Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

46

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$2 \log_4 (4-x) = 4 - \log_2 (-2-x).$$
2. Trong một tam giác có góc bằng 120°, độ dài các cạnh tạo thành cấp số cộng với chênh lệch là 1 cm. Tìm độ dài các cạnh của tam giác.
3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sqrt{7x+y} + \sqrt{x+y} = 6 \\ \sqrt{x+y} - y+x = 2. \end{cases}$$
4. Điểm $D$ nằm trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$. Một đường tròn bán kính $\frac{2}{\sqrt{3}}$ nội tiếp tam giác $ABD$ lắc các cạnh $AB$ tại điểm $M$ và một đường tròn bán kính $\sqrt{3}$ nội tiếp tam giác $BCD$ lắc các cạnh $BC$ tại điểm $N$. Được biết, $|BM| = 6$, $|BN| = 5$. Tìm độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.
5. Trong một tam giác đều nguyên thủy $ABCA_1B_1C_1$, điểm $D$ là trung điểm của cạnh $A_1C_1$. Một paramida hình tam giác đều được đặt sao cho mặt phẳng đáy của nó trùng với mặt phẳng $ABC$, một cạnh bên đi qua đỉnh $B$, cạnh kia đi qua điểm $D$ và cạnh thứ ba cắt cạnh $CC_1$. Tìm tỉ số giữa thể tích của paramida và thể tích của nguyên thủy.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\text{ctg} x \cdot \left( \text{ctg} x + \frac{1}{\sin x} \right) = 1$$
2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2 \log_4 (y+1) + \log_2 y = \log_2 \left( \frac{x}{y} - 2 \right) \\ 5 + \log_2 \frac{y}{x} = \frac{6}{\log_2 \frac{x}{y}}. \end{cases}$$
3. Trên phần tiếp theo của cạnh $AB$ của hình thoi $ABCD$, điểm $B$ được coi là điểm $M$, với $|MD| = |MC|$ và $\widehat{MDC} = \arctg \frac{8}{5}$. Tìm tỉ số độ dài của các đoạn $MA$ và $MB$.
4. Độ dài của cạnh hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ bằng $a$. Điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CC_1$. Xét các tam giác có các đỉnh là giao điểm của các mặt phẳng song song với đáy của hình lập phương với các đường thẳng $A_1E, DF, AD_1$. Tìm thấy
   a) diện tích của tam giác có mặt phẳng đi qua giữa cạnh $AA_1$;
   b) giá trị nhỏ nhất có thể có của diện tích các tam giác đang xét.
5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 6x+y^2-z^2=6 \\ x^2-y-4z=-4 \\ 21x^2-2y^2+3y=22z^2. \end{cases}$$
   Tùy chọn 3
6. Giải phương trình
   $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}} + \sqrt{\frac{1+x}{x}} = \frac{5}{2}.$$
7. Giải bất đẳng thức
   $$4x+\log_2 9 > \log_2 (9 \cdot 2^{2x+1}-5).$$
8. Trong góc vuông của một tam giác $ABC$ có cạnh huyền $AC$ dài 2 cm, vẽ các đường trung tuyến $AM$ và $CN$. Một vòng tròn có thể được mô tả xung quanh tứ giác $ANMC$. Tìm bán kính của đường tròn này.
9. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \cos 2y+\frac{1}{2} = \left( \cos y-\frac{1}{2} \right) (1+2 \sin 2x) \\ \sin y \cdot (\text{tg}^3 x+\text{ctg}^3 x) = 3 \text{ctg} y. \end{cases}$$
10. Ở đáy của hình trụ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có cạnh bên dài 8 là một hình thang có đáy $|AD|=12, |BC|=7; B_1BC=60^\circ$. Đoạn nối đỉnh $B$ với tâm $O$ của mặt $AA_1D_1D$ vuông góc với nó; $|BO|=9$. Hãy xem xét các hình trụ nằm bên trong khối trụ, với đế ở mặt $BB_1C_1C$. Tìm thấy
    a) giá trị lớn nhất về thể tích của hình trụ đó với chiều cao cho trước $h$;

6. giá trị thể tích lớn nhất trong số tất cả các hình trụ đang được xem xét.

Vật lý

Tùy chọn 1

1. Một nguyên tử hydro đứng yên, không bị kích thích sẽ bị tấn công bởi một nguyên tử hydro không bị kích thích khác. Động năng tối thiểu của nguyên tử tới phải là bao nhiêu để một photon phát ra do va chạm? Năng lượng ion hóa của nguyên tử hydro là $E_n=13,6$ eV. Tần số của nguyên tử bức xạ hydro được xác định theo công thức
   $$v = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right),$$ trong đó $R$ là hằng số, $n$ và $m$ là số nguyên.
2. Các lượng hydro ($\mu_H=2$ g/mol) và helium ($\mu_{He}=4$ g/mol) có khối lượng bằng nhau được cho vào một bình có thể tích $V_1$, được ngăn cách với bình rỗng có thể tích $V_2$ bằng một nửa vách ngăn cho phép các phân tử hydro tự do đi qua và không cho heli đi qua. Sau khi thiết lập cân bằng thì áp suất ở bình thứ nhất giảm đi 2 lần. Xác định $V_2/V_1$. Nhiệt độ không đổi.
3. Trong một tụ điện phẳng, giữa các bản có hiệu điện thế không đổi được duy trì, người ta đưa vào một bản điện môi có hằng số điện môi $\varepsilon=3$. Lực sẽ thay đổi bao nhiêu lần?

47

Khả năng tĩnh điện giữa các bản tụ điện? Độ dày của tấm điện môi bằng một nửa khoảng cách giữa các bản tụ điện.

4. Một thấu kính hội tụ có đường kính $D=2$ cm và tiêu cự $F=20$ cm được cung cấp bởi một chùm ánh sáng song song (Hình 1). Phía sau thấu kính có một gương phẳng lý tưởng sao cho 25% quang thông đi qua thấu kính và phản xạ từ gương lại chạm vào thấu kính. Tìm khoảng cách giữa thấu kính và gương.

Tùy chọn 2

1. Một viên đạn bay theo phương ngang với tốc độ $v_0=750$ m/s chạm vào thành sau của một chiếc xe tăng đang di chuyển với tốc độ $v_T=72$ km/h và bật ra khỏi nó một cách đàn hồi (Hình 2). Viên đạn chạm tới và bật ra với tốc độ bao nhiêu? Bậc thang nghiêng theo phương thẳng đứng một góc $\varphi=30^\circ$.

2. Một quả bóng kín làm bằng vật liệu không phản ứng sẽ nâng thiết bị nặng $M=10$ kg lên độ cao khoảng 5,5 km, trong đó mật độ không khí ($\mu_B=29$ g/mol) bằng một nửa mật độ bề mặt Trái đất. Quả bóng chứa đầy gel ($\mu_{\text{He}}=4$ g/mol) trong điều kiện bên ngoài (nhiệt độ $T=300$ K, áp suất $p=1$ atm). Thể tích của quả bóng là $V=100$ m³. Xác định khối lượng trên một mét vuông của vật liệu vỏ quả bóng. Hằng số khí phổ quát là $R=8,3$ J/(mol K).

3. Xác định hiệu điện thế giữa các điện cực của ống phóng điện chứa đầy gel, tại đó quá trình tập trung nguyên tử bằng tác động của điện tử bắt đầu. Được biết, sự phân bố điện thế (theo đơn vị tương đối) dọc theo chiều dài của ống lúc này có dạng như Hình 3; chiều dài chạy tự do của electron $l=10^{-4}$ m; thế năng của nguyên tử helium $\varphi_h=24,5$ V.

4. Một nguồn sáng điểm $S$ chuyển động đều song song với một màn trong đó có hai điểm nhỏ cách nhau $d$; khoảng cách từ nguồn đến màn hình là $h$ (Hình 4). Bộ thu ánh sáng $A$, nằm trên trục của hệ thống, ghi lại những thay đổi định kỳ về độ chiếu sáng. Xác định tốc độ chuyển động của nguồn $v$, nếu tần số dao động cường độ là $f=15$ Hz; bước sóng ánh sáng $\lambda=6 \cdot 10^{-7}$ m; $d=2$ mm; $h=1$ m. Trong quá trình thay đổi, nguồn chuyển động ở gần trục của hệ.

Tùy chọn 3

1. Một thanh không trọng lượng có chiều dài $L$ được cố định ở một đầu trong một bản lề lý tưởng, còn đầu kia tựa vào độ cứng bên ngoài $k$ (Hình 5). Xác định chu kì dao động nhỏ của thanh phụ thuộc vào vị trí $l$ của một tải trọng có khối lượng $m$ đặt lên nó.

2. Lực tối đa mà một cái lọ (phòng chờ trong hành nghề y để nằm) được ép vào cơ thể một người là bao nhiêu nếu đường kính lỗ của nó là $D=4$ cm? Tại thời điểm bình được áp vào cơ thể, tác động là $t=80^\circ\text{C}$ và nhiệt độ môi trường là $t_0=20^\circ\text{C}$. Áp suất khí quyển $p_0=10^3$ Pa. Có thể tránh được sự thay đổi thể tích không khí trong bình (do da co lại).

3. Hai cuộn dây tự cảm có độ tự cảm $L_1$ và $L_2$ được kết nối thông qua các công tắc $K_1$ và $K_2$ với một nguồn có EMF $\delta$ không đổi và điện trở trong $r$ (Hình 6). Tại thời điểm ban đầu, cả hai phím đều khác nhau. Sau khi các phím $K_1$ được đóng và dòng điện qua cuộn dây $L_1$ đạt đến một giá trị nhất định $I_0$, các phím $K_2$ sẽ được đóng lại. Xác định giá trị ổn định của dòng điện qua cuộn dây sau khi đóng phím $K_2$. Bạn có thể dựa vào điện trở hoạt động của cuộn dây.

4. Vị trí của ngôi sao nhìn từ Trái đất hơi khác so với vị trí thật do sự khúc xạ của các tia bởi khí quyển. Xác định lỗi khi cố định vị trí góc của một ngôi sao nhìn thấy được từ Trái đất một góc $\alpha=45^\circ$ so với phương thẳng đứng. Giá trị trung bình của chiết suất của tia đối với khí quyển được coi là bằng $n=1,0003$.

Ấn phẩm được biên soạn bởi A. Bolibrukh, A. Sheronov