Bài toán M961—M965; F973—F977

Kvant 1986, số 1 tr. 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43 Thẻ QFBH

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Nhiệm vụ

M961—M965; F973—F977

M961. Điểm E lấy trên cạnh AB của hình vuông ABCD, điểm F lấy trên cạnh CD, với AE:EB=1:2, CF=FD. Phần đầu và hình tam giác màu hồng (hình 1) có giống nhau không?

A. P. Savin, N. A. Paravyan

M962. Chứng minh rằng với mọi đa thức P(x) có hệ số nguyên thì không thể tìm được các số nguyên phân biệt x₁, x₂, …, xₙ (n ≥ 3) sao cho các đẳng thức P(x₁)=x₂, P(x₂)=x₃, …, P(xₙ-1)=xₙ, P(xₙ)=x₁ sẽ đúng.

Dumitru Radu (Romania)

M963. Khi các cặp cạnh đối diện của một hình lục giác song song. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của chúng cắt nhau tại một điểm.

T. Ghazaryan (học sinh lớp 10)

M964. Chứng minh rằng trong dãy (aₙ) gồm các số tự nhiên khác nhau thỏa mãn điều kiện aₙ<100n tồn tại một số có ký hiệu thập phân a) chứa chữ số 1;
b) 1986 đơn vị xuất hiện liên tiếp.

A. A. Stolin

M965. Cho sáu số a₁, a₂, …, a₆. Để tính “trong mọi trường hợp” tổng các tích theo cặp của chúng a₁a₂+a₁a₃+…+a₅a₆, bạn cần thực hiện 15 phép nhân và 14 phép cộng. Chứng minh cách bạn có thể tìm ngay tổng của các số này, tổng các tích của chúng của hai, ba, bốn và năm, chỉ bằng 15 phép cộng và 14 phép nhân.

N. V. Vasiliev

F973. Vật bắt đầu chuyển động thẳng từ điểm A và sau thời gian T đến điểm B a) với tốc độ lớn nhất có thể, 6) với tốc độ nhỏ nhất có thể; khoảng cách |AB| bằng l. Tìm tốc độ của vật trong hai trường hợp này, nếu tốc độ tại điểm A v₀=0 và gia tốc của vật là a₀ < a < a₀.

D. A. Akopyan

F974. Xác định chu kỳ dao động nhỏ của hệ như ở hình 2; khối lượng tải m, độ đàn hồi k, AOB=α. Thanh và khối được coi là nhẵn, tốt, không trọng lượng. Lò xo được cố định tại điểm A. Chu kỳ dao động có thay đổi không nếu tải trọng m cũng được cố định tại điểm O?

L. G. Markovich

F975. Giữa các bản của một tụ điện phẳng có diện tích $S$ , khoảng cách giữa chúng là $d$ , một tấm dẫn điện mở rộng song song với mặt phẳng có độ dày $d/2$ chuyển động với tốc độ $\vec{v}$ . Một từ trường không đổi có cảm ứng $\vec{B}$ tác dụng vuông góc dọc theo tấm $\vec{v}$ . Xác định điện áp trên tụ điện có công suất $C$ mắc vào các bản như hình hình 3.

E. A. Romishchevsky

F976. Một mol khí đơn nguyên tử lý tưởng được chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái cuối cùng, như thể hiện ở hình 4. Xác định nhiệt lượng cung cấp cho khí nếu chênh lệch giữa nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ cuối cùng là $\Delta t = 100^\circ\text{C}$ .

S. M. Korshunov

F977. Một chiếc gương được gắn trên tường, mặt phẳng của nó lệch khỏi phương thẳng đứng một khoảng $4,87^\circ$ (hình 5). Khoảng cách tối đa mà một người cao 170 cm có thể nhìn thấy ít nhất một phần ảnh của mình trong gương?

E. P. Kuznetsov

Problems

M961—M965; P973—P977

M961. Points $E$ and $F$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ of the square $ABCD$ respectively so that $AE:EB=1:2$ , $CF=FD$ . Will the blue and pink triangles on Fig. 1 be similar?

A. P. Savin, N. A. Paravyan

M962. Prove that there is no polynomial $P(x)$ with integer coefficients for which one can find distinct integers $x_1, x_2, ..., x_n$ ( $n \ge 3$ ) satisfying the relation

$P(x_1) = x_2, \quad P(x_2) = x_3, \quad ..., \quad P(x_{n-1}) = x_n, \quad P(x_n) = x_1.$

Dumitru Radu (Rumania)

M963. The opposite sides of a hexagon are parallel. Prove that the lines joining their midpoints intersect at one common point.

T. Gazarian (10th form pupil)

M964. Prove that it is possible to find, in any sequence $\{a_n\}$ of distinct natural numbers satisfying the condition $a_n < 100 n$ , a number whose decimal expansion contains a) the digit 1; b) 1986 digits 1 in a row.

A. A. Stolin

M965. Six numbers $a_1, a_2, ..., a_6$ are given. In order to compute the sum of their pairwise products $a_1a_2 + a_1a_3 + ... + a_5a_6$ in the direct way, 15 multiplications and 14 additions are required. Show

M942. Các số 1, 2, …, 2n−1, 2n được chia thành hai nhóm, mỗi nhóm có n số. Gọi $a_1 < a_2 < ... < a_n$ là các số của nhóm thứ nhất theo thứ tự tăng dần, $b_1 > b_2 > ... > b_n$ là các số của nhóm thứ hai theo thứ tự giảm dần. Chứng minh rằng $|a_1 - b_1| + |a_2 + b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2$ .

Lưu ý rằng trong hai số $a_k$ và $b_k$ , một số luôn nhỏ hơn $n$ và số kia luôn nhỏ hơn $n$ . Thật vậy, ví dụ: nếu $a_k \leq n$ và $b_k \leq n$ , thì tất cả các số $a_1, a_2, ..., a_k$ và $b_k, b_{k+1}, ..., b_n$ không vượt quá $n$ . Tổng cộng chúng ta nhận được $k + (n - k + 1) = n + 1$ các số tự nhiên khác nhau không vượt quá $n$ , điều này là không thể. Tương tự, người ta chứng minh rằng cả hai số $a_k$ và $b_k$ đều không thể lớn hơn $n$ .

Do đó, mỗi số hạng $|a_k - b_k|$ trong tổng của chúng ta bằng hiệu giữa một số lớn hơn $n$ và một số không vượt quá $n$ . Khai triển mô hình và sắp xếp lại các số hạng, chúng ta có

$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) - (1 + 2 + ... + n) = n^2.$

V.V. Proizvolv

M943. Trình tự $a_1, a_2, ...$ được đưa ra theo quy tắc: $a_{2n} = a_n$ cho $n \geqslant 1$ và $a_{4n+3} = 0$ cho $n \geqslant 0$ . Chứng minh rằng dãy số này không có chu kỳ.

Ta sẽ tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Giả sử dãy có dấu chấm $T = 2^p \cdot q$ , trong đó $q$ là số lẻ. Nếu $q = 4m + 3$ thì tại $k \geqslant p + 2$

$a_{2k} = a_{2k+T} = a_{2p(2^k - p + q)} = a_{2p-1(2^k - p + q)} = ...$

$... = a_{2k-p+4m+3} = a_{4(2^k - p - 2 + m)+3} = 0.$

nhưng đồng thời

$a_{2k} = a_{2k-1} = ... = a_1 = 1.$

Sự mâu thuẫn.

Nếu $q = 4m + 1$ , thì trong lý do trên, số $T$ phải được thay thế bằng số $3T = 2^p (4 \cdot 3m + 3)$ , số này cũng phải là chu kỳ của dãy chúng ta.

Chuỗi $(a_n)$ được liên kết với một đường gãy vô hạn thay thế $A_0 A_1 A_2$ … với các liên kết bằng nhau, mỗi liên kết (bắt đầu từ $A_1 A_2$ ) tạo một góc $90^\circ$ với đường trước đó và tại đỉnh $A_n (n \geqslant 1)$ đường gãy quay sang trái nếu $a_n = 1$ và sang phải nếu $a_n = 0$ . Đường gãy này được gọi là “đường đứt gãy chính của rồng” (xem bài viết của N.V. Vasilyev và V.L. Gutenkhaer “Những đường cong của rồng” trong «Kvant» Số 2, 1970).

Yu. V. Nesterenko

M944. Một hình lục giác đều được chia thành 24 hình tam giác bằng nhau, như trong hình 1. Các số khác nhau được viết ở tất cả 19 nút của hình tạo thành. Chứng minh rằng trong 24 tam giác, tam giác đó có ít nhất 7 tam giác như vậy tại các đỉnh mà các số được viết theo thứ tự tăng dần theo mũi tên số.

Từ mỗi cạnh của hình tam giác, vẽ một mũi tên hướng về bên trái nếu nó di chuyển dọc theo cạnh đó từ đỉnh có số thấp hơn đến đỉnh có số cao hơn (hình 2). Nếu các số được viết ở các đỉnh của một tam giác nhất định được trả về bằng cách đi qua các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ thì có đúng hai mũi tên bên trong tam giác này; nếu theo chiều kim đồng hồ - chính xác là một (hình 3). Đặt tam giác loại thứ nhất là $n$ và tam giác thứ hai - $m(n + m = 24)$ . Vì tổng số $N$ được xây dựng bên trong hình lục giác là $2n + m$ nên chúng ta đủ để chứng minh rằng $N \geqslant 31$ (khi đó $n = N - (n + m) \geqslant 31 - 24 = 7$ ).

Các mũi tên tương ứng với 30 đoạn bên trong của phân vùng rõ ràng nằm bên trong hình lục giác. Trong số 12 mũi tên còn lại nằm dọc theo đường viền của hình lục giác, ít nhất một mũi tên phải hướng vào bên trong. (Nếu không, khi chúng ta đi theo chiều kim đồng hồ quanh ranh giới của hình lục giác, mỗi lần chúng ta sẽ gặp một số lớn hơn.) Vì vậy, $N \geq 30 + 1 = 31$ .

A. A. Berzins

**M945. Cho một dãy số dương không giới hạn tăng dần nghiêm ngặt $a_1, a_2, \dots$ . Chứng minh rằng với mọi $k$ đủ lớn thì bất đẳng thức sau đúng:

a) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1$ ;
b) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1985$ .

a), 6) Giả sử

$s_k = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}}.$

và chứng minh rằng với mọi $k$ $s_k < k - 1/2$ đủ lớn.

Vì dãy $a_1, a_2, \dots$ tăng vô hạn nên tồn tại $K$ sao cho $a_1/a_K < 1/2$ , thì với tất cả $k \geq K$

$k - s_k = \left(1 - \frac{a_1}{a_2}\right) + \left(1 - \frac{a_2}{a_3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{-a_k}{a_{k+1}}\right)$

$> \frac{a_2 - a_1}{a_{k+1}} + \frac{a_3 - a_2}{a_{k+1}} + \dots + \frac{a_{k+1} - a_k}{a_{k+1}} = 1 - \frac{a_1}{a_{k+1}} > 1 - \frac{a_1}{a_K} > \frac{1}{2}$

Áp dụng phát biểu này cho dãy $a_{m+1}, a_{m+2}, \dots$ , chúng ta thu được kết quả đó với mọi $k$ , $k > m$ đủ lớn,

$s_k - s_m = \frac{a_{m+1}}{a_{m+2}} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - m - \frac{1}{2}.$

Bây giờ chúng ta hãy chọn $k_1$ sao cho $s_{k_1} < k_1 - 1/2$ , sau đó $k_2 > k_1$ sao cho $s_{k_2} - s_{k_1} < k_2 - k_1 - 1/2$ , rồi $k_3 > k_2$ sao cho $s_{k_3} - s_{k_2} < k_3 - k_2 - 1/2$ , v.v. Sau đó với bất kỳ $k \geq k_n$

$s_k = \left(s_k - s_{k_n}\right) + \left(s_{k_n} - s_{k_{n-1}}\right) + \dots + \left(s_{k_2} - s_{k_1}\right) < (k - k_n) + \left(k_n - k_{n-1} - \frac{1}{2}\right) + \dots + \left(k_2 - k_1 - \frac{1}{2}\right) + k_1 - \frac{1}{2} = k - n/2.$

Cả hai câu bài toán đều suy ra từ đây: a) - cho $n = 2, 6$ ) - cho $n = 2 \cdot 1985$ .

L. D. Kurlyandchik

**F953. Để tinh chỉnh tần số quay của đĩa dẫn điện (33 $\frac{1}{3}$ vòng quay mỗi phút), các dấu được đặt trên bề mặt bên của nó, được chiếu sáng bằng bóng đèn neon với tần số 100 nét mỗi giây. Số lượng dấu hiệu phải là bao nhiêu để ở tốc độ danh nghĩa chúng dường như không nhìn thấy được? Sau khi tắt chuyển động, đĩa bắt đầu tăng gấp ba và các dấu vết sẽ biến mất. Vì

4 điểm quan sát đầu tiên có mismo “chạy” được 10 điểm. Sau bao lâu đĩa sẽ dừng lại? Sau khoảng thời gian nào thì dấu vết sẽ “chạy” theo hướng khác?

Sau khi tắt đĩa, nó bắt đầu phanh đều (với ma sát khô, các lực trong quá trình phanh không thay đổi độ lớn). Trong 4 giây ở tốc độ danh nghĩa, 400 điểm phải vượt qua và đĩa “tụt hậu” 10 - có nghĩa là trong thời gian này tốc độ đĩa đã giảm $2 \cdot \frac{10}{400} = \frac{1}{20}$ so với giá trị danh nghĩa. Do đó, đĩa sẽ dừng sau $4 \cdot 20 = 80$ giây và sau 40 giây, lần đầu tiên nó sẽ “chạy” theo hướng khác.

A. R. Zilberman

F954. Một tấm rèm vuông trang trí có kích thước $1,5 \times 1,5$ m treo trên gờ dọc theo bức tường thẳng đứng. Mép dưới của rèm được nâng lên thẳng hàng với mặt trên, sao cho rèm được gấp đôi rồi thả ra. Tìm sự khác biệt giữa lực tác dụng lên gờ và thời gian. Rèm mỏng, mịn và nặng 3 kg.

♦
Chúng ta hãy xem xét vị trí của tấm màn sau thời gian $t$ sau khi nó bắt đầu rơi. Vì rèm mềm nên phần bên trái của nó rơi tự do và phần bên phải bất động (xem hình). Trong trường hợp này, tại thời điểm $t$ phần bên trái của chuyển động với tốc độ $gt$ . Vì tấm màn mềm và mỏng nên chúng ta bỏ qua kích thước của vùng uốn và động lượng của nó. Sau một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ , một phần khác của tấm rèm có khối lượng

$\Delta m = \frac{m}{d^2} gt \frac{d \cdot \Delta t}{2}$

(d - mặt rèm), có xung lực trước khi phanh

$\Delta p = \Delta m \cdot gt = \frac{m}{d} (gt)^2 \frac{\Delta t}{2}.$

Chúng ta hãy áp dụng định luật biến đổi động lượng cho tấm màn cúc cu này để xác định lực $T(t)$ tác dụng lên nó từ phần treo của tấm màn (theo định luật thứ ba của Newton, lực có cùng độ lớn sẽ tác dụng lên phần treo của tấm rèm). Vì thế,

$T(t) - \Delta m \cdot g = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m}{2d}(gt)^2,$

Ở đâu

$T(t) \big|_{\Delta t \to 0} = \frac{m}{2d}(gt)^2.$

Vì phần bên phải của tấm màn không chuyển động nên tổng các lực tác dụng lên nó tại bất kỳ thời điểm nào đều bằng không. Do đó, tại thời điểm $t$ ta thu được

$T(t) + \frac{m}{2} g + \frac{m}{2d^2} d \frac{gt^2}{2} g - N(t) = 0,$

trong đó $N(t)$ là lực tác dụng từ phía gờ lên rèm tại thời điểm $t$ .

Như vậy,

$N(t) = \frac{m}{2d}(gt)^2 + \frac{m}{2} g + \frac{m(gt)^2}{4d} =$

$= \frac{mg}{2} \left| 1 + \frac{3}{2} \frac{gt^2}{d} \right| = 15 \left[ 1 + 10t^2 \right] H$

( $t \leq \sqrt{\frac{2d}{g}} \approx \sqrt{0,3} \text{ c.}$ ).

S. S. Krotov

Một GN làm bằng dây siêu dẫn mỏng được treo trên một sợi dây đàn hồi trong một từ trường hướng thẳng đứng hướng lên dọc theo trục của cuộn dây (xem hình). Sợi dây treo ở trạng thái ban đầu không bị xoắn, dòng điện trong cuộn dây bằng không. Cảm ứng từ trường B tăng dần từ 0 lên giá trị $B_0=0,1$ T, tại đó chất siêu dẫn đột ngột biến mất và dây trở lại trạng thái bình thường. Cuộn dây bắt đầu quay. Xác định góc xoắn lớn nhất của cuộn dây, giả sử mô men đàn hồi của sợi tỉ lệ với góc xoắn (tính bằng radian); hệ số tỉ lệ $G=10^{-7}$ Nm. Số vòng dây là $n=100$ , bán kính vòng dây là $R=1$ cm, khối lượng của cuộn dây là $M=10$ g. Tỷ số điện tích của một electron trên khối lượng của nó là $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ C/kg.

F957. Sự lan truyền của sóng vô tuyến ngắn ở các tầng trên của khí quyển Trái đất (không phải tầng quyển) có thể được mô tả bằng các định luật quang học hình học, nếu chúng ta giả sử rằng chiết suất $n$ đối với sóng vô tuyến nhỏ hơn 1 và thay đổi theo độ cao $H$ so với bề mặt Trái đất như chỉ ra trong hình 1 (đối với một số phần v). Trên Sutnik, bay ở độ cao $h=200$ km, một máy phát vô tuyến được lắp đặt để phát ra sóng vô tuyến có tần số $v$ đều theo mọi hướng. Bỏ qua lớp sóng vô tuyến trong tầng phi quyển, hãy ước tính phần công suất phát ra từ máy phát được truyền bởi sóng vô tuyến ra ngoài bầu khí quyển Trái đất. Khi đánh giá bề mặt Trái đất, hãy coi nó phẳng và phản chiếu từ tầng phi quyển.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét một chùm tia phát ra từ vệ tinh hướng lên trên một góc $a$ so với phương thẳng đứng. Hãy biểu thị

$\Phi = LI \text{ — собственный магнитный поток, } \Phi_{\text{BH}} \text{ — поток, созданный внешним полем. Отсюда}$

$I = \frac{|\Phi_{\text{BH}}|}{L} = \frac{SnB_0}{L} = \frac{\pi R^2 nB_0}{L}.$

Giả sử dòng điện này được tạo ra bởi sự chuyển động của $N$ electron dọc theo các vòng dây. Sau đó

$I = \frac{N}{2\pi Rn} ev,$

trong đó $e$ là điện tích của electron, $v$ là tốc độ chuyển động có trật tự của electron.

Tổng xung của tất cả các electron

$p = Nmv = 2\pi RnI \frac{m}{e}.$

Khi dòng điện biến mất, xung lực này được truyền tới cuộn dây. Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là trong trường hợp này bài toán về việc truyền xung quay được giảm xuống còn bài toán về việc truyền xung tuyến tính. Trong công thức trên, dưới $p$ , bạn cần nhớ tổng số học các xung của tất cả các electron, bằng (sau khi dòng điện biến mất) bằng tổng số học các xung của tất cả các phần tử của cuộn dây. Cuộn dây thu được động năng sau khi dòng điện biến mất

$E_{\kappa} = p^2/2M.$

Góc xoắn của sợi dây sẽ được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng:

$\frac{p^2}{2M} = \frac{G\varphi^2_{\max}}{2},$

Ở đâu

$\varphi_{\max} = \frac{p}{\sqrt{MG}} = \frac{2\pi^2 R^3 n^2 B_0}{L \frac{e}{m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{MG}} \approx 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ рад.}$

S. M. Kozel

Một môi trường trong đó chiết suất chỉ phụ thuộc vào chiều cao có thể được chia thành những con voi mỏng phẳng, trong đó chiết suất có thể được coi là không đổi. Chúng ta hãy xem xét đường đi của chùm tia trong hai lớp liền kề với chiết suất $n_i$ và $n_{i+1}$ . Đặt góc tới của chùm tia trên giao diện giữa các lớp là $a_i$ trong một lớp và $a_{i+1}$ (hình 2) trong lớp kia. Theo định luật khúc xạ

$\frac{n_{i+1}}{n_i} = \frac{\sin a_i}{\sin a_{i+1}},$

Ở đâu

$n_{i+1} \sin a_{i+1} = n_i \sin a_i.$

Do đó, tích của chiết suất và sin của góc tới không thay đổi khi di chuyển từ lớp này sang lớp khác và không đổi đối với tất cả các từ mà chùm tia đi qua.

Trên hình 3, các đường liền nét biểu thị đường đi của các tia rời khỏi bầu khí quyển và các đường chấm chấm biểu thị đường đi của các tia phản xạ từ tầng phi quyển.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét một chùm tia phát ra từ vệ tinh hướng lên trên một góc $a$ so với phương thẳng đứng. Hãy biểu thị

Xin vui lòng, bài báo đầu tiên bài toán 1984 M841 - trong đó yêu cầu chứng minh rằng tích độ dài của các đoạn mà thế của một tam giác vuông chia cho điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp bằng diện tích của tam giác này - hóa ra không chỉ là một trong những đơn giản nhất mà còn thu được nhiều nhất khác nhau lời giải. Ngoài những gì đã được xuất bản trong «Kvant» Số 4 năm 1984, chúng tôi còn trình bày một cuốn nữa do L. A. Shteingai (người đứng đầu khóa học toán học của Cung điện Pinovers ở Tbilisi) biên soạn - theo nguyên tắc của “cái nhìn” cổ xưa! (hình 1); diện tích tam giác ABD bằng diện tích hình chữ nhật OEDF, vì các tam giác cùng màu bằng nhau, tức là AT·TB=OE·OF=S△ABD=S△ABC.

Liên quan đến câu hỏi được đặt ra trong lời giải bài toán M810 (Kvant, 1983, Số 9, trang 46) về việc ước tính diện tích của hình chữ nhật lớn nhất nội tiếp một figillotsa S lồi tùy ý, E. M. Golberg (Leningrad) nhận thấy rằng tương đối dễ dàng đặt hai hình chữ nhật trong một hình như vậy, tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn S/2 (hình2); Để làm điều này, chỉ cần mô tả một hình chữ nhật KLMN xung quanh một hình cho trước, các cạnh KL và MN tiếp xúc với nó tại các điểm A và B xa nhất của hình (đoạn AB gọi là “đường kính” của hình) và vẽ các đoạn thẳng L1M1 và K1N1 song song với AB sao cho AL1=L1L, AK1=K1A (chứng minh rằng diện tích mỗi hình chữ nhật màu hồng không nhỏ hơn một nửa phần tương ứng của hình, cách nhau bởi dấu đường kính AB). A.

Liên quan đến bài toán M839 (Kvant, 1983, No. 12, p. 35), nhà cổ điển mười (Teler đã là sinh viên) L. Wertheim từ Novosibirsk đã gửi cho chúng tôi một số kết quả thú vị về dãy a, được xác định bởi các điều kiện: a1=1, a2=2, a_k - số nhỏ nhất trong các số tự nhiên không tạo thành bộ ba số hạng của cấp số cộng với các số trước và số lớn a_k-1 (với k>2): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, … Cụ thể: a2m+1=2a2m=3m+1; a2k=a2k-1+1; nếu n lẻ thì để tìm a_n, chỉ cần viết n trong hệ kép và đọc nó trong hệ ba ngôi (ví dụ: 1110=10112, a11=10113=31); bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể thu được dưới dạng tổng của hai số (không nhất thiết phải khác nhau) a_n.

Đúng, tất cả những điều này không giải quyết được một câu hỏi khó hơn: số b_n nhỏ nhất (với n cho trước) là bao nhiêu sao cho từ đoạn của chuỗi tự nhiên từ 1 đến b_n, có thể chọn n số không chứa bộ ba số hạng của cấp số cộng - chỉ thu được ước tính cao hơn: b_n<a_n<c·n^{log2}3.

Xin vui lòng, số lớn nhất trong n số nhỏ nhất trong các hàng của bảng, m là số lớn nhất trong n số nhỏ nhất trong các cột của nó, chúng ta sẽ giả sử rằng k<m. Mỗi dòng chứa một số không vượt quá khóa và một số lớn hơn k (nếu không, dòng lớn nhất sẽ là một dòng trong đó tất cả các số không lớn hơn k; bản thân k không thể nằm trong đó và khi đó nó sẽ là m>k). Ở dòng thứ i, lấy cặp số liền kề a_i và b_i sao cho a_i<k<b_i. Chúng ta sẽ tìm giá trị trung bình của chúng, vì ít nhất một trong các số b_1, b_2, …, b_n không nhỏ hơn n+k.

N. V. Vasiliev