Khối phụ trợ

46

Khối phụ trợ

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
M. R. LIVERSON

Với lời giải bài toán trong phép đo lập thể, khó khăn thường nảy sinh ngay từ bước đầu tiên. Bạn cần có trí tưởng tượng hình học phát triển tốt để tưởng tượng ra bức tranh không gian tương ứng. Nếu chúng ta đang nói về các vật thể hình học mà chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày (khối lập phương, quả bóng, hình trụ, hình bình hành, v.v.), thì những đồ vật này rất dễ hình dung. Bạn biết cách vẽ chúng. Ví dụ, việc mô tả các đường thẳng giao nhau hoặc một tập hợp các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian sẽ khó khăn hơn nhiều. Và không chỉ mô tả mà còn tạo một bức vẽ giúp lời giải bài toán.

Có một phương pháp cho phép bạn trình bày những khó khăn này trong một số trường hợp. Nó dựa trên sự xem xét sau đây. Nếu cấu hình không gian khó nhận biết và không được liên kết với một vật thể hình học cụ thể, thì chúng ta sẽ cố gắng liên kết nó một cách giả tạo với một vật thể nào đó. Ví dụ, với một khối lập phương.

Khối lập phương được vẽ trên giấy giúp chúng ta thực hiện trí tưởng tượng dễ dàng hơn. Ví dụ: trên hình 1, việc các đường $l$ và $m$ bị lệch là không đúng. Chúng tôi đã loại bỏ khối lập phương (hình 2) và độ trong của không gian biến mất - chúng tôi thấy các đường giao nhau $l$ và $m$ trên mặt phẳng.

Một ví dụ khác. Khi các tia $l$, $m$ và $n$ phát ra từ một điểm $A_1$, chẳng hạn như các đường thẳng giao nhau hoặc một tập hợp các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Trên hình 4 không có khối lập phương nên hình ảnh trở nên phẳng. Để nhìn thấy cùng một góc tam giác trên đó, chúng ta phải buộc trí tưởng tượng của mình hoạt động.

Việc sử dụng khối phụ không chỉ “biến” một bức tranh phẳng thành hình ba chiều mà còn chỉ ra các đường dẫn lời giải bài toán. ủng hộ-

47

chứng minh điều này trong các ví dụ sau*).

Bài toán 1. Các góc phẳng của một góc tam diện là 45°, 45° và 60°. Một đường thẳng đi qua đỉnh của nó, vuông góc với một trong các mặt có góc phẳng là 45°. Tìm góc giữa đường thẳng này và cạnh của một góc tam diện không nằm trên mặt đó.

Lời giải. Xét khối phụ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (hình 5). Chúng ta hãy vẽ các đường chéo $AB_1$ và $AC$ của hai mặt liền kề của nó. Chúng ta có $B_1\overset{\frown}{AB} = 45^\circ$, $B\overset{\frown}{AC} = 45^\circ$, $B_1\overset{\frown}{AC} = 60^\circ$ là góc của tam giác đều $AB_1C$. Do đó, góc tam giác $AB_1BC$ là góc được đề cập trong điều kiện bài toán. Cạnh $AA_1$ đi qua đỉnh $A$ của nó và vuông góc với mặt $BAC$. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm góc $A_1AB_1$. Đáp số rất giống: $A_1\overset{\frown}{AB_1} = 45^\circ$.

Lời giải cái bài toán này mà không sử dụng khối lập phương thì khá khó và lâu hơn đáng kể**). Ở đây chúng ta không cần phải đếm gì cả: đáp số chúng ta đã “đọc được” trên khối lập phương. Nhưng những trường hợp như vậy rất hiếm.

Bài toán 2. Góc giữa hai cạnh của một góc tam diện là một đường thẳng và độ lớn mỗi góc phẳng của các cạnh này là $\alpha$. Tìm các giá trị của góc phẳng của mặt thứ ba.

Lời giải. Đầu tiên, chúng ta sẽ giả sử rằng góc $\alpha$ là góc nhọn. Đặt đỉnh $A$ của khối phụ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (hình 6) là đỉnh của một góc tam diện và các đoạn $AM, AB$ và $AN$ các cạnh của nó (nếu $\alpha > 45^\circ$ thì các điểm $M$ và $N$ nằm trên phần kéo dài của các cạnh $BB_1$ và $BC$). Bạn cần tìm góc $MAN$.

Chúng ta hãy thả một đường vuông góc $MP$ từ điểm $M$ lên đoạn $AN$ và nối các điểm $B$ và $P$. Theo định lý ba đường vuông góc thì đoạn $BP$ vuông góc với đoạn $AN$. Từ các tam giác vuông $APB$ và $ABM$ ta thu được

$$|AP| = |AB| \cdot \cos \alpha, \quad |AM| = \frac{|AB|}{\cos \alpha}.$$

*) bài toán được thảo luận trong bài viết này được đưa ra vào các năm khác nhau trong kỳ thi tuyển sinh viết môn toán tại các khoa khác nhau của Đại học Tổng hợp Moscow. M. V. Lomonoeva.

**) Cả lời giải (có và không có khối lập phương) đều được đưa ra trong sách bởi Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Sổ tay toán học dành cho ứng viên đại học (M. Nauka, 1976, trang 467-469).

48

Góc cần tìm $M\widehat{AN}$ là góc nhọn của tam giác vuông $APM$; Đó là lý do tại sao

$$\cos M\widehat{AN} = \frac{|AP|}{|AM|} = \frac{|AB| \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha}{|AB|} = \cos^2 \alpha,$$

$$M\widehat{AN} = \arccos(\cos^2 \alpha).$$

Nếu góc là $\alpha = 90^\circ$ thì góc mong muốn là góc vuông, góc này cũng có thể được viết bằng kết quả tương ứng.

Vì vậy, đáp số giống nhau trong mọi trường hợp: $\arccos(\cos^2 \alpha)$.

Chúng ta thấy rằng việc mô tả các góc tam giác trên một khối lập phương là thuận tiện, hai mặt của chúng đã được phân bố lại. Điều này là do thực tế là khối lập phương có hai góc vuông. Nhưng hình lập phương cũng chứa một chiều dài – chiều dài cạnh của nó. Điều này giúp có thể mô tả khoảng cách trong bản vẽ.

Bài 3. Đáy $MN$ và đỉnh $K$ của tam giác cân $MNK$ nằm trên các mặt khác nhau của một góc nhị diện vuông có cạnh $l$. Các điểm $M$ và $K$ cách $l$ một khoảng $a$ và hình chiếu của điểm $N$ lên cạnh $l$ cách đều hình chiếu của các điểm $M$ và $K$ lên cạnh $l$. Tìm khoảng cách từ điểm $N$ đến $l$ nếu $MK$ tạo thành một góc với $l$ bằng $60^\circ$.

Lời giải. Cho chiều dài cạnh của hình lập phương phụ $ABCDA_1B_1C_1B_1$ bằng $a$ và hai góc tính từ điều kiện bài toán tạo thành bởi gam $AA_1B_1B$ và $ABCD$ (hình 7). Khi đó điểm $M$ nằm trên cạnh $A_1B_1$ và điểm $K$ nằm trên cạnh $CD$ (hoặc trên phần mở rộng của chúng). Hãy căn chỉnh điểm $M$ với đỉnh của khối lập phương $A_1$. Đặt điểm $K$ nằm trên cạnh $CD$ (nó có thể nằm trên phần tiếp theo của cạnh $CD$ ngoài đỉnh $D$, điểm này không làm thay đổi khoảng cách của chúng ta).

Hình 7.

Chúng ta hãy thả phép phân phối lại $KP$ lên cạnh $AB$ và đánh dấu điểm giữa $Q$ của đoạn $AP$. Trong mặt phẳng của khuôn mặt $AMB_1B$, chúng tôi tái cấu trúc từ điểm $Q$ sự phân bổ lại đến cạnh $AB$. Đỉnh $N$ của tam giác $MNK$ nằm trên phân bố lại này, vì hình chiếu $Q$ của nó cách đều hình chiếu của các điểm $M$ và $K$. Lưu ý rằng điểm $N$ nằm phía trên cạnh $MB_1$; nếu không thì tam giác $MNK$ sẽ không đều.

Hãy vẽ các đoạn $MD$ và $KQ$. $|MD| = a\sqrt{2}$ giống như đường chéo của một hình vuông nhìn từ cạnh $a$. Theo điều kiện, góc giữa các đường giao nhau $AB$ và $MK$ bằng $60^\circ$. Nhưng đường thẳng $CD$ song song với đường thẳng $AB$, do đó $MKD = 60^\circ$. Từ tam giác vuông $MDK$ có

$$|MK| = \frac{|MD|}{\sin 60^\circ} = \frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, |DK| = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

Trong điều kiện $|NK| = |MK|$ và $|AP| = |DK|$. Sau đó $|QP| = \frac{1}{2}|AP| = \frac{1}{2}|DK| = \frac{a}{\sqrt{6}}$. Từ tam giác vuông $QPK$ có $|QK|^2 = |QP|^2 + |KP|^2 = 7a^2/6$. Cuối cùng, từ tam giác vuông $NQK$ ta có

$$|NQ| = \sqrt{|NK|^2 - |QK|^2} = \sqrt{|MK|^2 - |QK|^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6}.$$

Nhiệm vụ lời giải.

Bài 4. Trong tam giác $LMN$ cho trước: $L\widehat{NM} = 90^\circ$, $M\widehat{NL} = 30^\circ$. Trên đường vuông góc với đoạn $LN$ đi qua điểm $L$ trong không gian lấy một điểm $F$ sao cho $|LF| = |MN|$ được lấy. Các nửa mặt phẳng thuộc tam giác $LMN$ và $LNF$ tạo thành một góc nhị diện bằng $60^\circ$. Ở góc này giữa các đường thẳng $LM$ và $NF$.

Lời giải. Hãy đặt hình tam giác $LMN$ trên mặt của khối phụ $ABCDA_1B_1C_1B_1$ như trong hình 8, tức là điểm $L$ tương thích với đỉnh $A_1$ và điểm $N$ với đỉnh $A$. Hãy để $|MN| = a$. Chúng ta hãy lần lượt vẽ các đoạn $LP$ và $NQ$ ở mặt trên và mặt dưới của hình lập phương sao cho $PLD_1 = QND = 60^\circ$. Góc nhị diện tạo bởi các mặt phẳng $LND_1D$ và $LNPQ$ là $60^\circ$. Trên đoạn $LP$ ta lấy điểm $F$ sao cho $|LF| = |MN| = a$. Hãy kết nối các dấu chấm $N$ và

49

Hình 8.

F. Bản vẽ của chúng tôi đáp ứng đầy đủ các điều kiện.

Hãy tìm góc giữa hai đường thẳng LM và NF. Qua điểm F ta vẽ đoạn FK song song với cạnh LD₁ và có độ dài bằng a. Hãy nối điểm K với các điểm M và L. Góc LMK là góc độc quyền vì đường thẳng MK song song với đường thẳng NF (tứ giác NFKM là hình bình hành). Từ tam giác vuông LNM ta tìm được |LM|=2a. Các tam giác LNM và NLF bằng nhau (ở hai cạnh), do đó |NF|=|LM|=2a. Điều này có nghĩa là |KM|=2a. Trong tam giác LFK |LF|=|FK|=a, LFK=120°. Do đó |LK|=a√3. Từ tam giác LMK có

$$\cos \hat{LMK} = \frac{|LM|^2 + |KM|^2 - |LK|^2}{2|LM| \cdot |KM|} = \frac{8a^2 - 3a^2}{2 \cdot 4a^2} = \frac{5}{8},$$

nghĩa là, $\hat{LMK} = \arccos \frac{5}{8}$.

Bài toán 5. Góc giữa hai đường giao nhau là 60°. Điểm M nằm trên một đường thẳng, điểm N nằm trên một đường thẳng khác và khoảng cách từ mỗi điểm này đến đường vuông góc chung của các đường thẳng cắt nhau bằng khoảng cách giữa các đường thẳng đó. Góc nhọn giữa đường vuông góc chung và đường thẳng MN có thể có giá trị bao nhiêu?

Lời giải. Cho một trong các đường chéo đi qua đỉnh A và D của khối phụ ABCDA₁B₁C₁D₁. Chúng ta vẽ đường thẳng thứ hai đi qua đỉnh A₁ một góc 60° với cạnh A₁D₁ trong mặt phẳng của mặt A₁B₁C₁D₁ (hình 9). Khi đó cạnh AA₁ là đường vuông góc chung của các đường thẳng đã cho. Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng chiều dài cạnh của khối a, nghĩa là các điểm M và N cách đoạn AA₁ một khoảng a. Hãy căn chỉnh điểm M với đỉnh D. Có hai vị trí có thể có cho điểm N.

1. Điểm N nằm trong mặt A₁B₁C₁D₁.

Hãy vẽ các đoạn ND₁ và MN. Tam giác A₁ND₁ là tam giác đều nên |ND₁|=a. Góc yêu cầu giữa đường thẳng MN và AA₁ bằng góc NMD₁, vì đường thẳng AA₁ song song với MD₁. Trong tam giác ND₁M

$$|ND₁|=|MD₁|=a, MD₁N=90°.$$

Điều này có nghĩa là NMD₁=45°.

2. Điểm N nằm ngoài mặt A₁B₁C₁D₁ (tại hình 9 của điểm N₁).

Hãy vẽ các đoạn N₁D₁ và MN₁. Tam giác N₁A₁D₁ là tam giác đều có góc ở đỉnh bằng 120° và các cạnh bằng a. Do đó, |N₁D₁|=a√3. Góc giữa hai đường thẳng AA₁ và MN₁ bằng góc N₁MD₁. Từ tam giác N₁D₁M ta tìm được N₁MD₁=60°.

Chúng ta thấy rằng việc giới thiệu một tồn tại khối phụ giúp đơn giản hóa lời giải. Trong bài toán tiếp theo, như trong bài toán 1, ​​​​nhờ khối lập phương, chúng ta sẽ tìm được góc mong muốn mà không cần tính toán.

Bài toán 6. Cơ sở của một hình lập phương song song tồn tại đơn giản hóa lời giải. Trong bài toán tiếp theo, như trong bài toán 1, nhờ khối lập phương, chúng ta sẽ tìm được góc mong muốn mà không cần tính toán.

Bài toán 6. Cơ sở của một hình lập phương song song tồn tại đơn giản hóa lời giải. Trong bài toán tiếp theo, như trong bài toán 1, nhờ khối lập phương, chúng ta sẽ tìm được góc mong muốn mà không cần tính toán.

50

Lời giải. Gọi độ dài cạnh của hình lập phương phụ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ bằng 2. Khi đó đường chéo của mỗi mặt của nó bằng $2\sqrt{2}$. Chúng ta hãy đặt ứng dụng $HPQR$ bên trong khối lập phương sao cho các điểm $P, Q$ và $R$ lần lượt trùng với các điểm $D, B$ và $C$ (hình 10). Điểm $H$ trùng với điểm giữa của cạnh $RC_1$.

Điểm cuối cùng là $H$ với điểm giữa $S$ của cạnh $PR$. Hãy vẽ một đường chéo $RA$ của mặt dưới của hình lập phương. Điểm $T$ giao nhau của đường chéo $RA$ và $PQ$ là trung điểm của đoạn $PQ$. Cần tìm góc và khoảng cách giữa các đường giao nhau $HS$ và $RT$.

Hãy vẽ các đường chéo $C_1P, B_1A$ và $B_1R$ của các mặt bên của hình lập phương. Rõ ràng đoạn $HS$ song song với đoạn $B_1A$. Do đó, góc chúng ta đang tìm là góc $B_1AR$, bằng $60^\circ$ (tam giác $B_1AR$ đều).

Bây giờ lưu ý rằng mặt phẳng của tam giác $B_1AR$ chứa đoạn $RT$ và song song với đoạn $HS$. Do đó, khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách giữa đường thẳng $HS$ và mặt phẳng $B_1AR$.

Xét một tứ diện đều có đáy $B_1AR$ và đỉnh $D_1$. Gọi $D_1O$ là chiều cao của tứ diện. Từ điểm $F$ giao nhau của các đoạn $D_1R$ và $HS$ ta hạ đường vuông góc $FE$ xuống đoạn $RO$. Đoạn $FE$ vuông góc với mặt phẳng $B_1AR$ hoặc đoạn $FE$ song song với đoạn $D_1O$. Điều này có nghĩa là khoảng cách cần thiết là $|FE|$. Từ sự giống nhau của tam giác $D_1OR$ và $FER$

$$\frac{|FE|}{|D_1O|} = \frac{|FR|}{|D_1R|} = \frac{1}{4}.$$

Vẫn còn phải tìm chiều cao của tứ diện $D_1O$. Trong tam giác vuông $D_1OR$, cạnh huyền là $|D_1R| = 2\sqrt{2}$ và chân $RO$ bằng 2/3 chiều cao của tam giác vuông $B_1AR$ tính từ cạnh $2\sqrt{2}$, tức là $|RO| = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. Sau đó

$$|D_1O| = \sqrt{|D_1R|^2 - |RO|^2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Cuối cùng,

$$|FE| = \frac{1}{4}|D_1O| = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Bài toán

1. Góc tam giác $OABC$ có góc vuông giữa các mặt $OAB$ và $OBC$, đồng thời độ lớn của mỗi góc nhị diện còn lại là $γ$. Tìm các giá trị của góc phẳng $AOC$.

2. Các đỉnh $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ nằm trên các mặt khác nhau của một góc nhị diện có độ lớn $45^\circ$ với cạnh $l$. Cạnh $AC$ vuông góc với một mặt và cắt nó ở giữa. Hình chiếu của đoạn $BC$ lên ranh giới kia song song với cạnh $l$ và có độ dài bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến $l$. Tìm các góc của tam giác $ABC$.

3. Trong tam giác vuông $ABC$, chân $AC$ ngắn hơn chân $BC$. Thông qua các điểm $B$, một đường thẳng được vẽ trong không gian vuông góc với đoạn $BC$, và trên đường thẳng này lấy một điểm $D$ sao cho $|BD| = |AC|$. Góc nhị diện giữa các hình nón thuộc tam giác $BCD$ và $ABC$ là $45^\circ$. Tìm góc nhọn giữa đường thẳng $AB$ và $CD$.

4. Góc giữa hai đường cắt nhau là $45^\circ$. Điểm $M$ nằm trên một trong số chúng và điểm $N$ nằm trên điểm kia. Độ dài đường vuông góc chung của các đường thẳng giao nhau gấp đôi khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm đó và bằng giây nhỏ hơn khoảng cách từ điểm $N$ đến điểm đó. Tìm góc giữa đường vuông góc chung và đường thẳng $MN$.

5. Độ dài cạnh của một tứ diện đều $SABC$ bằng 1. $BD$ là chiều cao của tam giác $ABC$. Tam giác đều $BDE$ nằm trong mặt phẳng tạo thành một góc $\varphi$ với cạnh $AC$, đồng thời các điểm $S$ và $E$ nằm cùng một phía của mặt phẳng $ABC$. Tìm khoảng cách giữa các điểm $S$ và $E$.