Mạch điện có phần tử phi tuyến

Kvant 1982, số 1 tr. 41-44 Thẻ V4HB

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Vật lý

Cơ học: 1970 - Số 6, tr. 39; 1971 - Số 2, tr. 44; Số 5, tr. 50; Số 9, tr. 47; Số 11, tr. 54; 1972 - Số 3, tr. 58; Số 9, tr. 51; 1973 - Số 9, tr. 68; Số 11, tr. 57; 1974 - Số 3, tr. 52; Số 11, tr. 60; 1975 - Số 1, tr. 60; 1976 - Số 12, tr. 40; 1977 - Số 2, tr. 50; Số 3, tr. 46; Số 11, tr. 77; Số 12, tr. 52; 1978 - Số 3, tr. 54; Số 11, tr. 48; Số 12, tr. 42; 1979 - Số 10, tr. 49; 1980 - Số 3, tr. 41; Số 11, tr. 38; Số 12, tr. 45; 1981 - Số 1, tr. 43; Số 10, tr. 47.

Chất lỏng và chất khí: 1972 - Số 12, tr. 53.

Vật lý phân tử, hiện tượng nhiệt: 1972 - Số 5, tr. 45; 1973 - Số 1, tr. 43; 1974 - Số 1, tr. 60; 1976 - Số 3, tr. 58; 1977 - Số 6, tr. 67; 1978 - Số 1, tr. 42; 1979 - Số 1, tr. 50; 1981 - Số 2, tr. 44; 1981 - Số 11, tr. 36; 1982 - Số 12, tr. 42.

Nguyên tắc cơ bản của điện động lực học: 1972 - Số 2, tr. 54; Số 4, tr. 62; Số 6, tr. 55; Số 6, tr. 59; Số 7, tr. 48; Số 7, tr. 51; 1973 - Số 3, tr. 50; Số 7, tr. 35; 1974 - Số 5, tr. 64; 1975 - Số 4, tr. 41; Số 12, tr. 51; 1978 - Số 4, tr. 42; Số 5, tr. 38; 1979 - Số 2, tr. 52; Số 3, tr. 45; Số 4, tr. 43; 1980 - Số 6, tr. 36; 1981 - Số 7, tr. 39.

Dao động và sóng: 1974 - Số 6, tr. 31; 1976 - Số 2, tr. 51; 1981 - Số 3, tr. 46.

Quang học: 1971 - Số 7, tr. 41; 1977 - Số 4, tr. 50; 1979 - Số 5, tr. 39; Số 6, tr. 30; 1980 - Số 4, tr. 44; 1981 - Số 5, tr. 37; Số 6, tr. 45.

Ngoài ra, một số vấn đề chung về xây dựng tĩnh học: 1970 - Số 12, tr. 50; 1972 - Số 6, tr. 62; Số 10, tr. 52; 1973 - Số 4, tr. 52; Số 5, tr. 43; Số 7, tr. 30; 1975 - Số 5, tr. 60; Số 11, tr. 50; 1978 - Số 6, tr. 65; 1979 - Số 7, tr. 41; 1981 - Số 4, tr. 40; Số 9, tr. 42.

V. Tugushchev

Mạch điện có phần tử phi tuyến

Khi tính toán bất kỳ mạch điện nào, bài toán chính là xác định dòng điện và điện áp trong tất cả các phần của mạch. Mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp trong mỗi phần được gọi là đặc tính dòng điện-điện áp của phần đó. Một mặt, nó được gây ra bởi các quá trình vật lý xảy ra trong quá trình chuyển động của điện tích trong một chất dưới tác động của điện trường, mặt khác là do chính thiết kế của mạch điện (nghĩa là sự kết nối các phần tử của nó).

Ví dụ, đặc tính dòng điện-điện áp tuyến tính đơn giản nhất xảy ra đối với một dây dẫn kim loại:

$U = IR,$

trong đó $R$ là hệ số tỉ lệ giữa điện áp và dòng điện, gọi là điện trở. Điện trở được xác định bởi vật liệu, kích thước và nhiệt độ của dây dẫn.

Tuy nhiên, có rất nhiều thiết bị và bộ phận có đặc điểm vật lý và thiết kế dẫn đến mối quan hệ phi tuyến giữa dòng điện và điện áp.

A. Hãy vẽ trong cùng một hình một đường thẳng (đường màu đỏ) cho bởi phương trình (*). Rõ ràng chỉ có một điểm giao nhau của đường này với đặc tính dòng điện-điện áp của phần tử phi tuyến; dòng điện tương ứng với nó
$I_2 = 10 \text{ мА}.$
Bài toán 2. Tìm dòng điện chạy qua một điện trở có điện trở $R_0$ trong mạch điện như hình 2, a. Đặc tính dòng điện-điện áp của diode (phần tử phi tuyến) được thể hiện trên Hình 2, b.

Rõ ràng, mạch có thể hoạt động ở hai chế độ: khi diode bị tắt và khi diode mở.

Nếu diode bị ức chế, dòng điện chạy qua một dãy điện trở có điện trở $R_0$ và $R$ , và nó bằng
$i_1 = \frac{u(t)}{R_0 + R}.$
Trong trường hợp thứ hai, khi diode mở và hướng trên nó là $U_0$ và không thay đổi theo thời gian, dòng điện $i_1$ phát triển tại các điểm $A$ và $B$ sao cho (xem Hình 2, a)
$i_{II} = i_1 + i_2.$
Ngoài ra, đối với các phần khác nhau của mạch giữa các điểm $A$ và $B$ , đẳng thức sau giữ nguyên:
$U_0 + i_1 R = i_2 R,$
$i_2 R = u(t) - i_{II} R_0.$
Từ ba phương trình cuối cùng, chúng ta tìm thấy $i_{II}$ :
$i_{II} = \frac{2u(t) - U_0}{R + 2R_0}.$
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem chế độ I và II trong những điều kiện nào. Rõ ràng là tại thời điểm đóng mở diode, hướng trong tiết diện $AB$ phải bằng $U_0$ , tức là
$i_1 R = U_0,$ hoặc $\frac{u(t) R}{R_0 + R} = U_0.$
Nó theo sau đó cho các hướng dẫn
$u(t) = U_0 \frac{R_0 + R}{R}.$
Sẽ có sự thay đổi giữa chế độ I và II. Đặc biệt, sự thay đổi chế độ đầu tiên sẽ xảy ra vào thời điểm
$\cos \omega t = \frac{U_0}{U_M} = \frac{R_0 + R}{R} \left(U_M > U_0 \frac{R_0 + R}{R}\right).$
Biểu đồ của dòng điện mong muốn theo thời gian đối với $U_M = 300 \text{ В}, U_0 = 100 \text{ В}, R_0 = 10 \text{ кОм}$ và $R = 20 \text{ кОм}$ được trình bày trong Hình 2, c.
Bài toán 3. Dòng điện I của ống hai electron trong một khoảng nhất định

độ căng có thể liên quan đến hiệu điện thế $U$ giữa các điện cực bằng cách khớp $I = aU + bU^2$ tại $U > 0$ ( $a, b > 0$ ) và $I = 0$ tại $U \leq 0$ . Hai đèn như vậy được nối thành một mạch, như trong Hình 3. Các thông số $a$ và $b$ cho cả hai đèn tương ứng với $a_1 = 0,06$ mA/B, $b_1 = 0,008$ mA/B $^2$ và $a_2 = 0,04$ mA/B, $b_2 = 0,002$ mA/B $^2$ tương ứng. Đếm $\mathcal{E} = 200$ V và $R = 10$ kOhm, tính công suất tiêu thụ của đèn.

Công suất cần thiết $P_{\text{lamп}}$ có thể được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng $P_{\text{lamп}} + P_R = P_\mathcal{E}$ .

Ở đây $P_R = I_0^2 R$ là công suất tiêu tán trên điện trở ( $I_0$ là dòng điện chạy qua điện trở và pin), và $P_\mathcal{E} = \mathcal{E} I_0$ là công suất do pin cung cấp.

Theo định luật Ôm thì

$I_0 = \frac{\mathcal{E} - U}{R}.$

Ngoài ra (xem hình 3),

$I_0 = I_1 + I_2,$

hình 3.

Hình 4.

trong đó $I_1$ và $I_2$ lần lượt là dòng điện trong đèn thứ nhất và đèn thứ hai.

Từ hai phương trình cuối cùng, sử dụng mối quan hệ giữa dòng điện trong đèn và điện áp trên chúng, chúng ta thu được phương trình bậc hai tương đối $U$

$(a_1 + a_2) U + (b_1 + b_2) U^2 = \frac{\mathcal{E} - U}{R},$

từ đó chúng tôi tìm thấy $U$ :

$U = \frac{-(a_1 + a_2 + 1/R)}{2(b_1 + b_2)} + \frac{((a_1 + a_2 + 1/R)^2 + 4 \mathcal{E}(b_1 + b_2)/R)^{1/2}}{2(b_1 + b_2)} \approx 35,8 \text{ В}.$

Căn âm của phương trình bậc hai bị loại bỏ vì nó không tương ứng với ý nghĩa vật lý của bài toán: tại $U < 0$ đèn bị khóa và không dẫn dòng điện.

Bây giờ, từ định luật bảo toàn năng lượng, hãy tìm công suất cần thiết $P_{\text{lamп}}$ mà đèn tiêu thụ:

$P_{\text{lamп}} = P_\mathcal{E} - P_R = \frac{(\mathcal{E} - U) U}{R} \approx 0,6 \text{ Вт}.$

Bài toán 4. Vẽ đồ thị cường độ dòng điện có điện áp $I_{\text{вых}}$ so với điện áp đầu vào $U_{\text{вх}}$ trong mạch như hình 4, a. Tất cả các điốt ( $\varDelta I_1, \varDelta I_2, \dots, \varDelta I_n$ ) đều lý tưởng, nghĩa là điện trở của chúng theo một hướng là vô cùng lớn và ở hướng kia - vô cùng nhỏ.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $R$ ( $R = 1000 \text{ Ом}$ ) điện trở của điện trở ngoài cùng bên trái (xem Hình 4, a), bằng $R/2$ ( $R/2 = 500 \text{ Ом}$ ) điện trở của tất cả các điện trở khác và bằng $\mathcal{E}(\mathcal{E} = 1 \text{ В})$ emf của nguồn nối nối tiếp với diode đầu tiên.

Miễn là điện áp đầu vào không vượt quá 1 V, tất cả các điốt đều bị khóa và dòng điện chỉ chạy ở nhánh ngoài cùng bên trái của mạch:

$I_{\text{вых}} 0 = \frac{U_{\text{вх}}}{R} (U_{\text{вх}} < 1 \text{ В})$

khi điện áp tăng thì dòng điện tăng tuyến tính.

Ngay khi điện áp đầu vào đạt 1 V, diode đầu tiên sẽ mở và dòng điện bằng $\frac{U_{\text{вх}} - \mathcal{E}}{R/2}$ sẽ xuất hiện qua nó. Đồng thời nó phụ thuộc

ra thì dòng điện từ điện áp vào sẽ có dạng

$I_{\text{вых}} 1 = I_{\text{вых}} 0 + \frac{U_{\text{bx}} - \varepsilon}{R/2} = \frac{3U_{\text{bx}}}{R} - \frac{2\varepsilon}{R} \quad (1 \text{ В} \leqslant U_{\text{bx}} < 2 \text{ В}).$

Khi điện áp tăng thêm, các điốt $D_1$ , $D_2$ , v.v. sẽ mở ở đầu vào. Đồ thị của dòng điện $I_{\text{вых}}$ so với điện áp $U_{\text{bx}}$ được thể hiện trên Hình 4, 6.

Nhìn vào biểu đồ này từ bên ngoài và bạn sẽ thấy rằng một parabol được sao chép ở đây dọc theo các đoạn thẳng. Vì vậy, bằng cách sử dụng bài toán này làm ví dụ, bạn đã làm quen với hoạt động của một thiết bị điện tử tự do - một phép biến đổi chức năng (bộ tứ giác). Sử dụng một hệ thống điốt, điện trở và nguồn dòng điện, anh ấy mô hình hóa hoạt động bình phương của một hàm số. Những thiết bị như vậy được sử dụng trong mô hình điện tử của các quá trình vật lý khác nhau.

Bài toán 5. Tìm mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp của một dây dẫn kim loại, có tính đến sự phụ thuộc của điện trở của nó vào nhiệt độ. Tốc độ truyền nhiệt ra môi trường được coi là tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa dây dẫn và môi trường.

Mối quan hệ thông thường giữa dòng điện và điện áp $U = IR$ giả định rằng điện trở $R$ , phụ thuộc vào nhiệt độ, được lấy ở nhiệt độ $T$ của dây dẫn. Nhưng nói chung, nhiệt độ này khác với nhiệt độ $T_0$ của môi trường. Kết quả là sự truyền nhiệt xảy ra giữa vật dẫn và môi trường, và ở một chênh lệch nhiệt độ nhỏ $T - T_0$ lượng nhiệt tỏa ra theo thời gian $\Delta t$ được cho bởi sự tương ứng

$\frac{\Delta Q_{\text{пер}}}{\Delta t} = C (T - T_0),$

trong đó $C$ là hệ số tỷ lệ không đổi.

Khi dòng điện chạy qua, dây dẫn nóng lên. (Từ quan điểm vi mô, điều này là do số lượng electron chuyển động trong dây dẫn dưới tác động của điện trường, với số lượng nano của mạng tinh thể, có nhiều khuyết tật khác nhau và chi phí thấp.) Lượng nhiệt tỏa ra trong dây dẫn trong thời gian $\Delta t$ liên quan đến dòng điện $I$ trong dây dẫn, với điện trở $R$ của dây dẫn và với điện áp $U$ trên nó:

$\frac{\Delta Q_{\text{выд}}}{\Delta t} = I^2 R = \frac{U^2}{R_0 (1 + \alpha (T - T_0))}.$

Ở đây $R_0$ là điện trở ở nhiệt độ của dây dẫn $T_0$ , $\alpha$ là hệ số nhiệt độ của điện trở. (Nếu nhiệt độ $T_0$ gần với $0^\circ C$ và chênh lệch $T - T_0$ nhỏ, thì sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ thực sự có thể được biểu thị là $R = R_0 (1 + \alpha (T - T_0))$ .)

Dây dẫn sẽ được nung nóng cho đến khi tốc độ thoát nhiệt của vật trong dây dẫn bằng tốc độ thoát nhiệt ra môi trường.

$\frac{\Delta Q_{\text{выд}}}{\Delta t} = \frac{\Delta Q_{\text{пер}}}{\Delta t},$

hoặc

$\frac{U^2}{R_0 (1 + \alpha (T - T_0))} = C (T - T_0).$

Do đó chênh lệch nhiệt độ

$T - T_0 = \frac{-R_0 C + (R_0^2 C^2 + 4 U^2 \alpha R_0 C)^{1/2}}{2 \alpha R_0 C},$

và mối liên hệ giữa dòng điện và điện áp là

$I = \frac{U}{R_0 (1 + \alpha (T - T_0))} = \frac{U}{R_0 \left(1 + \frac{(R_0^2 C^2 + 4 U^2 \alpha R_0 C)^{1/2} - R_0 C}{2 R_0 C}\right)}$

(giá trị âm $T - T_0$ bị loại bỏ vì nó không có ý nghĩa vật lý).

Hãy phân tích kết quả. Dễ dàng nhận thấy rằng ở $U^2 \ll R_0 C / (4 \alpha)$ , trên thực tế nó cũng luôn phụ thuộc, vì sự hiệu chỉnh đối với điện trở do nhiệt gây ra luôn nhỏ.