Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

52

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$10 \cdot 4 \frac{1}{\sin^2 x} - 16 = 42 \text{ ctg}^2 x + 2.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log \frac{1}{4} - 3x (1 + 25x^2) > 0.$$
3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} y^4 + 19 = 20(x + y), \\ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2y} = \sqrt{2}. \end{cases}$$
4. Đáy AD của hình thang ABCD (AD || BC, AD || BC) là đường kính của đường tròn tiếp xúc với đường thẳng CD tại điểm D và cắt cạnh AB tại điểm L sao cho |AB| = 4/√3 · |AL|. Bán kính hình tròn là R, góc CAD = 45°. Tìm diện tích của hình thang.
5. Điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác đều SABC (S là đỉnh), |BD|: |DC| = 2:3. Hình trụ lắc các mặt bên của các mặt phẳng SAB và SBC, một đáy của hình trụ đi qua điểm D, đáy thứ hai có một điểm chung với cạnh SC. Mặt bên của hình trụ có một điểm chung duy nhất với cạnh AC. Tìm tỉ số thể tích của hình trụ và đường thẳng.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\frac{1}{1 - \sqrt{1-x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{1-x}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\frac{1}{9}\right)^x - \frac{x^2}{2} \geq 3 |3x - 12| + 2x.$$

3. Giải phương trình
   $$9 \log_{\sin 2x} 4 \cos^2 x + 8 \log_2 \cos x \sin x = 16.$$

4. Các dây AB và AC vẽ thành một vòng tròn và |AB| = 2cm, |AC| = 1 cm, góc
   $$\widehat{CAB} = 120^\circ.$$. Tìm độ dài dây cung của đường tròn chia đôi góc CAB.

5. Một hình cầu nội tiếp đường thẳng tứ giác đều SABCD (S là đỉnh). Độ dài cạnh đáy của đường thẳng là 8, chiều dài đường cao của đường thẳng là 3. Điểm M là trung điểm của cạnh SD, điểm K là hình chiếu trực giao của điểm M lên mặt phẳng ABCD. Một tiếp tuyến của hình cầu được vẽ qua điểm M, cắt mặt phẳng ASC tại điểm N sao cho NMK=arccos (-1/3). Tìm |NM|.
   Tùy chọn 3

6. Giải phương trình
   $$\log_4(2x + 9) + 1)\log_{x+2} 2 = 1.$$

7. Giải phương trình
   $$1 - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = \sqrt{2} \cos^2 x + \tg \frac{7\pi}{4}.$$

8. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho các đỉnh của hai parabol y=4x^2 + 8ax - a và y=4ax^2 - 8x + a - 2 nằm cùng một phía của đường thẳng y=-5.

9. Trong hình thang MNPQ (MQ || NP), góc NPM gấp 2 lần góc NQM. |NP| = |MP| = 13/2, |MQ| = 12. Tìm diện tích hình thang.

10. Cho đường thẳng lục giác đều SABCDEF (S là đỉnh). Điểm K và L lần lượt được chọn trên các cạnh ES và AF sao cho |EK| = 1/5 |ES|, |FL| = 1/2 |FA|. Các điểm R và T nằm trên các đường thẳng DK và SL sao cho đường thẳng RT vuông góc với mặt phẳng SAD. Chiều dài của chiều cao của các dòng là 18, |RT| = 4.
    Tìm thể tích của đường thẳng.

Vật lý
Bài thi viết
Vào lời giải bài toán mỗi biến thể có năm giờ. Để đạt được điểm đạt yêu cầu, chỉ cần đạt được hai bài toán bất kỳ là đủ.

Tùy chọn 1

1. Một quả cầu thép chạm vào một mặt phẳng nghiêng nhẵn, đứng yên có góc nghiêng α hợp với góc β (hình 1). Tại bao nhiêu β quả bóng có thể quay trở lại điểm va chạm đầu tiên trên mặt phẳng? Mọi va chạm đều được coi là đàn hồi.
2. Với độ dốc đẳng nhiệt m = 9 g hơi nước ở nhiệt độ T = 373 K, thể tích của nó giảm 3 lần và áp suất tăng gấp đôi. Tìm thể tích hơi ban đầu.