Hình học bài toán từ độc giả của chúng tôi

41

Hình học bài toán từ độc giả của chúng tôi

1. Gọi $a, b, c$ là độ dài tương ứng với các cạnh $BC$ $CA$ và $AB$ của một tam giác tùy ý $ABC$. Gọi $O_1$ là giao điểm của các đường trung tuyến của nó, $O_2$ là giao điểm của các đường trung tuyến của nó. Chúng ta hãy biểu thị bằng $K, L$ và $M$ điểm giao nhau của đường $O_1O_2$ với đường $BC, CA$ và $AB$. Cuối cùng, đặt $\lambda, \mu$ và $v$ là các số có $\overrightarrow{BK} = \lambda \cdot \overrightarrow{KC}, \overrightarrow{CL} = \mu \cdot \overrightarrow{LA}, \overrightarrow{AM} = v \cdot \overrightarrow{MB}$. Chứng minh rằng $\lambda = \frac{a-c}{a-b}, \mu = \frac{a-b}{c-b}, v = \frac{c-b}{c-a}$.

2. Cho trong tam giác $ABC$ độ dài $a, b, c$ các cạnh $BC, CA, AB$ thỏa mãn sự tương ứng $a > b$. Gọi $h_a = |AA_0|, h_b = |BB_0|, h_c = |CC_0|$ là độ dài các đường cao AA$_0$, BB$_0$, CC$_0$ của tam giác và $H_a, H_b, H_c$ lần lượt là hình chiếu của các đáy A$_0, B_0, C_0$ lên các đường phân giác của các góc A, B và C. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng cho tam giác phẳng có đỉnh tại các điểm sau:
   a) $a^3 \cdot S_{AH_aA_0} + b^3 \cdot S_{BH_bB_0} = c^3 \cdot S_{CH_cC_0}$;

3. Người ta biết rằng một đường tròn có thể nội tiếp thành một tứ giác $ABCD$. Đặt $E$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$ của nó. Chứng minh rằng
   $$\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{\text{ctg} \hat{A}/2}{\text{ctg} \hat{C}/2}.$$
   U. Alla

4. a) Cho $ABC$ là một tam giác, $M$ một điểm bên trong tam giác đó, là đỉnh chung của ba tam giác đều bằng nhau, hai đỉnh còn lại của mỗi tam giác nằm trên hai cạnh kề của tam giác $ABC$ (xem hình). Chứng minh rằng độ dài cạnh của các tam giác đều này bằng
   $$\frac{2abc}{a^2 + b^2 + c^2 + 4S\sqrt{3}}.$$
   trong đó $S$ là diện tích của tam giác $ABC, a, b, c$ là độ dài các cạnh của nó.

5. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M_1, M_2$ và $M_3$ hình chiếu của điểm $M$ lên các cạnh của một tam giác đã cho (xem hình). Chứng minh tam giác $M_1M_2M_3$ là tam giác đều.
   A. Yagubynt

6. Qua tâm $O$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, vẽ một đoạn $MN$ với các đầu ở các cạnh của tam giác, $M \in [AB]$,

7. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M_1, M_2$ và $M_3$ hình chiếu của điểm $M$ lên các cạnh của một tam giác đã cho (xem hình). Chứng minh tam giác $M_1M_2M_3$ là tam giác đều. Chúng ta hãy biểu thị bằng $O$ giao điểm của các đường nhị phân này. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn $AO, BO, CO, A_1O, B_1O, C_1O, A_1B_1, B_1C_1$ và $A_1C_1$ cùng nằm trên một đường tròn.

I. Kushinr

Hai

Trang đầu tiên của trang bìa hiển thị một loại sàn gỗ thông thường («Kvant», 1979, Số 2, trang 9) và loại “kép” của nó, các mặt phẳng được bao phủ với các đa giác tắc nghẽn. Với cách chơi tinh tế của màu sắc và đường nét, nghệ sĩ V. Lukhin của chúng tôi đã có thể thực hiện chuyển đổi dần dần từ sàn gỗ làm bằng hình vuông và hình tam giác đều (màu xanh lam và xanh lục ở trên cùng) sang phủ mặt phẳng bằng các hình ngũ giác giống hệt nhau (màu vàng và đỏ ở phía dưới).

Quá trình chuyển đổi này được biết đến trong cấu trúc liên kết như là đối ngẫu Poincaré. Nó cho phép bạn di chuyển từ bất kỳ lớp phủ nào của mặt phẳng có đa giác lồi sang lớp phủ khác. Về mặt hình học, quá trình chuyển đổi này được mô tả như sau: một điểm (đỉnh mới) được đặt tại một trong các điểm bên trong của mỗi đa giác (erani); hai đỉnh mới được nối với nhau bằng một cạnh (mới) khi và chỉ khi các mặt của chúng có một cạnh chung (cũ). Trong trường hợp này, mỗi cạnh của đỉnh sẽ tương ứng với một đa giác - một mặt mới.

Trong trường hợp của chúng tôi, các đỉnh mới được chọn ở giữa các mặt cũ, điều này đảm bảo rằng tất cả các mặt mới đều bị tắc nghẽn (tại sao?).

Hãy nhìn vào bề mặt hoàn thiện mà bạn nhận được nếu áp dụng thiết kế này cho các sàn gỗ phù hợp khác và nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra nếu bạn áp dụng nó hai lần liên tiếp.

O. M.