alpha \geq 45^\circ$ thì tâm của quả bóng $O$ nằm ở độ cao của hình nón (Hình 5). Hãy để $|DB| = x$; thì từ $\triangle DBO_1$ ta tìm được $|O_1B| = x \cdot \cos \alpha$.
$S_n = \pi |O_1B| \cdot (|DB| + |O_1B|) = \pi x \cos \alpha (x + x \cdot \cos \alpha) = 2\pi x^2 \cos \alpha \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.

Rõ ràng là $\hat{DOE} = \hat{DBO}_1 = \alpha$ và $|DE| = \frac{x}{2}$. TỪ $\triangle DOE$ chúng ta nhận được $|DO| = \frac{x}{2} \sin \alpha$ và $S = 4\pi \cdot \frac{x^2}{4 \sin^2 \alpha} = \frac{\pi x^2}{\sin^2 \alpha}$, từ đó $x^2 = S \sin^2 \alpha$. Như vậy,
$S_n = 2S \sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2} = S \sin \alpha \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.

Dễ dàng nhận thấy các lập luận trên vẫn đúng với $\alpha < 45^\circ$.

Bài tập

1 (MIPT, 1979). Trong $\triangle ABC$ cho $\hat{A} = \frac{\pi}{3}$, $\hat{B} = \frac{\pi}{4}$. Các phần mở rộng của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp nó tại các điểm $M, N$ và $P$. Tìm tỉ số diện tích của đường thẳng $n$-giác giác với thể tích của quả cầu Wissan, biết rằng các đường tròn mô tả xung quanh đáy và các mặt bên của đường thẳng là trái ngược nhau.

2 (KPI, 1978). Tìm tỉ số thể tích của một đường thẳng có diện tích $n$ với thể tích của một quả cầu Wissan, biết rằng các đường tròn được mô tả xung quanh đáy và các cạnh bên của đường thẳng là trái ngược nhau.

3 (KSU, mekhanit, 1978). Đỉnh của đường thẳng tam giác có diện tích là tâm của hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng đáy của đường thẳng đó. Tỉ số giữa diện tích bề mặt bên của đường thẳng và diện tích bề mặt hình cầu bằng $\alpha$. Xác định góc nghiêng của đường thẳng bên với mặt phẳng đáy.