Khôi phục hình đã bị xóa!

30

Khôi phục
hình bị xóa!

Ứng viên khoa học sư phạm
N. N. IVANOVA

“Bài học tiếp theo trong vòng tròn của chúng ta liên quan đến lời giải hình học bài toán,” giáo viên nói. - “Những bài toán này không hoàn toàn bình thường - chúng tôi sẽ tái tạo lại các số liệu bằng cách sử dụng một số yếu tố đã biết. Con người đã phải đối mặt với những vấn đề tương tự vào thời cổ đại, khi họ phải khôi phục ranh giới của những khu vực bị cuốn trôi do lũ lụt sông Nile.”

Giáo viên cho các em xem một mảnh đầu máy hát bị vỡ và yêu cầu các em xác định bán kính của đầu này (tâm của đầu không được giữ nguyên nhưng một phần cạnh của nó vẫn được giữ nguyên).

Các em nhớ rằng tâm của đường tròn mô tả xung quanh tam giác nằm ở giao điểm giữa các đường vuông góc vẽ các cạnh của tam giác. Vậy nó là một đường tròn, dễ dàng tìm được bán kính của nó. Do đó, đối với lời giải bài toán bằng một tấm, bạn có thể sử dụng tam giác ABC, các đỉnh của tam giác này nằm trên cung của hình tròn nhựa (hình 1).

“bài toán thứ hai khó hơn,” giáo viên nói và vẽ hình tam giác ABC lên bảng. Anh ta vẽ các đường trung tuyến trong đó và đánh dấu các đáy D, E, F, sau đó xóa hình tam giác, chỉ để lại các đáy của các đường trung tuyến. Giáo viên gợi ý cho trẻ khôi phục lại hình tam giác.

Petya là người đầu tiên giơ tay. Anh ta lên bảng và nối các điểm này bằng các đoạn. Các đoạn DE, DF, EF là các đường trung bình của tam giác ABC. Và đường thẳng ở giữa song song với cạnh của tam giác. Điều này mang lại chìa khóa cho lời giải bài toán: qua mỗi điểm này, chúng ta cần kiểm tra một đường thẳng song song với điểm không đi qua của đường giữa đi qua nó và nhờ giao điểm của các đường thẳng này, chúng ta sẽ thu được hình tam giác mong muốn (hình 2).

“Được rồi!” giáo viên nói. “Bây giờ là thứ ba bài toán.” Giáo viên vẽ tam giác nhọn ABC lên bảng và vẽ hai đường cao AE, BF vào đó. Sau đó, tôi xóa hình tam giác một lần nữa, để lại các điểm E, F và một phần đáy - đoạn MN. “Khôi phục lại hình tam giác đã bị xóa,” giáo viên nói. Các chàng trai thắc mắc. Seryozha kết nối điểm E và F. Tiếp theo là gì? Nếu chúng ta xác định vị trí của các điểm A và B - các đầu của đáy tam giác - bài toán thì sẽ giải được. “Bạn có thể nói gì về góc AFB và BEA?”

31

Giáo viên nói chuyện với Krugkovites. “Những góc này đều đúng,” các chàng trai trả lời. Seryozha đồng ý rằng điểm E và F thuộc quỹ tích các điểm mà từ đó nhìn thấy đoạn AB vuông góc. Quỹ tích các điểm như vậy là một đường tròn*), đường kính của nó là AB. Bạn cần tìm tâm của vòng tròn này. Nó nằm trên đường thẳng MN và trên đường trung trực vẽ đoạn EF, tức là giao điểm của MN và đường vuông góc này (hình 3). Xác định được điểm A và B, các bạn dễ dàng tìm được điểm C. Vấn đề lời giải!

“bài toán thứ tư là khó nhất: bạn cần xây dựng lại hình tam giác từ đáy của ba đường cao.”
Petya lại lên bảng. Anh ta vẽ một tam giác ABC, vẽ các đường cao trong đó và đánh dấu các đáy: H₁, H₂, H₃. Tôi xóa hình tam giác, nối các điểm H₁, H₂, H₃ và suy nghĩ. Giáo viên khuyên anh ta nên vẽ một bản phác thảo tự do, vì bài toán đã được giải và cho rằng các đường phân giác của tam giác H₁H₂H₃ thuộc về các đường cao của tam giác ABC. Petya suy nghĩ và chứng minh nhận định này. Ông đã xây dựng hai vòng tròn: với động

*) Ngoại trừ điểm A và B.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

mét AC và AB - và sử dụng tính chất góc viết trong đường tròn (hình 4; như Petya lý luận?). Sau đó, Petya lại nhanh chóng xây dựng các đường thẳng bicsectrix trong tam giác H₁H₂H₃ và thông qua các đỉnh H₁, H₂, H₃ vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng đã xây dựng. Tại giao điểm người đó thu được tam giác ABC cần tìm.

Cuối bài cô giáo gợi ý thêm 4 bài toán cho nhà lời giải.

1. Trong tam giác ABC, đường trung tuyến AD và đường cao AH được vẽ từ đỉnh A, đường trung tuyến BF được vẽ từ đỉnh B. Tam giác đã bị xóa, chỉ còn lại ba điểm D, F và H. Khôi phục lại tam giác.

2. Vẽ một hình bình hành. Sau đó nó được xóa đi, để lại phần giữa của ba cạnh. Xây dựng lại hình bình hành.

3. Cho các điểm M, N, K là trung điểm ba cạnh bằng nhau của một tứ giác lồi. Xây dựng lại tứ giác.

4. Dựng lại tam giác nếu trung điểm của hai cạnh của nó và đường thẳng mà phân giác nằm trên một trong hai cạnh này.