Bài toán M981—M985; F993—F997

28

Nhiệm vụ

M981—M985; F993—F997

M981. Chứng minh rằng số 11…1 (1986 đơn vị) có ít nhất a) 8, 6) 28 ước số khác nhau.

L. D. Kurlyandchik

M982. Trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC, dựng các hình vuông ABB₁A₂, BCB₁C₂, CAA₁C₂ ở mặt ngoài. Chứng minh rằng các đường vuông góc với các đoạn A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, được phục hồi tại trung điểm của chúng, cắt nhau tại một điểm.

N. Azamov (học sinh lớp 8)

M983. Trong một giải đấu có 16 tay vợt mỗi người, hai người chơi một trận.

a) Cho một ví dụ về cách phân bố kết quả trò chơi trong đó 10 người tham gia bất kỳ có thể xếp thành vòng tròn sao cho mỗi người thắng người hàng xóm bên trái của mình.

6. Chứng minh rằng nếu điều kiện a) được thỏa mãn thì 11 người tham gia bất kỳ có thể được sắp xếp thành một vòng tròn theo cách này.

K. P. Kokhas

M984. Qua một điểm tùy ý K bình phương ABCD kẻ một đường thẳng cắt các cạnh đối diện AB và CD tại các điểm P và Q. Chứng minh rằng giao điểm của các đường tròn đi qua các điểm K, B, P và K, D, Q khác K, nằm trên đường chéo BD (hình 1).

V. N. Dubrovsky

M985. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau tại điểm Q là góc giữa tia của chúng với đỉnh O, không quá 90°. Có bao nhiêu cách vẽ ba đường thẳng l₁, l₂, l₃ đi qua một điểm O trong không gian sao cho các góc giữa l₂ và l₃, l₃ và l₁, l₁ và l₂ lần lượt ứng với các số α₁, α₂, α₃? (Hai điểm của các đường thẳng l₁, l₂, l₃ và l₁′, l₂′, l₃′ được coi là bằng nhau nếu chúng “đồng dạng”, nghĩa là, nếu có một phép đo đối với mặt phẳng lấy l₁ đến l′′ với mọi i=1, 2, 3.)

Các tập sắp tới: đáp số phụ thuộc vào giá trị của α₁, α₂, α₃; ví dụ: đối với α₁=α₂=α₃=30° thì nó không giống với đối với α₁=α₂=α₃=70°.

A. V. Goncharov

29

F993. Một sợi dây được ném qua một khúc gỗ đứng yên nằm ngang. Để giữ vật nặng $m=6$ kg treo trên sợi dây này, cần kéo đầu thứ hai của sợi dây với lực tối thiểu $F_1=40$ N (hình 2). Phải kéo sợi dây với lực tối thiểu bằng bao nhiêu $F_2$ để tải bắt đầu tăng?

A. I. Buzdin

F994. Vệ tinh khám phá một hành tinh có mật độ $q$, di chuyển theo quỹ đạo tròn với chu kỳ quỹ đạo là $T$ và chụp ảnh bề mặt của nó. Bao nhiêu phần hành tinh sẽ vẫn chưa được khám phá?

V. V. Dorin

F995. Có một chất lỏng có mật độ $q$ trong thủ đô bị phong ấn. Khi mao quản được làm nóng đến giá trị nhỏ $\Delta T$, hóa ra ranh giới $AB$ giữa chất lỏng và hơi của nó (hình 3) không bị sụp đổ. Đồng thời, áp suất hơi tăng $\Delta p$. Mật độ của chất lỏng thay đổi như thế nào?

L. G. Markovich

F996. Trong máy quang phổ khối bay ngang, nguồn phát ra một dòng hạt tích điện ban đầu bay tự do (hình4) và đi qua cảm biến đầu tiên ($\Delta I_1$), nằm ở khoảng cách $L$ tính từ lưới (C). Phía sau lưới, dọc theo pháp tuyến của nó, các hạt chịu tác dụng của một lực điện $F$. Các hạt quay, bay trở lại lưới và bay qua cảm biến thứ hai ($\Delta I_2$), nằm ở cùng khoảng cách $L$ với lưới. Bằng cách thay đổi chế độ hoạt động của nguồn, thay đổi thời gian giữa các cảm biến so sánh và tìm thời gian bay t ngắn nhất. Khối lượng của hạt là bao nhiêu? (Tốc độ ban đầu phụ thuộc vào điện áp của nguồn, nhưng không biết giá trị chính xác của nó.) Làm thế nào bạn có thể tìm thấy khối lượng của các hạt nếu nguồn phát ra đồng thời nhiều loại hạt có khối lượng khác nhau?

I. I. Vorobiev

F997. Được biết, vệt sáng của một thiên thạch rơi xuống trở nên sáng hơn khi nó đến gần Trái đất. Tuy nhiên, ở các tầng trên của khí quyển, nó tồn tại lâu hơn đáng kể so với ở Trái đất. Tại sao?

A. S. Butov

Problems

M981 — M985; P993 — P997

M981. Prove that the number 11…1 (1986 ones) has at least a) 8, b) 28 different divisors.

L. D. Kurlyandchik

M982. The squares $ABB_1A_2$, $BCB_1C_2$, $CAA_1C_2$ are constructed on the exterior of sides $AB$, $BC$, $CA$ of triangle $ABC$. Prove that the perpendiculars at the midpoints of the segments $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ intersect in one point.

N. A. Azamov (8th form pupil)

M983. Sixteen tennis players play in a round robin tournament (each pair playing once). a) Give an example of the results of such a tournament where

31

+∠AEM) = -\frac{1+3}{1-1\cdot3} = 2, do đó, ∠CFN = ∠AME và các tam giác bằng nhau ở hai góc.

Hãy để chúng tôi trình bày thêm một cái nữa, thuần túy hình học lời giải. Rõ ràng là AM:MC=AE:CD=1:3, AB:AC=√2/2, do đó,

AE:AM = (\frac{1}{3}AB) : (\frac{1}{4}AC) = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Tương tự CN : NA = CF : AB = 1 : 2 và

CN:CF = (\frac{1}{3}AC) : (\frac{1}{2}CD) = \frac{2\sqrt{2}}{3},

nghĩa là AE:AM = CN:CF; do đó sự đồng dạng của các hình tam giác.

bài toán này được xây dựng dựa trên sự tương ứng arctg1 + arctg2 + arctg 3 = π/2; nó cũng được sử dụng trong bài toán cho trong hình 2 - hãy cố gắng giải nó thuần túy về mặt hình học!

A. P. Savin, V. N. Dubrovsky

M962. Chứng minh rằng với mọi đa thức P(x) có hệ số nguyên thì không thể tìm được các số nguyên phân biệt x1, x2, …, xn (n ≥ 3) sao cho các đẳng thức P(x1) = x2, P(x2) = x3, …, P(xn-1) = xn, P(xn) = x1 đúng.

◆

Hãy chứng minh rằng nếu các số nguyên x1, …, xn thỏa mãn các đẳng thức từ điều kiện bài toán thì nó sẽ tìm thấy các số nguyên giống nhau trong số chúng.

Chúng tôi sử dụng bổ đề sau: nếu P(x) là đa thức có hệ số nguyên, b và c là các số nguyên phân biệt thì P(b) - P(c) chia hết cho b−c. Trong trường hợp này, bất đẳng thức |b−c| ≤ |P(b)−P(c)|; Đây là hệ quả duy nhất có tác dụng với lời giải bài toán.

Vì P(x1) = x2, P(x2) = x3, theo Bổ đề |x1−x2| ≤ |x2−x3| ≤ |x3−x4| ≤ … ≤ |xnx1| ≤ |x1−x2|, nghĩa là |x1−x2| = |x2−x3| = … = |xn−x1|.

Nếu n ≥ 3 thì trong các số x1, x2, …, xn sẽ tìm được các số bằng nhau: ta có thể giả sử x1 là số nhỏ nhất trong các số này; Sau đó

x2−x1 = |x1−x2| = |xn−x1| = xn−x1,

tức là xn = x2.

Hãy chứng minh điều sau đây. Từ đẳng thức cho trước ở lề, rõ ràng là số b^k−c^k với mọi số nguyên dương k đều chia hết cho b−c. Đặt P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n; thì số P(b)−P(c) = a1(b−c) + a2(b^2−c^2) + … + a(n(b^n)) cũng chia hết cho b−c.

◆

Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh một phát biểu phụ trợ.

Cho các đoạn AB và CD song song, các đoạn AC và BD cắt nhau tại điểm P (hình 1). Khi đó tập hợp các điểm X nằm trong APB và CPD sao cho các tam giác XAC và XBD có kích thước bằng nhau là đường thẳng nối các đoạn AB và CD.

Để chứng minh điều này, ta vẽ điểm X song song với AB và CD; hãy để nó vượt qua (Phần kết xem trang 34)

M963. Ba cặp cạnh đối diện của một hình lục giác song song. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của chúng cắt nhau tại một điểm.