Năng lượng điện trường

21

Các nhà khoa học cũng tỏ ra tương tự: nhà xuất bản của một tạp chí vật lý hàng đầu của Đức đã từ chối xuất bản cả hai tạp chí này vì coi chúng quá “lý thuyết”.

Thế năng lần đầu tiên xuất hiện trong tác phẩm của Helmholtz dưới cái tên “lực căng”. Tuy nhiên, tác giả đã không đưa ra cách giải thích vật lý rõ ràng cho khái niệm này và do đó đã nổ ra tranh cãi xung quanh nó. Bản chất của vấn đề đã được A. Poincaré trình bày rất rõ ràng: “…để vật chất hóa năng lượng, cần phải định vị nó; liên quan đến động năng, điều này chỉ đơn giản là 〈nó được quy cho vật thể chuyển động〉, nhưng tình huống không giống với thế năng. Định vị thế năng gây ra bởi lực hút của hai thiên thể ở đâu? Ở một trong hai? Ở một trong hai? Tất cả? Trong không gian can thiệp?

Nhiều lời giải vấn đề này. Ví dụ, G. Hertz cho rằng cần phải … từ bỏ hoàn toàn khái niệm “thế năng” và cố gắng quy loại năng lượng này thành động năng của các chuyển động tiềm ẩn của các hạt cơ thể. Tuy nhiên, nỗ lực này đã không thành công. Sau đó người ta phát hiện ra rằng thế năng là thước đo của sự tương tác và không thể giải thích sâu sắc và đầy đủ khái niệm này nếu không liên quan đến khái niệm trường. (Vấn đề này sẽ được thảo luận chi tiết trong ghi chú sau bằng cách sử dụng ví dụ về sự tương tác giữa các vật tích điện trong nhà máy điện. - Ed.)

Do đó, sự phát triển dần dần của các khái niệm cơ học đã đưa các nhà khoa học đến những ý tưởng vượt xa phạm vi của ngành vật lý này. Sự làm giàu lẫn nhau của các lĩnh vực khác nhau của khoa học vật lý là một nét đặc trưng trong lịch sử của nó.

Năng lượng điện trường

Như bạn đã biết (“Vật lý 9”, § 55), để sạc tụ điện, cần phải thực hiện một số công. Công việc này là cần thiết để khắc phục lực hút điện phát sinh trong quá trình phân tách điện tích dương và âm. Do làm việc hoàn hảo nên thế năng của nhà máy điện được tích trữ trong tụ điện

$$W = \frac{1}{2} U Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CU^2,$$

trong đó $U$ là hiệu điện thế giữa các bản, $C$ là điện dung của tụ điện, $Q$ là điện tích trên các bản của nó.

Rõ ràng là để tích điện cho bất kỳ vật thể đơn độc nào, nghĩa là tạo ra trong nó lượng điện tích vượt quá cùng dấu, thì cũng phải thực hiện một lượng công việc nhất định. Trong trường hợp này, nó được thực hiện để chống lại lực đẩy điện tác động giữa các điện tích giống nhau tích tụ trên cơ thể. Hãy tính công việc này.

Hãy xem xét một dây dẫn đơn độc. Giả sử chúng ta đã tập trung được điện tích $q$ vào nó. Điện thế của điện trường do điện tích này tạo ra ở vô cực được coi là bằng 0 và điện thế của chất tự dẫn được ký hiệu là $\varphi(q)$. Bây giờ chúng ta sẽ truyền thêm một điện tích nhỏ $\Delta q$ vào dây dẫn từ vô cực. Để làm được điều này bạn sẽ cần phải làm việc

$$\Delta A = \varphi(q) \Delta q.$$

Rõ ràng là điện thế của điện trường luôn tỷ lệ thuận với độ lớn điện tích do trường này tạo ra. Trong trường hợp này, điện thế của dây dẫn tỉ lệ với điện tích trên nó:

$$\varphi(q) \sim q,$$ hoặc $$\varphi(q) = \frac{1}{C} q.$$

Đại lượng $C$ bao gồm trong hệ số tỷ lệ được gọi là điện dung của một dây dẫn. Nó phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của dây dẫn và hằng số điện môi của môi trường.

Hãy vẽ đồ thị sự phụ thuộc tuyến tính của $\varphi$ vào $q$ (hình 1). Công $\Delta A$ được thực hiện khi điện tích $\Delta q$ được truyền từ vô cực sang vật dẫn được biểu thị trên biểu đồ này bằng một cột phẳng được tô bóng. Tổng công $A$ khi sạc một dây dẫn thành một điện tích $Q$ được xác định bằng tổng diện tích của tất cả các cột tương tự, tức là diện tích của hình bên dưới đồ thị của dây dẫn đơn $\varphi$ từ $q$. Trong trường hợp này là diện tích của hình tam giác. Vì vậy, công việc sạc dây từ xa

22

nika, bằng thế năng tĩnh điện mà nó tích trữ, được xác định theo công thức

$$A = W = \frac{1}{2} \varphi(Q) Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} C(\varphi(Q))^2.$$

Công thức (2) có hình thức giống hệt công thức (1), nhưng các đại lượng trong đó có ý nghĩa hơi khác: $\varphi(Q)$ là tích phân thế năng của đầu dò chứ không phải hiệu điện thế ($U$) giữa các bản của tụ điện, $C$ là điện dung của đầu dò, không phải tụ điện.

Nhưng chính xác thì năng lượng được lưu trữ ở đâu? Có hai đáp số bằng nhau cho câu hỏi này. Đầu tiên dựa trên thực tế là năng lượng dự trữ là năng lượng tương tác của các điện tích nằm trên đầu dò. Theo quan điểm thứ hai, vật mang năng lượng dự trữ là điện trường, do đó năng lượng được phân bố trong không gian xung quanh dây dẫn. Trong trường hợp tụ điện phẳng, điện trường do nó tạo ra đồng đều và tập trung ở khu vực giữa các bản. Khi đó dễ dàng chứng tỏ (Vật lý 9, § 55) rằng mật độ năng lượng - năng lượng trên một đơn vị thể tích - được xác định bởi biểu thức

$$w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2},$$

trong đó $E$ là điện áp trường, $\varepsilon$ là điện dung của môi trường bên trong tụ điện.

Hóa ra công thức tương tự có thể được sử dụng để tính tổng năng lượng của điện trường trong trường hợp tổng quát khi trường không đồng nhất. Vì vậy, ví dụ, trong không gian xung quanh thân sạc, điện áp điện trường giảm theo khoảng cách từ

Puc. 1.

Puc. 2.

thi thể. Tuy nhiên, ở bất kỳ nơi nào trong không gian, chúng ta luôn có thể chọn một thể tích nhỏ $\Delta V$ sao cho điện áp trường trong đó thực tế không thay đổi. Khi đó, theo công thức (3), ta tính được mật độ năng lượng tương ứng và thấy rằng thể tích đã chọn chứa năng lượng

$$\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V.$$

Nếu bây giờ chúng ta chia toàn bộ thể tích chứa điện trường thành các thể tích nhỏ, tính năng lượng của từng thể tích theo cách đã chỉ định rồi cộng lại thì chúng ta sẽ được tổng năng lượng của điện trường. Đáng ngạc nhiên là biểu thức đã biết (2) thu được cho tổng năng lượng.

Một ví dụ đẹp cho thấy mật độ của phương pháp tính năng lượng này là bài toán về việc tìm lực đẩy giữa hai nửa của một quả cầu dẫn điện tích điện đặt trong chân không.

Trước hết, chúng ta hãy nhớ rằng trường bên trong một quả cầu dẫn điện, cũng như bên trong bất kỳ vật dẫn nào (“Vật lý 9”, § 44), đều bằng không. Bên ngoài quả cầu, điện áp trường giống như điện tích chính xác bằng điện tích của quả cầu và nằm ở tâm của nó:

$$E(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2},$$

trong đó $Q$ là điện tích của quả cầu, $r$ là khoảng cách từ tâm của nó đến điểm đang xét. $Y$ làm hỏng một quả cầu có bán kính $R$, do đó điện áp trường hóa ra bằng

$$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng cắt quả cầu làm đôi và sử dụng lực đẩy $F$ để tách nửa này khỏi nửa kia ở một khoảng cách nhỏ $\Delta x$. Công việc đã hoàn thành

$$\Delta A = F \Delta x$$

bằng với sự giảm tổng năng lượng của điện trường, như chúng ta biết, được lưu trữ trong toàn bộ không gian xung quanh quả cầu. Hoạt động