Đa thức Chebyshev và quan hệ truy hồi

12

Đa thức Chebyshev và quan hệ truy hồi

Có một quan điểm rộng rãi về một nhà toán học là một người thường xuyên tham gia vào các phép tính số học phức tạp nhất (trong một phiên bản phức tạp hơn là viết ra và biến đổi độ dài cũng như các công thức phức tạp). Độc giả «Kvant» nhận thức rõ rằng có môn toán “không có công thức” đẹp đẽ và quan trọng; vẫn có một sự thật duy nhất trong quan điểm như vậy. Khả năng xem xét các công thức từ quan điểm cần thiết, biến đổi chúng, khám phá những công thức mới và tìm ra mối liên hệ giữa chúng là một phần quan trọng trong công việc của các nhà toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số công thức thú vị liên quan đến ý nghĩa của dãy “đa thức Chebyshev” (một số công thức này đã được đề xuất chứng minh trong bài toán M488 - «Kvant», 1978, Số 2), cũng như các ý tưởng toán học tổng quát đằng sau chúng.

Giới thiệu. Hai dãy đa thức đáng chú ý

Các đa thức sẽ được thảo luận được tìm thấy trong nhiều bài toán giải tích, toán tính toán và đại số. Chúng xuất hiện vào năm 1854, trong tác phẩm của nhà toán học người Nga Pafnutya Lvovich Chebyshev liên quan đến câu hỏi này.

Xem xét tất cả các đa thức có thể có ở một mức nhất định $n$ với hệ số cao nhất là 1; cái nào trong số chúng sai lệch ít nhất so với 0 trên đoạn $[-1; 1]$, nghĩa là với mỗi đa thức $F_n(x) = x^n + \dots$ đại lượng

$$c_n = \max_{[-1; 1]} |F_n(x)|$$

nhỏ nhất?

Hoá ra là cái này $\bar{T}_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)$ là đa thức từ cột bên trái của Bảng 1 chia cho hệ số cao nhất. Ví dụ, trong số các tam thức bậc hai thì đây là $x^2 - \frac{1}{2}$ (độ lệch của nó so với 0 $c_2$ bằng $\frac{1}{2}$, và với mọi tam thức bậc hai khác $x^2 + px + q$ nó lớn hơn); trong số các đa thức bậc ba thì đây là $x^3 - \frac{3}{4} x$ (đối với anh ấy $c_3 = \frac{1}{4}$); và nói chung là độ lệch so với 0 $c_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ đa thức $\bar{T}_n(x)$ nhỏ hơn mọi đa thức khác $F_n(x) = x^n + \dots$ độ $n.*$).

Bảng 1. Đa thức Chebyshev loại một và loại hai. Nếu bạn nhân mỗi đa thức với 2x và trừ đi đa thức trước đó (đứng trên nó), bạn sẽ có được đa thức tiếp theo.

| $n$ | $T_n$ | $U_n$ |
| :— | :— | :— |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | $x$ | $2x$ |
| 2 | $2x^2 - 1$ | $4x^2 - 1$ |
| 3 | $4x^3 - 3x$ | $8x^3 - 4x$ |
| 4 | $8x^4 - 8x^2 + 1$ | $16x^4 - 12x^2 + 1$ |
| 5 | $16x^5 - 20x^3 + 5x$ | $32x^5 - 32x^3 + 6x$ |
| 6 | $32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1$ | $64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1$ |
| 7 | $64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x$ | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in in in in klyrsys s s teipetss neypets teipetss teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teipets teips

13

Nếu độ lệch so với 0 bị thay đổi khác đi, hãy thay biểu thức $c_n$ bằng biểu thức

$$l_n = \sum_{-1}^{1} |F_n(x)| dx,$$

thì đa thức $n$ độ lệch nhỏ nhất so với 0 với hệ số dẫn đầu 1 là đa thức $\tilde{U}_n(x) = \frac{1}{2^n} U_n(x)$, trong đó $U_n(x)$ được lấy từ cột bên phải của Bảng 1: đối với đa thức $U_n(x)$ các giá trị ​​$l_n$ (vùng màu xanh lam trong Hình 1) bằng 2; do đó, đối với $\tilde{U}_n$ nó bằng $1/2^{n-1}$; đối với bất kỳ đa thức nào khác $F_n(x) = x^n + \dots$ thì nó lớn hơn (định lý của A. N. Korkin và E. I. Zolotarev).

Những sự thật này có liên quan đến các tính chất đặc trưng sau đây của đa thức Chebyshev:

1°. Các giá trị của đa thức $T_n$ tại tất cả các điểm cực trị và tại các điểm cuối của đoạn [—1; 1] là modulo giống hệt nhau. Diện tích của mỗi mảnh $n+1$ được giới hạn bởi đồ thị đa thức $U_n(x) = \frac{1}{n+1} T'_{n+1}(x)$, trục Ox và các đường thẳng $x = \pm 1$ là như nhau (Hình 1).

(Chỉ các đa thức thu được từ các đẳng thức $y = U_n(x)$ và $y = T_n(x)$ bằng phép biến đổi tuyến tính của các biến $x$ và $y$ mới có các tính chất tương tự.)
Tính chất 1° suy ra từ các quan hệ cơ bản

$$2^\circ. T_n(\cos \varphi) = \cos n\varphi, \quad \sin \varphi \cdot U_{n-1}(\cos \varphi) = \sin n\varphi.$$

*) Chúng tôi sẽ không chứng minh điều này ở đây. Chứng minh cơ bản có thể được tìm thấy trong [1], cuốn sách đầu tiên trong thư mục ở cuối bài viết.

Tại $r=1$:
$$y = T_n(x),$$
tại $r=2$:
$$y = Q_n(x)$$

Tại $r=1$:
$$y = U_{n-1}(x),$$
tại $r=2$:
$$y = P_{n-1}(x)$$

Hình 1. Nếu làm một tờ giấy $0 \leqslant x \leqslant 2\pi r, -r \leqslant y \leqslant r$ với một biểu đồ được vẽ trên đó $y = r$ cos $nx$ cuộn thành hình trụ (đường kính và chiều cao $2r$) và nhìn từ bên sao cho các đồ thị hai nửa trước và sau thẳng hàng ta sẽ thấy một đồ thị $n$đa thức Chebyshev loại một. Những đồ thị này $n=2,3,4,5$ được hiển thị ở hàng trên cùng (khi chọn thang đo $r=1$ đồ thị thu được $y = T_n(x)$, Tại $r=2$ - đồ thị $y = Q_n(x)$ - xem bài tập 3). Ở hàng dưới cùng bên dưới $n$Đa thức thứ được biểu diễn bằng đạo hàm của nó chia cho $n$; Cái này - $(n-1)$đa thức Chebyshev loại hai; anh ấy có mọi thứ $n$ hình màu xanh có cùng diện tích.

14

Ngoài các công thức lượng giác $2^\circ$ xác định giá trị của đa thức $T_n$ và $U_n$ cho $|x| \leq 1$, cho $|x| > 1$ còn có các đẳng thức trông hoàn toàn khác:

$$3^\circ. \quad T_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 1})^n + (x - \sqrt{x^2 - 1})^n}{2},$$

$$U_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 1})^{n+1} - (x - \sqrt{x^2 - 1})^{n+1}}{\sqrt{x^2 - 1}}.$$

Căn nguyên của đa thức $T_n$ và $U_n$ có thể nhìn thấy được từ cặp đẳng thức sau:

$$4^\circ. \quad T_n(x) = 2^{n-1} \left( x - \cos \frac{\pi}{2n} \right) \left( x - \cos \frac{3\pi}{2n} \right) \dots \left( x - \cos \frac{(2n-1)\pi}{2n} \right),$$

$$U_n(x) = 2^n \left( x - \cos \frac{\pi}{n+1} \right) \left( x - \cos \frac{2\pi}{n+1} \right) \dots \left( x - \cos \frac{n\pi}{n+1} \right).$$

Do đó, nghiệm và điểm cực trị của đa thức $T_n(x)$ là hình chiếu của các đỉnh của một $4n$-giác phải có đường kính $[-1; 1]$ tới đường kính này (Hình 1).

Dưới đây, chúng tôi sẽ chứng minh, cùng với những nội dung khác, sự tương ứng $2^\circ - 4^\circ$ và minh họa một số phương pháp biến đổi đại số quan trọng bằng cách sử dụng ví dụ của chúng.

Bất kỳ công thức nào được viết ở trên đều có thể được coi là định nghĩa của đa thức Chebyshev, nhưng sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi căn cứ vào mối quan hệ lặp lại đơn giản giữa chúng, được mô tả trong chú thích của Bảng 1, và suy ra tất cả các công thức từ đó.

Dưới đây chúng tôi đề xuất xử lý các đa thức thu được từ $T_n$ và $U_n$ bằng cách thay đổi tỷ lệ (xem Hình 1): $P_n(x) = U_n(x/2)$, $Q_n(x) = 2T_n(x/2)$; vai trò của phân đoạn $[-1; 1]$ đối với $T_n$ và $U_n$ bây giờ sẽ do phân đoạn $[-2; 2]$ đảm nhận. Điểm hay của các đa thức mới là chúng có hệ số nguyên và hệ số cao nhất của chúng bằng 1. (Tất nhiên, các công thức chuyển đổi, được viết lại dưới dạng “nghịch đảo”: $P_n(2x) = U_n(x)$, $Q_n(2x) = 2T_n(x)$, cho phép chúng ta quay lại đa thức $U_n$ và $T_n$ bất cứ lúc nào.) Theo nguyên tắc, chúng ta sẽ chứng minh điều gì đó cho $P_n$, đưa ra các tính chất tương tự của $Q_n$ cho người đọc như một bài tập. Chúng tôi khuyến khích anh ấy chuẩn bị sẵn một cây bút chì và giấy và thực hiện tất cả các phép tính một cách chi tiết, trước tiên là đối với các giá trị nhỏ cụ thể $n = 2, 3, 4, \dots$ (cho đến khi mọi thứ trở nên rõ ràng).

Quan hệ tái diễn và cảm ứng

Hãy đặt $P_0(x) = 1$, $P_1(x) = x$ và

$$P_{n+1}(x) = x \cdot P_n(x) - P_{n-1}(x).$$

(1)

Chúng ta hãy viết ra một số số hạng đầu tiên của dãy này. Theo sau $P_0(x) = 1$ và $P_1(x) = x$ là

$$P_2(x) = x^2 - 1,$$

$$P_3(x) = x(x^2 - 1) - x = x^3 - 2x,$$

$$P_4(x) = x(x^3 - 2x) - (x^2 - 1) = x^4 - 3x^2 + 1,$$

$$P_5(x) = x(x^4 - 3x^2 + 1) - (x^3 - 2x) = x^5 - 4x^3 + 3x$$

v.v. (đối với các đa thức lên tới $P_{12}$ bạn có thể kiểm tra kết quả trong Bảng 2).

Đa thức $P_n(x)$ phát sinh trong các tình huống khác nhau. Ví dụ, hãy xem xét các phân số

$$R_1(x) = x, \quad R_2(x) = x - \frac{1}{x}, \quad R_3(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x}},$$

$$R_4(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x}}, \quad R_5(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x}}, \dots$$

15

Các phân số “nhiều tầng” (được gọi là tiếp tục) như vậy là một công cụ hữu ích cho các phép tính gần đúng bài toán khác nhau của các số và hàm; Nhân tiện, P. L. Chebyshev cũng có liên quan đến họ.

Sau khi biến đổi thì thành ra

$$R_2(x) = \frac{x^2 - 1}{x}, \quad R_3(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1},$$

$$R_4(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - 2x}, \quad R_5(x) = \frac{x^5 - 4x^3 + 3x}{x^4 - 3x^2 + 1},$$

(kiểm tra!). Ta thấy tử số và mẫu số trong ký hiệu chuẩn của các phân số này chính xác là các đa thức $P_n(x)$.

Một ví dụ khác: xét hàm sin $n\varphi$ và xây dựng biểu thức cho hàm đó thông qua sin $\varphi$ và đa thức trong cos $\varphi$:

$$\sin 2\varphi = 2\sin \varphi \cdot \cos \varphi,$$

$$\sin 3\varphi = \sin \varphi \cdot (4\cos^2 \varphi - 1),$$

$$\sin 4\varphi = \sin \varphi (8\cos^3 \varphi - 4\cos \varphi)$$

(kiểm tra!). Hóa ra tội lỗi $n\varphi = \sin \varphi \cdot P_{n-1}(2\cos \varphi)$ đối với tất cả $n \geqslant 1$; nói cách khác, vì tội lỗi $\varphi \neq 0$

$$P_n(2\cos \varphi) = \frac{\sin(n+1)\varphi}{\sin \varphi}.$$

Dễ dàng thu được sự tương ứng thu được bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học và công thức (1). Thật vậy, $R_{n+1}(x) = x - \frac{1}{R_n(x)}$. Do đó, nếu chúng ta giả sử điều đó đối với một số $n$

$$R_n(x) = \frac{P_n(x)}{P_{n-1}(x)},$$

thì từ sự tương ứng (1) dễ dàng thu được đẳng thức tương tự cho $n$ tăng thêm 1:

$$R_{n+1}(x) = x - \frac{P_{n-1}(x)}{P_n(x)} = \frac{xP_n(x) - P_{n-1}(x)}{P_n(x)} = \frac{P_{n+1}(x)}{P_n(x)},$$

đó là những gì được yêu cầu.

Tương tự đối với sin: nếu chúng ta giả sử điều đó với $k=n-1$ và $k=n$

$$\sin(k+1)\varphi = \sin \varphi \cdot P_k(2\cos \varphi),$$

thì từ (1) suy ra

$$\sin \varphi \cdot P_{n+1}(2\cos \varphi) = 2\cos \varphi \cdot \sin \varphi \cdot P_n(2\cos \varphi) - \sin \varphi \cdot P_{n-1}(2\cos \varphi) =$$

$$= 2\cos \varphi \cdot \sin(n+1)\varphi - \sin n\varphi = \sin(n+2)\varphi;$$

chúng tôi đã sử dụng đẳng thức 2 cos $\alpha$ sin $\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\beta - \alpha)$.

16

(Lưu ý rằng chúng tôi đã thực hiện quá trình chuyển đổi quy nạp không phải từ $n$ sang $n+1$ như thường lệ mà từ $n-1$ và $n+1$; trong trường hợp này, cần phải kiểm tra riêng hai đẳng thức đầu tiên cho $n=0$ và $n=1$.)
Bài tập

1. Chứng minh bằng cách sử dụng phép chuyển đổi quy nạp không phải từ $n$ sang $n+1$ như thường lệ mà từ $n-1$ và $n+1$; trong trường hợp này, cần kiểm tra riêng hai đẳng thức đầu tiên cho $n=0$ và $n=1$.
   $$P_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 4})^{n+1} - (x - \sqrt{x^2 - 4})^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{x^2 - 4}}.$$

(Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau.)
2. Chứng minh rằng a) $P_n(2) = n+1$, 6) $P_n(-2) = (-1)^n \cdot (n+1)$. (Thực hiện việc này theo ba cách: sử dụng (1) và cũng bằng cách đi đến giới hạn về đẳng thức (2) cho $\varphi \rightarrow 0$ và $\varphi \rightarrow \pi$ và đẳng thức (3) cho $x \rightarrow \pm 2$.)
3. Xét một dãy đa thức $Q_0(x), Q_1(x), Q_2(x), \dots$ thỏa mãn sự tương ứng (1) và điều kiện đầu $Q_0(x) = 2, Q_1(x) = x$. Viết 6 đa thức đầu tiên $Q_n(x)$. Chứng minh danh tính.
a) $Q_n(x)/Q_{n-1}(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x - \frac{2}{x}}}$ ($n-1$ phút);
b) $2\cos n\varphi = Q_n(2\cos\varphi)$;
b) tại $|x| > 2$
$$Q_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 4})^n + (x - \sqrt{x^2 - 4})^n}{2^n}.$$
4. Chứng minh rằng mọi dãy đa thức $R_0(x), R_1(x), \dots$ thỏa mãn (1) đều có thể biểu diễn qua dãy $(P_n(x))$ bằng công thức $R_n(x) = R_1(x) \cdot P_{n-1}(x) - R_0(x) \cdot P_{n-2}(x)$.
Cụ thể là $Q_n(x) = xP_{n-1}(x) - 2P_{n-2}(x) = P_n(x) - P_{n-2}(x)$. Từ đây suy ra tất cả các đẳng thức từ Bài tập 3.

Nghiệm của đa thức và tích
Nhiều công thức thú vị liên quan đến biểu thức đối xứng của các số (hoặc chữ cái) $n$ hóa ra có thể dễ dàng áp dụng nếu những số này được coi là nghiệm của một đa thức bậc $n$ nào đó. Đối với $n$ số $\gamma_k = 2\cos \frac{k\pi}{n+1}$ (trong đó $k=1,2,\dots,n$), $P_n(x)$ của chúng ta đóng vai trò là một đa thức như vậy. Trên thực tế, thay thế (2) thay vì $\varphi$ giá trị $\frac{\pi}{n+1}$, $\frac{2\pi}{n+1}, \dots, \frac{n\pi}{n+1}$, ta thấy các số $\gamma_k = 2\cos \frac{k\pi}{n+1}$ là nghiệm của đa thức $P_n(x)$. Ở đây chúng ta cần một hệ quả tất yếu từ định lý Bezout: nếu $\gamma$ là nghiệm của đa thức $F(x)$, thì $F(x)$ chia hết cho $x-\gamma$. (Thật vậy, khi thay biến $x$ bằng $y=x-\gamma$, chúng ta thu được đa thức $\tilde{F}(y) = F(x-\gamma)$, có gốc $y=0$, và một đa thức như vậy, rất indo, chia hết cho $y^*$). Đa thức $P_n(x)$ của chúng ta phải chia hết cho từng cặp $x-\gamma_k$, và do đó chia hết cho tích của chúng; vì nó có bậc $n$ và hệ số dẫn đầu 1, nên nó đơn giản bằng tích $\prod_{1 < k < n} (x-\gamma_k)$. Vì thế,
$$P_n(x) = \prod_{1 < k < n} (x-2\cos \frac{k\pi}{n+1}).$$

Bài tập 5. a) Chứng minh đẳng thức
$$Q_n(x) = \prod_{1 < k < n} (x-2\cos \frac{(2k-1)\pi}{2n}).$$

6. Kiểm tra nó và nhận dạng (4) cho $n=2,3,4$ và 5.

*) Để biết thêm chi tiết về định lý Bezout và khai triển thành đa thức, xem [2].

17

Chúng ta hãy trình bày một sự thật thú vị sau khi so sánh các công thức (4) và (2).

Chúng ta hãy tính $P_{2m}(0)$ cho $m > 0$ theo hai cách và đánh đồng các biểu thức thu được.

Một mặt, từ (2) ta thu được

$$P_{2m}(0) = P_{2m}\left(2\cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\sin\frac{(2m+1)\pi}{2}\right)/\sin\frac{\pi}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} + m\pi\right) = (-1)^m$$

Mặt khác, theo (4),

$$P_{2m}(0) = \prod_{1 \le k \le 2m} \left(-2\cos\frac{k\pi}{2m+1}\right).$$

Thay thế mỗi $\cos\frac{k\pi}{2m+1}$ tại $m+1 \le k \le 2m$ bằng $\left(-\cos\left(\pi - \frac{k\pi}{2m+1}\right)\right)$, chúng ta nhận được

$$P_{2m}(0) = (-1)^m \cdot \left[2^m \cdot \prod_{1 \le k \le m} \cos\frac{k\pi}{2m+1}\right]^2.$$

Nhưng biểu thức trong ngoặc vuông là dương, vì tích chỉ bao gồm cosin của các góc nhọn; do đó nó bằng 1, tức là

$$\prod_{1 \le k \le m} \cos\frac{k\pi}{2m+1} = \frac{1}{2^m}.$$

Chúng ta hãy đưa ra một công thức “bằng lời” hay của (5): với $m > 0$ trung bình hình học của cosin của các góc nhọn là bội số của $\frac{\pi}{2m+1}$ bằng $\frac{1}{2}$.

Bài tập
6. a) Tìm $P_n(1), P_n(-1), Q_n(1), Q_n(-1)$.

Chứng minh các đẳng thức tương tự (5):

6. $\prod_{1 \le k \le m} \sin\frac{k\pi}{2m} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$ ($m \ge 1$);

b) $\prod_{1 \le k \le m} \mathrm{tg}\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}$ ($m \ge 1$);

d) $\prod_{1 \le k \le m} \cos\frac{(2k-1)\pi}{4m} = \frac{\sqrt{2}}{2^m}$ ($m \ge 1$).

7. Tìm hiểu xem $m$ và $n$

a) đa thức $P_n$ chia hết cho $P_m$;

b) đa thức $Q_n$ chia hết cho $Q_m$.

Sinh hàm, lũy thừa của chuỗi và hệ số

Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu cho bạn một phương pháp rất hiệu quả, được sử dụng rộng rãi trong các ngành toán học khác nhau - giải tích, tổ hợp, lý thuyết xác suất - phương pháp tạo hàm. Phương pháp này đôi khi cho phép bạn tập hợp các thành viên riêng lẻ của một chuỗi, giống như một “viên gạch” thành một “tòa nhà” tích hợp và thu được thông tin về toàn bộ chuỗi cùng một lúc.

Hãy cho chúng tôi chuỗi $a_0, a_1, a_2, \dots$. Chúng ta hãy cho hàm tạo của nó biểu thức

$$f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots = \sum_{n \ge 0} a_nz^n.$$

Các biểu thức toán học như vậy được gọi là lũy thừa công thức của chuỗi. Các chuỗi này có thể được cộng, trừ và biến đổi dưới dạng đa thức tổng quát, một chuỗi có thể được chia cho một chuỗi khác (nếu số hạng tự do của chuỗi số chia khác 0), bất kỳ chuỗi nào cũng có thể được phân biệt và tích hợp theo từng số hạng - và tất cả các phép toán này có thể được sử dụng,

18

Để có được trình tự mới từ những trình tự đã được nghiên cứu. Thông thường có thể tìm thấy một công thức đơn giản cho hàm sinh của nó từ quan hệ truy hồi xác định dãy và từ hàm sinh để rút ra một công thức hoặc mối quan hệ cho các số hạng của dãy.

Đối với một chuỗi hữu hạn $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ hàm sinh là đa thức $f(z) = a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n$. Ví dụ: đa thức $f_n(z) = (1+z)^n$ đóng vai trò là hàm tạo cho các hệ số biompaul $C_n^0, C_n^1, \dots, C_n^n$—các số hạng của hàng thứ $n$ của tam giác Pascal (Bảng 2):

$$\sum_{0 < k < n} C_n^k z^n = (1+z)^n.$$ (6)

Phân biệt đẳng thức này $k$ lần rồi thay vào $z=0$, ta tìm được $C_n^k = n(n-1) \dots (n-k+1)/1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$.

Mở ngoặc và cô lập các hệ số cho $z^m$ ở đẳng thức tiếp theo $(1+z)(1+z)^n = (1+z)^{n+1}$, viết dưới dạng

$$(1+z) \left( \sum_{0 < k < n} C_n^k z^k \right) = \sum_{0 < k < n+1} C_{n+1}^k z^k,$$

chúng ta thu được mối quan hệ quan trọng $C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$.

Giá trị trung bình của các chuỗi vô hạn có một hàm đặc biệt đơn giản, dễ “thu gọn” để tạo ra cấp số nhân $b_0=b, b_n=qb_{n-1}$. Thay thế tổng $f(z) = \sum_{n>0} b_n z^n = b + \sum_{n>1} b_n z^n$ mỗi $b_n$ bằng $qb_{n-1}$, chúng ta nhận được $f(z) = b + qz \sum_{n>1} b_{n-1} z^{n-1} = b + qzf(z)$, từ đó $f(z)(1-qz) = b$, tức là

$$f(z) = \sum_{n>0} b_n z = \frac{b}{1-qz}.$$ (7)

Tất nhiên, đây là một công thức nổi tiếng về tổng của một cấp số nhân vô hạn (tại $|qz|<1$). Nhưng bằng cách sử dụng kỹ thuật tương tự, chúng ta cũng có thể thu được hàm tạo cho chuỗi đa thức $P_n(x)$.

Hãy đặt $\Phi(z) = \sum_{n>0} P_n(x) z^n = 1+xz+\sum_{n>2} P_n(x) z^n$. (Ở đây $x$ đóng vai trò là tham số và bên dưới, để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ viết $P_n(x), P_{n-1}(x), \dots$ cùng nhau thành $P_n, P_{n-1}, \dots$.) Theo (1), chúng ta thay thế mỗi $P_n$ tại $n \geqslant 2$ bằng $xP_{n-1}-P_{n-2}$. Sau đó

$$\Phi(z) = 1+xz + \sum_{n>2} xP_{n-1} z^n - \sum_{n>2} P_{n-2} z^n =$$

$$= 1+xz+xz \cdot \sum_{n>2} P_{n-1} z^{n-1} - z^2 \cdot \sum_{n>2} P_{n-2} z^{n-2} =$$

$$= 1+xz+xz(\Phi(z)-1)-z^2\Phi(z).$$

Do đó, $\Phi(z) \cdot (z^2-xz+1) = 1$ và

$$\Phi(z) = \frac{1}{z^2-xz+1}.$$ (8)

Công thức đơn giản này che giấu tất cả chuỗi đa thức phức tạp $P_n$ mà chúng ta đã nghiên cứu cho đến nay! Chúng ta sẽ “rút” cá thể $P_n$ ẩn trong đó ra bằng hai cách khác nhau.

1. Đối với $|x|>2$, phương trình bậc hai $z^2-xz+1=0$ có hai nghiệm:

$$u = \frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}, \quad v = \frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}.$$ (9)

Từ $z^2-xz+1=(z-u)(z-v)$, xét đến $uv=1$, ta có

19

$$\Phi(z) = \frac{1}{(u-z)(v-z)} = \left( \frac{1}{v-z} - \frac{1}{u-z} \right) \frac{1}{u-v} = \left( \frac{u}{1-zu} - \frac{v}{1-zw} \right) \frac{1}{u-v} = \sum_{n \geq 0} \frac{u^{n+1}-v^{n+1}}{u-v} z^n,$$

nghĩa là, $P_n(x) = \left( u^{n+1}-v^{n+1} \right) / (u-v)$; đây là công thức (3).

2. Chúng ta hãy tìm từ (8) các hệ số riêng của từng đa thức $P_n(x)$. Điều này được thực hiện như thế này:

$$\Phi(z) = \frac{1}{1-(xz-z^2)} = \sum_{k>0} \left( xz-z^2 \right)^k = \sum_{k>0} \left( \sum_{0<j<k} (-1)^j C_k^j x^{k-j} z^{k+j} \right) = \sum_{n>0} z^n \left( \sum_{j} (-1)^j C_{n-j}^j \cdot x^{n-2j} \right)$$

(chúng tôi đã sử dụng các công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn (7), quần xã Newton (6) và xác định hệ số cho $z^n$, tức là $P_n(x)$ mà chúng tôi cần). Kể từ đây,

$$P_n(x) = \sum_{j} (-1)^j C_{n-j}^j x^{n-2j}$$

(ví dụ: $P_6(x) = C_6^0 x^6 - C_5^1 x^4 + C_4^2 x^2 - C_3^3 = x^6 - 5x^4 + 6x^2 - 1$).

Tất nhiên, có thể chứng minh các công thức làm sẵn (3) và (10) mà không cần các hàm tùy ý - điều đáng chú ý nhất là chúng gần như tự phát sinh như thế nào từ công thức ngắn (8).

Sự biện minh cho tất cả các phép toán với chuỗi vô hạn mà chúng tôi đã thực hiện - và tất nhiên là cần thiết - có thể được kiểm tra bằng cách lưu ý rằng, nếu cần, theo mô hình giá trị số $z$, tất cả các chuỗi đang xem xét đều hội tụ (như (7) cho $|z| < 1/|q|$), nghĩa là chúng biểu thị các hàm thực của $z$ hoặc bằng cách kiểm tra xem đối với một số phép cộng, phép nhân hoạt động theo công thức nhất định, v.v. (mỗi hệ số của chuỗi được biểu thị thông qua một số lượng hữu hạn khác và $z$ chỉ là một chữ cái!) tất cả các luật thông thường đều được đáp ứng. Bạn có thể tìm hiểu thêm về phương pháp hàm số tùy ý và chuỗi lũy thừa trong các sách [3], [4], [6].

Bài tập

8. Xét dãy số Fibonacci

$$u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n+1} = u_n + u_{n-1}.$$

a) Chứng minh rằng hàm tùy ý của nó bằng $\frac{z}{1-z-z^2}$. Đưa tôi ra khỏi đây

b) Công thức Binet

$$u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$$

(để biết cách rút ra khác của công thức này, xem [5]).

b) Chứng minh rằng $u_n = \sum_{j} C_{n-j}^j$.

9. a) Tìm hàm tùy ý cho chuỗi đa thức $Q_n(x)$ từ Bài tập 3 và sử dụng nó để chứng minh điều đó (cho $|x| > 2$)

$$Q_n(x) = u^n - v^n,$$

trong đó $u$ và $v$ được xác định bởi công thức (9) (đây là bài tập 3 c)).

6. (Đối với những người quen thuộc với số phức; xem [1]). Kiểm tra xem công thức (3) và (3’) tại $|x| < 2$ chuyển thành công thức (2) và (2’). (Gợi ý. $u = \cos \varphi + i \sin \varphi, v = \cos \varphi - i \sin \varphi$ nếu $x = 2 \cos \varphi$.) Văn học

1. A. M. Yaglom và I. M. Yaglom. “Không tiểu học bài toán trong bài thuyết trình tiểu học.” (“Thư viện vòng tròn toán học”, số 5) (M., Gostekhtoridat, 1954); bài toán 130—134.

2. “Các câu hỏi chọn lọc của Toán học” (khóa tự chọn 10), phần “Số phức và đa thức” (M., “Prosveshcheniye”, 1980).

3. D. Polya, G. Szege. “Nhiệm vụ và định lý từ phân tích” (M., “Nuka”, 1978).

4. Anira Kartan. “Lý thuyết cơ bản về hàm phân tích của một và một số biến phức tạp” (M., “IL”, 1963).

5. N. N. Vorobyov. “Số Fibonacci” (“Các bài giảng phổ biến về toán học”, số 6) (M., “Nuka”, 1978).

6. N. Vâng. Vilenkin. “Tổ hợp” (M., “Nuka”, 1969).

7. V. A. Uspensky. “Tam giác Pascal” (“Bài giảng phổ biến về toán học”, số 43) (M., “Nuka”, 1979).