Dấu chân trên cát và... cấu trúc của vật chất

13

Dấu vết trên cát và… cấu trúc của vật chất

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. G. ASLAMAZOV

Trong số 200 tỷ đàn ông, phụ nữ và trẻ em đã từng đi trên cát ướt kể từ thời hiện đại cho đến cuộc họp của Hiệp hội Anh tại Aberdeen năm 1885, có bao nhiêu người khi được hỏi: “Cát có co lại dưới chân bạn không?” sẽ trả lời khác với “có”!
Lord Kelvin, Bài giảng Baltic, 1904

Bạn đã bao giờ nghĩ về đáp số câu hỏi này chưa? Thoạt nhìn, có vẻ như bằng cách nén cát, chúng ta luôn làm cho nó đặc hơn, làm sẫm màu cát và ép chúng lại gần nhau hơn. Nhưng trên thực tế, vấn đề có thể nằm ở chính hoàn cảnh. Và bằng chứng cho điều này là dấu vết còn sót lại trong một số trường hợp bạn giẫm phải bãi cát ướt gần bờ biển hoặc sông. Đây là điều mà O. Reynolds, một nhà khoa học nổi tiếng với công trình nghiên cứu về thủy động lực học, đã nói về điều này trong một báo cáo tại cuộc họp của Hiệp hội Anh năm 1885: “Khi dòng sông Hora ép lên cát, dày đặc sau một đợt thủy triều nhẹ, khu vực xung quanh bàn chân ngay lập tức trở nên khô ráo… Áp lực của bàn chân làm cát rời ra, và càng mạnh thì nước càng thoát ra… Nó làm cho cát khô cho đến khi màu xanh đến đủ lượng nước."

Vậy tại sao áp suất lại làm tăng khoảng trống giữa các lớp cát và lượng nước sẵn có không còn đủ để lấp đầy nó? Không phải ngẫu nhiên mà câu hỏi này khiến các nhà khoa học thế kỷ 19 lo lắng. Đáp số trên đó có mối liên hệ trực tiếp nhất với cấu trúc nguyên tử của vật chất. Đúng-

14

Hãy đợi và chúng tôi sẽ cố gắng giải quyết vấn đề này.

Đóng gói dày đặc các quả bóng

Có thể lấp đầy toàn bộ không gian bằng những quả bóng rắn không? Tất nhiên là không - sẽ luôn có khoảng trống giữa chúng. Phần không gian bị chiếm giữ bởi các quả bóng được gọi là mật độ đóng gói của chúng. Các quả bóng được đặt càng gần thì không gian trống giữa chúng càng ít và mật độ đóng gói càng lớn. Khi nào đạt được mật độ đóng gói tối đa của các quả cầu cứng giống hệt nhau? Đáp số câu hỏi này đưa ra chìa khóa để giải đáp “bí ẩn” về dấu chân trên cát.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một trường hợp đơn giản hơn – xếp các đường tròn giống hệt nhau trên một mặt phẳng. Có thể đạt được việc đóng gói dày đặc các vòng tròn bằng cách ghép chúng vào các bức tranh khảm bao gồm các đa giác đều lấp đầy toàn bộ mặt phẳng. Chỉ có ba cách để xây dựng những bức tranh khảm như vậy - từ hình tam giác đều, hình vuông và hình lục giác đều. Đóng gói các vòng tròn sử dụng các mảnh hình vuông và lục giác được thể hiện ở hình 1. Hơn nữa, “bằng mắt” bạn có thể thấy rằng phương pháp thứ hai tiết kiệm hơn. Một tính toán chính xác (tự kiểm tra) cho thấy rằng trong trường hợp này, khoảng 90,7% mặt phẳng được lấp đầy bởi các vòng tròn, trong khi ở trường hợp đầu tiên - chỉ khoảng 78%. Phương pháp đóng gói hình lục giác trên mặt phẳng là dày đặc nhất. Rõ ràng, vì điều này, ong sử dụng nó khi xây tổ ong.

Việc đóng gói dày đặc các quả bóng trong không gian có thể được thực hiện như sau. Chúng ta hãy đặt lớp bóng đầu tiên lên mặt phẳng theo cách dày đặc nhất mà chúng ta đã biết. Sau đó, bạn có thể đặt một lớp thứ hai tương tự lên chúng. Nếu mỗi quả bóng của lớp trên cùng nằm chính xác phía trên đáy, sao cho tất cả các quả bóng được ghi trong một khối tổ ong, thì sẽ lãng phí quá nhiều không gian. Với phương pháp đóng gói này, chỉ có 52% không gian được lấp đầy.

Rõ ràng là các quả bóng có thể được nén chặt hơn như thế nào. Để làm điều này, quả bóng phía trên phải được đặt vào lỗ được tạo thành bởi khay của các quả bóng phía dưới liền kề. Nhưng đồng thời, các quả bóng phía trên sẽ không thể lấp đầy tất cả các lỗ - một trong hai hốc liền kề luôn trống (hình 2). Do đó, khi chúng ta xếp lớp bóng thứ ba, việc này có thể được thực hiện theo hai cách: hoặc đặt các quả bóng của lớp thứ ba phía trên các hốc đó ở lớp đầu tiên sao cho các quả bóng của lớp thứ hai để tự do (tâm của một trong các quả bóng trên hình 2 sẽ ở điểm A), hoặc ngay phía trên các quả bóng của lớp thứ nhất (trong trường hợp này, tâm của một trong các quả bóng của lớp thứ ba sẽ ở điểm B). Nó được lưu cho các lớp tiếp theo. Kết quả là, chúng ta thu được hai cách đóng gói các quả bóng, được hiển thị trong không gian ở hình 3. Trong trường hợp chung, khoảng 74% không gian được lấp đầy bằng các quả bóng.

Hình 1. Đóng gói các hình tròn bằng nhau trên mặt phẳng vào các ô của các bức tranh khảm thông thường.

Hình 3. Hình ảnh không gian thể hiện 2 cách xếp bóng dày đặc.

15

Hình 4. Khối bát diện Kepler.

Dễ dàng tính được rằng với cách đóng gói này, mỗi quả bóng tiếp xúc với 12 quả bóng lân cận. Các điểm tiếp xúc tạo thành các đỉnh của khối 14 mặt. Các mặt của nó là các hình vuông và hình tam giác đều xen kẽ nhau. Do đó, phương pháp đóng gói thứ hai tạo ra khối lập phương Kepler như ở hình 4.

Cho đến nay, chúng tôi chỉ xem xét các phương pháp đóng gói các quả bóng sao cho chúng phù hợp với các “tổ ong” định kỳ. Có thể đạt được sự đóng gói dày đặc mà không có điều kiện này không? Một trong các phương pháp được thể hiện ở hình 5. Các quả bóng trong mỗi mặt phẳng nằm trên các cạnh của hình ngũ giác đều (ngũ giác). Trong mỗi hình ngũ giác, các quả bóng lân cận chạm vào nhau, nhưng các quả bóng, so với các hình ngũ giác khác nhau của cùng một mặt phẳng, bị tách biệt trong không gian. Các cạnh của hình ngũ giác gồm các lớp xen kẽ nhau chứa bốn số bóng lẻ lẻ. Hệ số lấp đầy không gian trong cấu trúc như vậy là 72% và chỉ kém hơn một chút so với trường hợp đóng gói dày đặc được trình bày trong hình 2. Có thể đóng gói các quả bóng mà không tạo thành mạng tinh thể từ các tâm dày đặc hơn, đạt hệ số lấp đầy là 74%, nhưng liệu có tồn tại các gói dày đặc hơn hay không - câu hỏi này vẫn còn bỏ ngỏ cho đến ngày nay.

Hãy quay trở lại với cát tiếp theo. Bây giờ chúng ta biết rằng có những gói bóng đặc biệt để lại rất ít khoảng trống giữa chúng. Ví dụ: nếu bạn vi phạm sự sắp xếp này bằng cách loại bỏ các quả bóng của một lớp khỏi các lỗ của lớp khác, thì khoảng cách giữa các quả bóng sẽ tăng lên. Tuy nhiên, rõ ràng là các hạt cát không bao giờ được đóng gói theo một cách đặc biệt. Làm thế nào để đạt được sự đóng gói dày đặc của hạt cát?

Hãy nhớ lại kinh nghiệm hàng ngày. Bạn cần đổ đầy bình sao cho chứa được lượng tối đa. Bạn làm gì về nó? Sử dụng tàu hoặc di chuyển qua nó, thêm hiệu ứng mong muốn. Sau đó, sau khi đóng gói chặt krula vào bình, bạn có thể sử dụng kỹ thuật này để giảm bớt một số lượng bổ sung.

Một nghiên cứu khoa học về vấn đề này được thực hiện vào những năm 50 bởi nhà khoa học người Anh G. Scott. Anh ta lấp đầy những chiếc chai hình cầu có kích cỡ khác nhau bằng những quả bóng từ vòng bi. Nếu các chai được đổ đầy mà không lắc để các quả bóng được sắp xếp ngẫu nhiên thì sự phụ thuộc sau đây của mật độ đóng gói vào số lượng quả bóng được quan sát bằng thực nghiệm:

$$\varrho_1 = 0,6 - 0,37 / \sqrt[3]{N},$$

trong đó $N$ là tổng số quả bóng. Nếu số lượng quả bóng rất lớn (và trong các thí nghiệm $N$ nó lên tới vài nghìn), thì rõ ràng mật độ đóng gói có xu hướng trở nên không đổi và tương ứng với việc lấp đầy 60% không gian. Nhưng nếu bạn lắc chai khi nó đầy, mật độ đóng gói sẽ tăng lên:

$$\varrho_2 = 0,64 - 0,33 / \sqrt[3]{N}.$$

Đúng, ngay cả trong trường hợp này, nó vẫn nhỏ hơn 74% rất nhiều, tương ứng với sự sắp xếp đều đặn của các quả bóng.

Hình 5. Đóng gói các quả bóng hình ngũ giác.

16

Điều đáng suy nghĩ về sự phụ thuộc được đưa ra ở đây. Tại sao hiệu chỉnh tỷ lệ nghịch với $\sqrt[3]{N}$? Các quả bóng nằm gần thành bình có vị trí đặc biệt so với các quả bóng về thể tích và ảnh hưởng đến mật độ đóng gói. Mức độ đóng góp của chúng tỷ lệ thuận với tỷ lệ diện tích bề mặt $\sim R^2$ với thể tích của bình $\sim R^3$ và giết chết tỷ lệ nghịch với kích thước của hệ thống $R$ (theo thể tích của hệ thống, chúng ta uống toàn bộ thể tích không gian bị chiếm bởi các quả bóng cùng với không gian trống). Kích thước $R \sim \sqrt[3]{N}$, vì âm lượng của hệ thống tỷ lệ thuận với tổng số quả bóng. Những sự phụ thuộc như vậy thường nảy sinh trong vật lý khi cần tính đến các bề mặt hiệu dụng.

Do đó, các thí nghiệm chính xác xác nhận trải nghiệm hàng ngày và cho thấy rằng bằng cách lắc môi trường dạng hạt, có thể đạt được mật độ đóng gói lớn hơn. Nhưng tại sao điều này vẫn xảy ra? Thực tế là vị trí cân bằng ổn định luôn tương ứng với thế năng tối thiểu. Quả bóng có thể nằm yên trong chỗ rỗng nhưng chắc chắn sẽ nảy lên từ đỉnh cầu trượt. Một cái gì đó tương tự đang xảy ra ở đây. Khi lắc, các quả bóng được lăn vào không gian trống, mật độ đóng gói tăng lên và tổng thể tích của hệ thống giảm xuống. Kết quả là, mức độ lấp đầy bình bằng các quả bóng giảm, và do đó, trọng tâm giảm xuống và thế năng của hệ giảm.

Bây giờ, cuối cùng, chúng ta có thể tưởng tượng đủ rõ ràng điều gì đang xảy ra với cát. Sự xáo trộn của nước gặp cát, và kết quả là tạo ra một lớp cát dày đặc. Bằng cách dùng chân ép bánh, chúng ta phá vỡ lớp bao bì này và làm tăng kích thước lỗ chân lông. Nước từ các lớp cát phía trên đi vào sâu hơn, lấp đầy những khoảng trống mở rộng này. Kết quả là sân “rơi ra ngoài”. Khi bàn chân được tháo ra, biến dạng sẽ biến mất, sự bó chặt được phục hồi và nước chảy ra từ những khoảng trống mới thu hẹp sẽ lấp đầy dấu vết do bàn chân để lại. Nó cũng có thể được sử dụng theo cách mà sau một áp lực mạnh, cao độ không thể phục hồi. Sau đó, đường đi sẽ chỉ bị ướt trở lại khi nước dâng lên từ các lớp bên dưới và lấp đầy các lỗ chân lông.

Thật tò mò rằng đây là đặc tính của phương tiện dạng hạt được tìm thấy trong faqra của Ấn Độ. Một trong những bộ ba của họ bao gồm việc liên tục đâm một con dao hẹp vào một chiếc bình có cổ hẹp, chứa đầy gạo ở trên cùng. Có lúc, con dao bị kẹt trong cơm, dùng dao có thể nhấc chiếc bình lên được. Rõ ràng mánh khóe là chiếc tàu khi chứa đầy gạo đã gặp nhau, đạt được độ kín. Việc đâm dao vào sẽ làm gián đoạn bao bì này và tăng khoảng cách giữa các hạt gạo. Vì thể tích của bình không thay đổi nên lực ép các hạt gạo tăng lên và do đó lực căng giữa chúng và dao tăng lên. Đến một lúc nào đó, nó đủ để rút con dao ra khỏi tàu.

Trật tự xa gần

Tất nhiên, các nguyên tử tạo nên mọi vật thể không thể được coi là những quả bóng rắn. Tuy nhiên, những cân nhắc hình học đơn giản giúp hiểu được cấu trúc của vật chất.

Hình 6. Các phần tử của mạng lập phương tâm mặt và mạng dexation đóng kín.

18

Hình 9. Sử dụng các hình ngũ giác đều, không thể lấp đầy toàn bộ mặt phẳng mà không có khoảng trống.

Hình 10. Cấu trúc của quaria (a) và thủy tinh (b).

trong mạng tuần hoàn. Ví dụ, một hình ngũ giác đều riêng biệt có thể được quay quanh một trục đi qua tâm và nó sẽ thẳng hàng với chính nó 5 lần. Trong trường hợp này, họ nói rằng có một trục đối xứng bậc 5. Nhưng trong mạng Bravais không thể có trục như vậy. Điều này có nghĩa là có một mặt phẳng có các nút tạo thành các hình ngũ giác đều. Nhưng không thể lấp đầy toàn bộ mặt phẳng bằng các hình ngũ giác đều (hình 9)!

Tuy nhiên, các loại mạng Bravais không làm cạn kiệt tính chất đối xứng đa dạng của mạng. Rốt cuộc, như bạn đã thấy từ ví dụ về việc đóng kín hình lục giác, các mạng Bravais có thể được để cái này bên trong cái kia! Kết quả là, các phần tử đối xứng được kết hợp theo nhiều cách kết hợp khác nhau, cái gọi là nhóm không gian được hình thành. Có tất cả 230 nhóm khác nhau. Tất cả chúng đều được nhà khoa học người Nga E. S. Fedorov tìm thấy vào năm 1890.

Vì vậy, bất kỳ tinh thể nào cũng có thể bao gồm các phần lặp lại. Tính chất này của tinh thể được gọi là tính đối xứng tịnh tiến (dịch chuyển - truyền trong không gian). Mặt khác, họ cũng nói rằng tinh thể có trật tự tầm xa. Đây có lẽ là đặc tính đặc trưng nhất của tinh thể, giúp phân biệt chúng với tất cả các vật thể khác.

Tuy nhiên, có một loại chất quan trọng không kém - các thể vô định hình trong đó không có trật tự lâu dài. Chất lỏng ở trạng thái vô định hình. Nhưng một vật thể rắn cũng có thể vô định hình. Ví dụ đơn giản nhất là kính thông thường. hình 10 thể hiện cấu trúc của thủy tinh và quaria, có thành phần hóa học tương tự như thủy tinh. Thạch anh là một tinh thể, và thủy tinh là một vật thể vô định hình. Mặc dù thủy tinh không kém trật tự hơn thế này nhưng điều đó không có nghĩa là có sự hỗn loạn hoàn toàn trong sự sắp xếp của các nguyên tử. Một cấu trúc nhất định trong cách sắp xếp những người hàng xóm gần gũi, như có thể thấy từ hình, cũng được bảo quản trong kính. Người ta nói rằng các cơ thể vô định hình có trật tự chặt chẽ.

Vật liệu vô định hình gần đây đã tìm thấy những ứng dụng quan trọng trong công nghệ. Tính chất độc đáo của hợp kim kim loại vô định hình (thủy tinh kim loại). Chúng thu được bằng cách làm nguội kim loại lỏng rất nhanh - với tốc độ vài nghìn độ mỗi giây. Điều này có thể đạt được, ví dụ, bằng cách rắc những giọt kim loại nhỏ lên bề mặt đĩa lạnh chạy nhanh. Giọt nước được “bôi” lên đĩa thành một lớp rất mỏng (dày vài micromet), và rất tốt để kim loại nước ấm nguội nhanh đến mức các nguyên tử của nó đơn giản là không có thời gian để tự sắp xếp một cách chính xác. Hóa ra hợp kim vô định hình có độ cứng tăng lên, khả năng chống ăn mòn cao và sự kết hợp tối ưu giữa các đặc tính điện và từ. Phạm vi của các tài liệu như vậy đang mở rộng nhanh chóng.

(Cuối cùng xem trang 48)

21

Tất nhiên, công thức này áp dụng cho các hoán vị có sự lặp lại của bất kỳ mục nào. Ví dụ: số hoán vị của các chữ số 0, 0, 0, 0, 1, 1, 3 là $\frac{7!}{4!2!1!} = \frac{4!5 \cdot 6 \cdot 7}{4!2} = 5 \cdot 3 \cdot 7 = 105$.

Nhiệm vụ và
11. Các từ có bao nhiêu angram khác nhau: a) đăng ký; 6) chữ cái?
12. Có bao nhiêu cách một người mẹ có thể cho con gái mình ăn 3 quả chuối, 2 quả lê và 2 quả cam trong vòng một tuần nếu mỗi ngày cho con ăn một quả?
13. Giải mã số đã cho ở hình trên trang. 19 một cụm từ trong đó mỗi từ được kèm theo chữ cái của nó.
14. Có bao nhiêu cách để làm một chiếc vòng cổ từ một hạt đen, hai hạt trắng, ba hạt đỏ và một gót xanh?

Tổng công suất
Sự kết hợp của các chữ cái - angram - phát sinh một cách tự nhiên khi thay đổi hai hoặc nhiều đa thức và tổ hợp - hệ số của angram - khi dịch các thuật ngữ tương tự.

Công thức bình phương của tổng hai số đã được biết rõ:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Một công thức tương tự có thể thu được cho bình phương của tổng ba số hạng trở lên. Ví dụ: hãy bình phương tổng $a+b+c$:
$(a+b+c)(a+b+c) = aa + ab + ac + ba + bb + bc + ca + cb + cc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$.

Công thức tương tự cũng đúng cho $(a+b+c)^2$ (vào ngày hình 3 hàng năm biểu thị diện tích hình chữ nhật của nó); Nói chung, bình phương của tổng các số $n$ được tính như sau: bạn cần cộng tất cả các bình phương của các số $n$ này và cộng tổng gấp đôi của tất cả các tích cặp có thể có của các số này.

Nếu chúng ta cẩn thận thay đổi độ biến thiên của $a+b+c$ khi gấp vào chính nó, chúng ta cũng thu được công thức:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc$.

Hãy để chúng tôi giải thích cách bạn có thể nhận được các hệ số 1, 3 và 6 ở đây mà không cần nhân và ghép các số hạng tương tự một cách tẻ nhạt. Đây là số lượng angram đã quen thuộc với chúng ta. Số hạng $a^3$ chỉ có thể thu được bằng một cách - khi từ mỗi dấu ngoặc đơn
$(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$ được lấy từ chữ cái $a$. Để có được hệ số cho $a^2b$, bạn cần lấy $b$ từ một dấu ngoặc và $a$ từ hai dấu ngoặc còn lại, nghĩa là thuật ngữ này tương ứng với angram $aab, aba, baa$ từ hai chữ cái $a$ và một chữ cái $b$: số của chúng là $(2+1)!(2!1!) = 3$. Cuối cùng, hệ số $abc$ bằng số $3!/(1!1!1!) = 6$ của angram (hoán vị) của một từ gồm ba chữ cái khác nhau $a, b, c$.

Một công thức tương tự sẽ thu được cho lập phương của tổng một số lớn hơn các số hạng, ví dụ
$(a+b+c+d+e)^3 = (a^3+...) + 3(a^2b+...) + 6(abc+...)$.

Ở đây, chúng ta hãy làm sắc nét từng dấu ngoặc để biểu thị các thuật ngữ thu được từ thuật ngữ được viết đầu tiên bằng nhiều cách thay thế các chữ cái khác nhau.

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra công thức chung.