Sỏi và bàn cờ

36

A. Savin

Sỏi
và bàn cờ
(ký ức
về kỳ nghỉ hè)

Vào một ngày tháng bảy nóng nực, Kolya và tôi đi biển. Bơi thỏa thích, chúng tôi nằm dài trên bãi cát để tắm nắng. Bên cạnh chúng tôi có hai người đàn ông đang chơi cờ. Đương nhiên, chúng tôi ngay lập tức bắt đầu thảo luận về vị trí trên bảng và đưa ra gợi ý: Tôi cho một người, và Kolya cho người kia. Nhưng các cầu thủ không hề bối rối và không phản ứng gì với những gợi ý của chúng tôi. Với mong muốn biến trò chơi này thành một kiệt tác của nghệ thuật cờ vua, chúng tôi bắt đầu suy nghĩ xem mình nên làm gì.

“Chúng ta có nên ném vài viên sỏi không?” - Kolya hỏi tôi. “Cái gì đây - tung và bắt?” “Không hẳn! - anh ta trả lời, - Thú vị hơn nhiều! Đầu tiên chúng ta hãy chơi trò chơi này.

Có một đống đá. Chúng tôi lần lượt lấy một, hai hoặc ba viên đá. Người nào lấy được viên đá cuối cùng sẽ thắng.”

Tôi quyết định chơi sao cho luôn có số quân chẵn và tôi đã thua. Trong ván thứ hai, tôi bắt đầu lấy đá sao cho luôn có số lẻ đá - và một lần nữa tôi lại thua. Tôi thực sự không muốn thua lần thứ ba và tôi quyết định cố gắng tìm hiểu ý nghĩa của trò chơi.

Và lần đầu tiên hóa ra trước nước đi cuối cùng tôi có 4 viên đá. Nếu tôi chỉ lấy một viên đá thì Kolya lấy ba viên còn lại. Nếu tôi lấy hai hoặc ba viên đá, anh ta lấy hai viên còn lại hoặc viên đá cuối cùng duy nhất.

Làm thế nào tôi có thể tránh phải đứng trước bốn viên đá một lần nữa? Không thể để lại cho anh ta 5, 6 hay 7 viên đá: lấy 1, 2 hoặc 3 viên đá, anh ta lại để lại cho tôi 4 viên đá. Nếu tôi để lại cho anh ta 8 viên đá thì sao? Khi đó anh ta sẽ buộc phải để lại cho tôi 5, 6 hoặc 7 quân, và tôi buộc anh ta phải đi nước đi trong tình huống anh ta có 4 quân. Và rồi nó chợt nhận ra tôi! Nếu một người chơi nhận được một đống đá trong lượt của mình, số đó chia hết cho 4, thì sau bất kỳ nước đi nào của anh ta, con số đó sẽ vẫn là 4 và đồng đội của anh ta sẽ lại có thể thực hiện một nước đi, mang theo

38

Hình 3.

hãy suy nghĩ cẩn thận về vị trí của bạn. Tuy nhiên, những người hàng xóm của chúng tôi đã quay trở lại, và chúng tôi phải xoay người trả lại bến tàu và cầm đồ cho họ. “Đừng buồn,” Kolya nói với tôi, “bạn có thể chơi trò chơi này với sự trợ giúp của những viên sỏi.”

Tôi lập tức vẽ một hình vuông trên cát, vẽ một đường chia nó thành 64 ô vuông và đặt một viên sỏi ở ô góc.

“Tất nhiên là có thể,” Kolya nói, “nhưng tôi lại nghĩ đến một điều hoàn toàn khác.”

Ông xếp hai đống đá, mỗi đống có 7 viên đá. “Chúng ta sẽ lần lượt lấy đá: một hòn đá từ đống đầu tiên, hoặc một hòn đá từ đống thứ hai, hoặc hai hòn đá - mỗi đống một viên; Hoặc bạn không thể lấy đá mà phải di chuyển hòn đá này từ đống đá này sang đống đá khác. Người lấy viên đá cuối cùng sẽ nhảy ra ngoài.”

“Tôi không muốn chơi với những viên đá ngu ngốc của bạn,” tôi nói một cách phẫn nộ, “hãy chơi trò chơi của Gelfand!” Bạn có đang điên cuồng không? “Và đây là trò chơi của Gelfand,” Kolya trả lời. “Nhìn này!” Và anh ấy vẽ các số từ 0 đến 7 trên cát gần hình vuông tôi đã vẽ, đầu tiên dọc theo một cạnh, sau đó dọc theo cạnh kia, như trong Hình 3.

“Xem điều gì sẽ xảy ra. Cho con chip đứng trên sân, chẳng hạn (5;6), tức là tại giao điểm của phương thẳng đứng, đặt ở số 5, và chiều ngang, đặt ở số 6 (xem Hình 3). Chúng ta hãy đặt hai đống đá sang một bên: đống thứ nhất có 5 viên, và đống thứ hai có 6. Tôi có quyền di chuyển chip ở ô nào? Ở các ô (6; 5), (5; 5), (4; 5), (4; 6) và (4; 7). Làm thế nào chúng ta có thể lấy được các cọc tương ứng với các vị trí mới của quân cờ từ hai cọc chứa 5 và 6 viên đá? Rất đơn giản! Để có được vị trí (6; 5), bạn cần di chuyển một viên đá từ cọc thứ hai đến vị trí (5; 5) bằng cách lấy một viên đá từ cọc thứ hai; (4; 7) đạt được nếu di chuyển một viên đá từ đống thứ nhất sang đống thứ hai. Vì trường hữu ích được đánh số (7; 7), nên ban đầu phải có 7 viên đá trong mỗi đống. Tất nhiên, những thứ hữu ích được đánh số (0; 0) - không còn một viên đá nào trong đống.

“Tôi thích chơi trên bàn cờ hơn nhiều,” tôi nói. - Nhìn xem: ô (0; 0) là kẻ thua cuộc theo nghĩa nếu nước đi là của tôi và chip đã có trong ô này thì tôi thua. Và các ô liền kề với nó (0; 1), (1; 1) và (1; 0) sẽ thắng. Khi đó các ô (0; 2) và (2; 0) là các ô thua, vì từ chúng bạn chỉ có thể đi đến các ô thắng (trong Hình 4, các ô thua được đánh dấu bằng chữ P và các ô thắng có dấu +). Tiếp tục những khác biệt này, tôi sẽ có thể xác định cho mỗi ô xem đó là người thắng hay người thua - tôi sẽ nói, hoàn thành việc đánh dấu các trường của hình vuông (kết quả là Hình 4). - Bây giờ tôi có thể chơi với bạn và