Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

52

Đại học bang Kiev được đặt theo tên. T. G. Shevchenko

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $y=3x+e^{-2x}$.
2. Giải phương trình
   $$\sqrt{1+\sin^2x}+2\cos \frac{x}{2}=0.$$
3. Tìm thể tích của một hình chóp tam giác đều nếu cạnh đáy của nó là $a$ và bán kính của quả cầu nội tiếp trong hình chóp là $r$.
4. Cho biết hệ phương trình có bao nhiêu lời giải
   $$\begin{cases} x^2+y^2=8, \\ (y-a)(y-a\sqrt{2})=0 \end{cases}$$
   tùy thuộc vào tham số $a$.
5. Cho biết tất cả các giá trị của tham số $a$, với mỗi giá trị trong đó câu sau đây đúng: nếu $-\frac{\pi}{2}<a<0$ và $-\frac{\pi}{2}<\beta<0$ và $\sin \frac{\alpha}{2}=a\cos \beta$ thì $-\frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<0$.

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm $y=2x^2-2x-1$ trên khoảng [0; 2].
2. Giải phương trình
   $$2\cos^2x-3\sin x=0.$$
3. Tổng của ba số tạo thành một cấp số cộng là 30. Nếu bạn trừ 5 cho số đầu tiên, 4 cho số thứ hai và giữ nguyên số thứ ba thì các số thu được sẽ tạo thành một cấp số nhân. Tìm những con số này.
4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2^2x-\log_{1/2}x<12-3\sqrt{\log_2^2x+\log_2\frac{x}{4}}.$$
5. Đỉnh của góc $ABC$, có độ lớn nhỏ hơn 180°, nằm trên đường tròn $l_1$ và một trong các cạnh của nó đi qua tâm đường tròn. Vòng tròn $l_2$ nội tiếp góc $ABC$ và mặt ngoài tiếp xúc với vòng tròn $l_1$. Tìm giá trị nào của góc $ABC$ thì bán kính hình tròn $l_2$ lớn hơn 24 lần bán kính hình tròn $l_1$.

Tùy chọn 3
(Khoa vật lý vô tuyến)

1. Giải phương trình
   $$4\cos^2x+4\sin x=1.$$

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm
   $$y=-2x^3+3x^2+12x+5$$
   trên khoảng [-2; 1].

3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2\cdot4^{x+1}-5\cdot9^x}{9^{x+1}-7\cdot4^x}<1.$$

53

4. Chỉ định tất cả các giá trị của tham số $a$ mà hệ thống
   $$\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x \leq 1, \\ x - y + a = 0 \end{cases}$$
   có một lời giải.
5. Chiều cao của hình nón bằng đường kính đáy của nó và thể tích của hình nón là $v$. Tìm thể tích của hình cầu ngoại tiếp một hình nón.

Tùy chọn 4
(khoa địa chất)

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 8, \\ \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = 1. \end{cases}$$
2. Giải phương trình
   $$9\cos x - 10 \cdot 3^{-\frac{1}{2} + \cos x} + 3 = 0.$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2(x+1)^2 + 1 < 0.$$
4. Cho biết tại điểm nào hàm số $y = \log_{1/2}(3-2x-x^2)$ có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị này.
5. Tỷ lệ diện tích bề mặt bên của hình chữ nhật tứ giác bên phải và diện tích đáy của nó bằng $\sqrt{3}$. Tìm góc giữa các cạnh đối diện của đường thẳng.

Tùy chọn 5
(khoa địa chất)

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{3} \sin 3x + \cos 3x = 0.$$
2. Xác định các khoảng tăng giảm của hàm
   $$y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3.$$
3. Tính toán
   $$\log_{\sqrt{2}}(4\sqrt{2} \cdot 3^{\log_{1/3}\sqrt{8}}).$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{1-x} > 2x + 8.$$
5. Diện tích xung quanh của hình nón là $s$ và tổng diện tích bề mặt của nó là $p$. Xác định góc giữa đường cao và đường sinh của hình nón.
   Bài thi vấn đáp
6. Giải thích tại sao việc chuyển một phân số khách quan sang số thập phân luôn cho kết quả là phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số tuần hoàn.
7. Phần chính của hình nón là một hình tam giác vuông. Bán kính $r_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) của các quả bóng $S_n$ tạo thành hình nón tới?

6. Thể tích của những quả bóng này hình thành theo trình tự nào?
   b) Thể tích toàn phần của tất cả các quả bóng bằng bao nhiêu phần thể tích của hình nón?

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2xz + 3yz + z^2 = 11z, \\ 3xz + yz - z^2 = 2z, \\ xz - 2yz + 2z^2 = 3z. \end{cases}$$
4. Cho biết các số $a$ và $b$ phải liên hệ với nhau như thế nào để bất đẳng thức
   $$\sqrt{x-a} > \sqrt{2x-b}$$ đã có lời giải. Trong trường hợp về cơ bản lời giải chúng hình thành? Đối với $a$ và $b$, điều này đặt khoảng [1; 5]?
5. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{25-x^2} \leq \frac{12}{x}.$$
6. Cho ví dụ về hàm có:
   a) có vô số trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng;
   b) có vô số tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng.
7. Các đáy của hình thang là $a$ và $b$ ($a < b$). Các đường chéo của hình thang chia nó thành các hình tam giác chẵn. Diện tích nhỏ nhất trong số chúng (theo diện tích) là $S$. Hãy cho biết đây là loại tam giác gì. Diện tích của các hình tam giác khác là gì?
8. Bán kính hình tròn $l_1$ bằng $r$. Tìm hiểu xem có tồn tại một đường tròn $l_2$ đồng tâm với $l_1$ sao cho các đường tròn $n$ nội tiếp trong vòng được tạo bởi các đường tròn này hay không, mỗi đường tròn sẽ tiếp xúc với hai đường tròn lân cận ($n$ là một số tự nhiên cho trước, $n \geq 3$). Xác định bán kính của hình tròn $l_2$.
9. Góc diện tích tại đỉnh của đường thẳng trực giác $n$ bên phải bằng $a$. Xác định các cạnh bên của đường thẳng nghiêng với mặt phẳng đáy một góc bằng bao nhiêu.
10. Chứng minh rằng đồ thị của mọi hàm số $y=ax^2+bx+c$ ($a \neq 0$) đều có trục đối xứng.
11. Hai quả bóng có bán kính $r_1$ và $r_2$ ($r_1 < r_2$) chạm vào nhau và tất cả các bộ phận tạo ra hình nón. Xác định góc ở đỉnh của mặt cắt trục của hình nón.
12. Giải bất đẳng thức
    $$\left| \log_2 \frac{x}{3} \right|^{x^2-5x-6} \leq 1.$$
13. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm $y=|x^2-4x|-1$ trên khoảng $[-\frac{1}{2}; 3].$
14. Giải phương trình
    $$\frac{4\sin x}{(x-3)^2} + |\sin x| = 0.$$
15. Tổng của mười chín số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 76. Tìm số hạng thứ mười của cấp số cộng này. Có thể xác định thành viên nào khác của tiến trình này không?
16. Vẽ đồ thị hàm số
    $$y = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \text{ если } x \leq 0, \\ \log_{1/2}(x+1), & \text{ если } x > 0. \end{cases}$$
17. Liệt kê tất cả các giá trị của $a$, mỗi giá trị có giá trị nhỏ nhất trong khoảng [0; 1] giá trị của hàm $y=2+ax^2-x^3$ đạt được tại điểm $x=1$.

Vật lý
Bài thi vấn đáp
Khoa Vật lý

1. Người quan sát thay đổi rằng trong $t=2$ s vật rơi tự do đã bay được một quãng đường $s=100$ m. Vật rơi từ trạng thái đứng yên ban đầu cho đến khi bắt đầu quan sát trong bao lâu và nó đã đi được quãng đường bao nhiêu?