Viện Truyền thông Kỹ thuật Điện Moscow

48

Mátxcơva
kỹ thuật điện
Viện Truyền thông

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{\cos^2 2x + \sin \left(2x - \frac{3}{2} \pi\right)} + \frac{1}{4} = \cos \frac{20}{12} \pi.$$

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 3. \end{cases}$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{9x - 15}{19} < \int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} - 1.$$

4. Từ hai điểm cách nhau 2400 km, tôi sẽ hướng dẫn nhau xuất phát đồng thời cả hành khách và tàu cao tốc. Mỗi người trong số họ chuyển động với tốc độ không đổi và tại một thời điểm nào đó họ gặp nhau. Nếu cô ấy đi với tốc độ của một chuyến tàu tốc hành, cô ấy sẽ gặp họ sớm hơn ba giờ so với thời điểm gặp nhau thực sự. Nếu cô ấy đi với tốc độ của một chuyến tàu chở khách, cô ấy sẽ gặp họ muộn hơn năm giờ so với thời điểm gặp nhau thực sự. Tìm tốc độ của tàu.

5. Khi rece $m$, tam giác $ABC$ được ánh xạ tới tam giác $A_1B_1C_1$. Chứng minh rằng nếu $A_0, B_0, C_0$ là trung điểm của BC, CA và AB thì các đường thẳng $A_0A_1, B_0B_1$ và $C_0C_1$ cắt nhau tại một điểm.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\left(\frac{5}{8} \sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^11}} - \frac{10}{13} \sqrt[3]{x \cdot \sqrt{x^11}}\right)' = 56.$$

2. Giải phương trình
   $$\left| \mathrm{ctg} \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) \right| = \frac{1}{\cos^2 2x} - 1.$$

3. Một tiếp tuyến song song với đáy được vẽ bởi một đường tròn nội tiếp tam giác cân bằng có đáy là 12 cm và chiều cao là 8 cm. Tìm độ dài của đoạn tiếp tuyến này giữa các cạnh của tam giác.

4. Tìm các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log_{0.3} (\sqrt{x+5} - x+1) > 0.$$

5. Nếu một hành khách đi từ $A$ đến $B$ bằng tàu hỏa thì hành khách đó sẽ đến $B$ sau 20 giờ. Nếu anh ta phải đợi máy bay hơn 5 giờ thì anh ta sẽ đến điểm $B$ sau 10 giờ. Hợp đồng tàu máy bay $\frac{8}{9}$ giờ kể từ thời điểm khởi hành. Vận tốc máy bay lớn hơn vận tốc tàu hỏa bao nhiêu lần?

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Tốc độ ban đầu phải được truyền cho gói tín hiệu được phát theo một góc $\alpha = 45^\circ$ so với đường chân trời để nó bùng phát ở điểm lớn nhất trên quỹ đạo của nó, nếu thời gian cháy của gói cầu chì là $\tau = 6$ s?

2. Một luồng không khí đi vào phong vũ biểu hình cốc, do đó phong vũ biểu cho thấy áp suất thấp hơn áp suất thực. Ở áp suất $p_1 = 768$ mm Hg. Nghệ thuật. nó hiển thị $h_1 = 748$ mm và chiều dài của phần phóng của ống là $l = 80$ mm. Áp suất khí quyển $p_2$ là bao nhiêu nếu rễ trong phong vũ biểu này ở độ cao $h_2 = 734$ mm? Mật độ của rễ là $\rho = 13.6 \cdot 10^3$ kg/m³.

3. Trong từ trường của một tụ điện nằm ngang, khoảng cách giữa các bản tụ là $d = 2$ cm, một electron được giải phóng với tốc độ $v_0 = 10^7$ m/s, hướng song song với các bản tụ. Tìm hiệu điện thế giữa các bản nếu độ lệch electron dọc theo đường đi $l = 5$ cm dọc theo các bản là $h = 2,5$ mm. Khối lượng electron $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ kg, điện tích $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Cl.

4. Có các bóng đèn 25 watt và 100 watt được mắc nối tiếp và được kết nối với mạng có điện áp định mức cho mỗi bóng đèn riêng lẻ. Cái nào sẽ tỏa nhiệt nhiều hơn?

5. Điện dung của một tụ điện biến đổi thay đổi từ $C_1 = 56$ pF đến $C_2 = 667$ pF. Bạn cần có bộ cuộn cảm nào để mạch dao động có thể được điều chỉnh theo các đài phát thanh trong phạm vi độ dài $l_1 = 40$ m đến $l_2 = 2600$ m?

6. Một nguồn sáng chính xác được đặt ở đáy bình có nước sâu $h = 10$ cm. Bán kính tối thiểu của một đĩa mờ nổi trên mặt nước phải là bao nhiêu để không có tia nào thoát ra khỏi nước? Chỉ báo giả định nước $n = 1,33$.

7. Ảnh của một vật ở khoảng cách $d = 0,4$ m lớn hơn vật $\Gamma = 5$ lần. Tìm giá trị có thể có của công suất quang của thấu kính.

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Rassushin, V. Slavov, O. Shvartsman, R. Shshikalov

bạn nghĩ gì

Có lần tôi gợi ý bài toán này với một người bạn: “Tìm trên mặt phẳng giới hạn một hình $a^*$, có một phép quay không tròn $R$ (theo một góc khác 0) và một bản dịch song song không tròn $F$ (khác với hình giống hệt nhau) chuyển thành cùng một hình: $R(a) = F(a)$. “Điều này là không thể,” người quen trả lời ngay lập tức. quanh một trung tâm nhất định, nó sẽ không vượt ra ngoài một vòng tròn nào đó. Và với việc chuyển tiền nhiều lần, điều này xảy ra liên tục.” Bạn nghĩ gì?

N. Mikhailenko