Phong bì

2

PHONG BÌ
Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. G. VOLTYANSKY

hình 1 hiển thị một đường lồi khép kín $L$. Đường này là đường chính, tức là tại mỗi điểm của đường này có thể vẽ một tiếp tuyến với nó. Tập hợp (hay nói cách khác là “họ”) tất cả các tiếp tuyến của đường thẳng $L$ được ký hiệu là $T$. hình 2 hiển thị một số đường thẳng thuộc họ $T$ (tức là tiếp tuyến với đường $L$). Những đường thẳng này dường như “đi vòng quanh” các đường $L$; do đó, đường $L$ được cho là đường bao của họ đường $T$.

Chúng ta cũng có thể đặt ra câu hỏi ngược lại: với một họ dòng $T$ nhất định, chúng ta cần tìm đường bao của họ này, tức là một đường thẳng chạm vào tất cả các dòng của họ $T$. Bài toán về việc tìm phần đường bao được tìm thấy trong toán học và các ứng dụng của nó. Về lời giải điều bài toán này sẽ được thảo luận ở đây.

Phong bì của một họ dòng

Hãy quay lại hình 2. Đường $L$ chia mặt phẳng thành hai vùng, bên trong và bên ngoài. Qua mỗi điểm $M_0$, nằm ở vùng ngoài $E$, có hai đường thẳng thuộc họ $T$ (tức là tiếp tuyến với đường thẳng $L$), và qua điểm $M_1$, nằm trong vùng $J$, không có một tiếp tuyến nào. Qua mỗi điểm $M$ của đường thẳng $L$ có một đường thẳng thuộc họ $T$ (tiếp tuyến) đi qua.

Tình huống này sẽ giúp chúng ta tìm ra phương pháp tương tự để tìm phong bì. Để làm điều này, chúng tôi liên kết mỗi dòng trong họ $T$ với một số thực $\alpha$ làm “số” của nó (chính xác hơn là một tham số). Cụ thể, sau khi cố định điểm ban đầu $A$ trên đường thẳng $L$, chúng ta liên kết đường thẳng $l \in T$ tiếp xúc với đường cong tại điểm $M$ (hình 3), số (tham số) $\alpha$, bằng độ dài cung $AM$ của đường thẳng $L$. Ngoài ra còn có các cách khác để liên kết từng đường thẳng $l$ của họ $T$ với một giá trị tham số nhất định.

Đường trực tiếp (từ họ $T$), được liên kết với giá trị của tham số $\alpha$, được ký hiệu là $l(\alpha)$; hãy để phương trình của đường thẳng này có dạng

$$A(\alpha)x + B(\alpha)y + C(\alpha) = 0. \quad (1)$$

Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại (xem hình 2) rằng số dòng khác nhau của họ $T$ có thể đi qua các điểm khác nhau. Làm cách nào chúng ta có thể tìm ra có bao nhiêu giá trị của tham số $\alpha$ mà đẳng thức đúng? Nói cách khác, chúng ta cần giải $\alpha$ phương trình

$$A(\alpha)x_0 + B(\alpha)y_0 + C(\alpha) = 0. \quad (2)$$

Ví dụ, nếu phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với $\alpha$, thì có thể hiểu được tại sao hai đường thẳng thuộc họ $T$ đi qua một số điểm (phương trình có hai nghiệm thực khác nhau $\alpha_1, \alpha_2$), và qua một số điểm thì không có

4

Ví dụ, trong các trường hợp khác, về mặt hình học, việc xem đường thẳng nào là đường bao sẽ dễ dàng hơn là viết phương trình của đường thẳng thuộc một họ và đánh đồng phân biệt bằng 0.

Ví dụ 3. Cho một góc (nhỏ hơn góc chưa gấp). Họ T bao gồm tất cả các đường cắt tam giác của permet được dựng 2p từ góc này. Tìm người phụ nữ của gia đình này.

Lời giải. Chúng ta hãy vẽ trên các cạnh của một góc O các đoạn OA và OB, có độ dài p (hình 7), và xét đường tròn Γ tiếp xúc với cạnh của góc tại các điểm A và B. Mọi tiếp tuyến l với đường tròn Γ (được vẽ sao cho điểm O và đường tròn Γ nằm đối diện với nó) có tính chất cần thiết, tức là l∈T, vì
$$OP + OQ + PQ = OP + OQ + PS + SQ = OP + OQ + PA + QB = OA + OB = 2p.$$
Nếu đường thẳng l’ không tiếp xúc với cung AB của đường tròn Γ thì tam giác bị cắt có chu vi nhỏ hơn hoặc lớn hơn, tức là đường thẳng này không thuộc họ T. Vậy họ T bao gồm tất cả các đường thẳng tiếp xúc với cung AB của đường tròn Γ và đường bao của họ này là cung AB.

Phong bì gia đình Curve

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng trong các câu hỏi được thảo luận ở trên, thực tế là họ T bao gồm các đường thẳng không được sử dụng. Điều quan trọng duy nhất là đường của họ T phụ thuộc vào tham số α, theo đó phần nằm của phương trình là tam thức bậc hai. Ví dụ sau đây xác nhận điều này.

Ví dụ 4. Tại điểm O có một khẩu súng phòng không mà từ đó có thể bắn đạn (với vận tốc ban đầu cho trước v₀) ở bất kỳ góc nào so với đường chân trời. Xác định vùng bắn (sức cản không khí trước đây).

Lời giải. Chỉ cần xét các điểm nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng là đủ. Nếu u là thành phần nằm ngang của vận tốc ban đầu của đạn bắn ra từ súng tại thời điểm t=0 thì thành phần thẳng đứng bằng $$\sqrt{v_0^2 - u^2}.$$ Hình chiếu nằm ngang của đạn S (điểm P tại hình 8) chuyển động đều với vận tốc u, tức là tại thời điểm t trục hoành của đạn bằng x=ut. hình chiếu thẳng đứng di chuyển theo định luật y=\sqrt{v_0^2 - u^2}·t-gt²/2, từ đó (có tính đến t=x/u) quỹ đạo của viên đạn được tìm thấy:

$$y = \sqrt{v_0^2 - u^2} \cdot \frac{x}{u} - \frac{gx^2}{2u^2}.$$

Tách thuật ngữ chứa bán kính và bình phương nó, chúng ta thu được (sau khi nhân với u⁴):

$$u^4 (x^2 + y^2) - u^2 x^2 (v_0^2 - gy) + g^2 x^4/4 = 0.$$

Vế trái phụ thuộc vào tham số α=u2 và là tam thức bậc hai đối với α. Đánh đồng phân biệt của tam thức này bằng 0, chúng ta thu được phương trình đường bao

5

họ yushi $T$ của tất cả các quỹ đạo đạn:

$$x^4(v_0^2 - gy)^2 - (x^2 + y^2)\cdot g^2x^4 = 0,$$

hoặc, sau khi chia cho $x^4$ và rút gọn,

$$y = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}x^2.$$

Độ lệch này được gọi là parabola an toàn (ở trên nó, chuyến bay là an toàn); đỉnh của parabol này nằm ở điểm (0; $v_0^2/2g$) và các nhánh hướng xuống dưới, vì hệ số $x^2$ âm (hình 9).

Một lớp quan trọng bài toán, gắn liền với việc xây dựng các vòng tròn liên quan đến một gia đình, phát sinh từ Prince Huydesq (“Vật lý-10”, đoạn 37, trang 96). Chúng tôi không đề cập đến những bài toán này ở đây (xem «Kvant», 1982, Số 6, trang 30).

Nhiệm vụ 1.

1. Tất cả các đường thẳng có thể có $ax + by = 1$ đều được xem xét, trong đó các hệ số $a, b$ thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 = 1$. Tìm sự phân kỳ của họ đường này.

2. Tìm sự phân kỳ của họ đường $y = 2\alpha x - \alpha^2$.

3. Trong mặt phẳng đã cho có một đường thẳng $d$ và một điểm $A$ không thuộc đường thẳng đó. Đối với mỗi điểm $M \in d$, một đường thẳng $l_M$ được xem xét, là trục của điểm đối xứng $A$ và $M$. Tìm giá trị cao nhất của họ tất cả các đường thẳng $l_M$.

4. Tìm ranh giới (đại số) của họ đường $(x - \alpha)^2 + y^2 - 1 = 0$ và cho trường hình học của kết quả.

5. Hãy xem xét một họ các vòng tròn (hình 10)

$$(x - \alpha)^2 + y^2 = b^2 \left(1 - \frac{\alpha^2}{c^2}\right),$$

trong đó $b, c$ là dữ liệu số dương và $a$ là tham số ($|a| \leq c$). Chứng minh rằng ranh giới của họ đường tròn này là các hình elip được mô tả bởi phương trình

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{где } a^2 = b^2 + c^2).$$

6. Ta xét đường thẳng $l(\alpha)$ được xác định bởi phương trình

$$y - \alpha x + \frac{a}{2\sqrt{2}}(\alpha^2 - 1) = 0,$$

trong đó $a$ là một số dương nhất định và $a$ là một tham số ($|a| < 1$).

a) Tìm các điểm $P, Q$ giao điểm của đường thẳng này với các phân giác của góc tọa độ thứ nhất và thứ hai và chứng minh rằng $OP + OQ = a$.

b) Tìm ranh giới của họ đường $l(\alpha)$ và đảm bảo rằng ranh giới này được biểu thị bằng cung của một parabol.

b) Cho một góc vuông; Chúng tôi xem xét tất cả các đường thẳng có thể cắt góc này của tam giác, sao cho tổng chiều dài của các chân bằng $a$. Chứng minh rằng ranh giới của họ đường này được biểu diễn bằng các cung parabol.

7. Ta xét đường thẳng $l(\alpha)$ được xác định bởi phương trình

$$bx(1 + \alpha^2) + ay(1 - \alpha^2) - 2\alpha ab = 0,$$

trong đó $a, b$ là số dương và $a$ là tham số.

a) Tìm các điểm $P, Q$ giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng $y = bx/a, y = -bx/a$ và chứng minh rằng $OP \cdot OQ = a^2 + b^2, S_{\triangle OPQ} = ab$.

b) Chứng minh rằng ranh giới của họ đường $l(\alpha)$ là zunepbol mô tả bởi phương trình

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

b) Trực tiếp $y = bx/a, y = -bx/a$ được gọi là acsimtotami của bóng chung quy định; chứng minh rằng một tiếp tuyến tùy ý của một hyperbol xác định, cùng với acsimtotami, một tam giác có diện tích không đổi $S = ab$.

8. Ta xét đường thẳng $l(\alpha)$ được xác định bởi phương trình

$$bx(\alpha^2 - 1) + 2\alpha ay + ab(\alpha^2 + 1) = 0,$$

trong đó $a, b$ là số dương; và $a$ là một tham số. Chứng minh rằng ranh giới của họ đường thẳng $l(\alpha)$ là dấu chấm lửng mô tả bởi phương trình ở bài 5.

9. Tìm giá trị tốt nhất cho họ parabol $y = \alpha^2x^2 - 2\alpha$ (trong đó $a$ là tham số). Thực hiện một bản vẽ.

10. Tìm ranh giới của họ đường tròn $x^2 + (y - \alpha)^2 = \alpha$ (trong đó $a$ là tham số). Thực hiện một bản vẽ.

11. Tìm ranh giới của họ đường tròn $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2/5$ (trong đó $a$ là tham số). Thực hiện một bản vẽ.

12. Tìm giá trị tốt nhất cho họ parabol $y = 2\alpha x^2 - \alpha^2$ (trong đó $a$ là tham số). Thực hiện một bản vẽ.

13. Tìm giá trị tốt nhất cho họ parabol $y = \alpha x^2 + (1/\alpha - \alpha)$ (trong đó $a$ là tham số); thực hiện một bản vẽ.

14. Tìm giá trị tốt nhất cho họ parabol $y = -\alpha x^2/4 + (\alpha + 1/\alpha)$ (trong đó $a$ là tham số); thực hiện một bản vẽ.

Hãy sử dụng tùy ý

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một cách khác, tổng quát hơn để tìm lực bật lại, cũng có thể áp dụng trong trường hợp vế trái của phương trình không phải là tam thức bậc hai đối với tham số $a$. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng khái niệm tùy ý.

Hãy để họ các dòng được đưa ra bởi phương trình

$$f(\alpha, x, y) = 0,$$

trong đó $f$ là một số biểu thức (ví dụ

7

hoặc trong một đường tròn có tâm tại điểm $x = -v\alpha$ của trục x và bán kính là $\sqrt{(u\alpha)^2 - h^2}$ (hình 12). Chu vi của vòng tròn này giới hạn trên mặt đất vùng mà (tại thời điểm điều khiển) âm thanh do máy bay tạo ra khi đi qua điểm $A_\alpha$. Phương trình của đường tròn này là
$$(x + v\alpha)^2 + y^2 = (u\alpha)^2 - h^2.$$
Lấy sự thống nhất của tất cả các vòng tròn này, chúng ta thu được một vùng hội tụ mang tính giáo dục tại điểm kiểm soát. Và để tìm được ranh giới của vùng siêu chảy, cần phải tìm một họ đường tròn mạnh (hình 13) (9). Chúng ta viết phương trình (9) dưới dạng (4):
$$\alpha^2 (v^2 - u^2) + 2\alpha xv + (x^2 + y^2 + h^2) = 0.$$
Lấy đạo hàm theo $\alpha$, ta thu được
$$2\alpha (v^2 - u^2) + 2xv = 0.$$
Cuối cùng, chúng ta xác định $\alpha$ từ sự tương ứng cuối cùng và thay nó vào (10), chúng ta thu được phương trình đường bao:
$$u^2 x^2 - (v^2 - u^2) y^2 = h^2 (v^2 - u^2).$$
Phương trình này mô tả Ziegerbola; chúng ta chỉ cần lấy nhánh trái của nó, vì chúng ta phải xem xét các vòng tròn (9) chỉ tại $\alpha > 0$. (Lưu ý rằng phương trình đường bao tương tự có thể thu được theo cách tương tự bằng cách lấy phân biệt của tam thức bậc hai (10).)

Bài tập
15. Tìm đường bao của họ parabol $y = \alpha^3 x^2 - 3\alpha$ (trong đó $\alpha$ là tham số). Thực hiện một bản vẽ.
16. Tìm đường bao của họ đường $y = \alpha^3 x - 3\alpha^2/2$.
17. Tìm đường bao của họ đường $y = 4\alpha^3 x - 3\alpha^4$.
18. Tìm họ đường có đường bao là đường $y = x^6$.
19. Tìm đường bao của họ đường tròn $(x - \cos \alpha)^2 + (y - \sin \alpha)^2 = 1/4$. Thực hiện một bản vẽ.
20. Giải bài toán về vùng thừa nếu máy bay bay (với tốc độ siêu âm) theo đường thẳng nghiêng so với mặt đất một góc $\phi$.

Đường cong phân biệt
Chúng ta hãy lưu ý để kết luận rằng nếu cho trước một họ đường (4) nhất định, thì đường $L$, thu được bằng cách loại bỏ tham số $\alpha$ khỏi phương trình (8) (nó được gọi là đường cong phân biệt), ngoài điểm bao, còn có thể chứa cấu trúc của một điểm. Vì vậy, trong ví dụ 4, đường cong phân biệt, rất dễ kiểm tra, ngoài parabol an toàn còn chứa tuyến tính $x = 0$ (trục tọa độ). Theo một nghĩa nào đó, phần của trục này nằm bên dưới điểm $y = v^2/2g$ có thể được coi là “tiếp tuyến” với quỹ đạo hướng lên trên khi bắn thẳng đứng, nhưng phần trên của trục tọa độ (phía trên điểm này) nằm bên ngoài vùng bắn và không có cách nào kết nối với quỹ đạo của đạn.

Nói chung, đường cong phân biệt đối xử (không tính các phần không liên quan của nó) tách biệt các khu vực mà một số dòng họ khác nhau đi qua. Ngoài ra, đường cong phân biệt đối xử có thể chứa “các phần không liên quan” của các điểm kỳ dị của các đường trong họ (ví dụ: các điểm tự giao nhau của chúng). hình 14 hiển thị một họ dòng
$$(x - \alpha)^3 + 3 (x - \alpha) y^2 - 3 ((x - \alpha)^2 - y^2) = 0.$$
Những dòng này (được gọi là các tờ Descartes) được lấy từ nhau bằng các phép dịch song song dọc theo trục hoành độ. Mỗi đường có một điểm đặc biệt (điểm tự giao). Đường cong phân biệt trong trường hợp này bao gồm ba đường thẳng song song: đường thẳng $y = 0$ (tập hợp các điểm tự giao nhau của tất cả các đường thẳng của chúng ta) và đường thẳng $y = -k$ và $y = k$, trong đó $k = \sqrt{2\sqrt{3} - 3}$ (phong bì). Qua mỗi điểm bên ngoài dải $-k \leq y \leq k$ có một đường thẳng trong họ, qua mỗi điểm của đường cong phân biệt có hai đường thẳng và qua mỗi điểm có ba đường thẳng.