Bất đẳng thức với tham số

49

Bất đẳng thức với tham số

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. S. YARSKY

Trong bài viết này, người đọc sẽ tìm thấy một phương pháp chung lời giải cuộc họp
bất bình đẳng với một tham số xuất hiện trong kỳ thi tuyển sinh.

Ví dụ 1 (LSU, Mat.-Mex., 1965)
Giải bất đẳng thức
$$\log_x (x-a) > 2.$$ (1)

1. Chúng ta hãy tìm miền định nghĩa của bất đẳng thức (1):
   $$x > 0, x \neq 1, x-a > 0.$$

2. Hãy giải bất đẳng thức tương ứng
   theo phương trình (1)
   $$\log_x (x-a) = 2 \Rightarrow x-a = x^2.$$

Hãy để chúng tôi mô tả khu vực trong mặt phẳng Ox
định nghĩa và lịch trình sau này
chức năng trong một bản vẽ. Đối với-
chức năng, việc thể hiện một
đến x: $a=x-x^2$ là một parabol trong mặt phẳng Ox. Chúng ta cần tìm ra cách giải quyết
parabol này được đặt so với đường thẳng $x=a$ - ranh giới của vùng
các định nghĩa. Thì ra cặp đôi này
Quả bóng và đường thẳng có đúng một điểm chung (0; 0) (kiểm tra). Tất cả những gì tôi nói là
những gì được đưa ra sẽ được phản ánh trên hình 1. Vùng định nghĩa trên hình 1 được tô bóng. Màu đỏ (trên toàn bộ
trong toàn bộ thống kê) các đường được mô tả tại các điểm mà bất đẳng thức này không được xác định hoặc không được đáp ứng.
KHÔNG. (Lưu ý rằng chỉ cần chọn phần parabol nằm trong vùng xác định.)

Vì vậy, các lĩnh vực định nghĩa được chia
chia thành bốn phần $D_1, ..., D_4$.

Hóa ra điều sau đây là đúng:
sche.

Lời đề nghị. Mỗi miền trong số các miền $D_1, ..., D_4$ có đặc tính sau: bất đẳng thức (1) được thỏa mãn tại tất cả các điểm của miền đó hoặc không bằng nhau tại điểm nào.

50

Nói cách khác, mỗi vùng $D_1, \dots, D_4$ được bao gồm hoàn toàn hoặc hoàn toàn không được bao gồm trong đáp số.

Ban đầu, tuyên bố này không gây nghi ngờ. Thật vậy, lý do tại sao dấu của bất đẳng thức (1) có thể thay đổi do di chuyển từ một điểm trong vùng $D_1$ đến một điểm trong vùng $D_2$ là rõ ràng - chúng ta vượt qua đường “màu đỏ”, tức là chúng ta đánh vào điểm mà các hàm trong bất đẳng thức không được xác định.

Khi di chuyển từ $D_1$ đến $D_3$ bạn cũng sẽ phải vượt qua đường “đỏ” - nó đứt ở điểm mà bất đẳng thức (1) chuyển thành bất đẳng thức. Và khi di chuyển từ một điểm của vùng $D_1$ đến một điểm khác, không nhìn thấy đường “đỏ”, nghĩa là không có lý do gì để thay đổi dấu bất đẳng thức!

Tất cả những tuyên bố đúng về cơ bản này đều cần có bằng chứng. Thật không may, việc chứng minh như vậy đòi hỏi phải có kiến ​​thức, chúng ta vượt xa chương trình giảng dạy ở trường…

Nếu chúng ta coi tính đúng đắn của giả định dựa trên đức tin, thì lời giải bất đẳng thức có thể được hoàn thành bằng một cách đơn giản

3. Bài kiểm tra. Trong mỗi vùng $D_1, \dots, D_4$, chúng tôi chọn tùy ý một điểm, ví dụ: $A_1\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{8}\right) \in D_1$,

$$A_2(2; 0) \in D_2, \quad A_3\left(\frac{1}{2}; -1\right) \in D_3,$$

$$A_4(2; -3) \in D_4$$ (kiểm tra xem các điểm này có nằm trong vùng tương ứng không). Thay các giá trị đã chọn $(x; a)$ vào bất đẳng thức (1), ta thấy bất đẳng thức chỉ được thỏa mãn tại các điểm $A_1$ và $A_4$. Theo Mệnh đề, điều này có nghĩa là bất đẳng thức xảy ra ở tất cả các điểm của miền $D_1$ và $D_4$ và chỉ tại các điểm này.

4. Cách viết đáp số. Theo truyền thống, $x$ biểu thị cái chưa biết, $a$ biểu thị tham số. Do đó, cần chỉ ra $x$ thay đổi như thế nào tùy thuộc vào giá trị của tham số $a$. Đầu tiên chúng ta hãy chọn một $a < 0$ tùy ý. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng $Oxa$ với $a$ cố định tạo thành một đường nằm ngang. Chúng ta cần tìm ra những giá trị nào $x$ điểm của đường này nằm trong vùng $D_4$. Từ hình 2, rõ ràng là $x \in ]x_1; x_2[$ (ranh giới “đỏ” không được bao gồm trong đáp số), trong đó $x_1 = 1$ và điểm $(x_2; a)$ nằm trên parabol $a = x - x^2$. Do đó $x_2^2 - x_2 + a = 0$ và $x_2 = (1 + \sqrt{1 - 4a})/2$ (hãy nghĩ xem tại sao dấu “+” được chọn cho hình tròn). Vì vậy, nếu $a < 0$, thì $x \in ]1; (1 + \sqrt{1 - 4a})/2[$.

Đối với $a = 0$, như có thể thấy từ hình 1, bất đẳng thức lời giải không tồn tại. Di chuyển đường ngang ở trên, chúng ta thấy (xem hình 3) rằng nếu $a \in ]0; 1/4[$ thì $x \in ]x_1; x_2[\cup]x_3; 1[$; nếu $a \in ]1/4; 1[$, thì $x \in ]x_4; 1[$; nếu $a \geq 1$ thì bất đẳng thức lời giải không tồn tại. Hãy biểu thị $x_1, x_2, x_3, x_4$ đến $a$: $x_1 = a$, $x_2 = (1 - \sqrt{1 - 4a})/2$, $x_3 = (1 + \sqrt{1 - 4a})/2$, $x_4 = a$. Và kết hợp các công thức đã tìm được, chúng ta có được

Đáp số: Nếu $a \in ]-\infty; 0[$ thì $x \in ]1; (1 + \sqrt{1 - 4a})/2[$; nếu $a = 0$, thì $x \in \emptyset$; nếu $a \in ]0; 1/4[$, thì $x \in ]a; (1 - \sqrt{1 - 4a})/2[\cup](1 + \sqrt{1 - 4a})/2; 1[$; nếu $a \in ]1/4; 1[$, thì $x \in ]a; 1[$; nếu $a \in ]1; +\infty[$, thì $x \in \emptyset$.

Tuyên bố lời giải có một sai sót nghiêm trọng - tham chiếu đến một giả định đúng nhưng chưa được chứng minh. Về điều lời giải này, giám khảo sẽ kết luận: “Đáp số đúng nhưng không hợp lý!” Và bài toán sẽ không được đọc cho người nộp đơn. Do đó, để có lời giải bài toán hoàn chỉnh, cần thêm

5. Lý do. Bất đẳng thức (1) được thỏa mãn như nhau bởi một trong hai hệ bất đẳng thức:

$$\begin{cases} 0 < x < 1, \\ x - a < x^2, \end{cases}$$ hoặc $$\begin{cases} 0 < x < 1, \\ a > x - x^2, \end{cases}$$ hoặc $$\begin{cases} x > 1, \\ a < x - x^2. \end{cases}$$

Hệ thống đầu tiên trong hai hệ thống mô tả một tập hợp trên mặt phẳng $Oxa$, nằm trên dải giữa các đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$

51

Hình 4.

và đồng thời - phía trên parabla $a=x-x^2$, tức là (có tính đến miền định nghĩa) - chính xác là vùng $D_1$ (xem hình 1). Tương tự, hệ thống thứ hai mô tả vùng nằm bên phải đường $x=1$ và bên dưới parabla $a=x-x^2$ - vùng $D_4$. đáp số được tìm thấy trước đó là hoàn toàn hợp lý.

Dễ dàng nhận thấy rằng khoản 5 đã làm cho việc kiểm tra ở khoản 3 trở nên không cần thiết. Tuy nhiên, việc trì hoãn việc kiểm tra là không khôn ngoan: nó đơn giản, cho phép bạn nhanh chóng nhận được đáp số và quan trọng nhất là làm cho phương pháp lời giải trở nên đáng tin cậy hơn đáng kể.

Khi chuẩn bị lời giải bài toán, tốt nhất là để lại tấm séc đóng vai trò của nó trong bản nháp - nó không còn cần thiết nữa - và viết vào đó các phép tính từ điểm 5.

Ví dụ 2 (LSU, Mat.-Mex., 1966). Giải bất đẳng thức
$$\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}<\sqrt{2}.$$
(2)

1. Chúng ta hãy tìm và mô tả miền định nghĩa trên mặt phẳng $Oxa$:
   $$x \geq 0, a+\sqrt{x} \geq 0, a-\sqrt{x} \geq 0.$$
   Kết quả là một khu vực nằm ở bên phải của đường thẳng $x=0$ và phía trên dụ ngôn $a=\sqrt{x}$, được hiển thị trong hình 4 (các ranh giới có trong khu vực định nghĩa được mô tả bằng một màu khác).

2. Giải phương trình tương ứng với bất đẳng thức (2)
   $$\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}=\sqrt{2}.$$
   Vì cả hai vế của phương trình đều không âm, nên bình phương, chúng ta thu được (có tính đến miền định nghĩa) một phương trình tương đương:
   $$2a+2\sqrt{a^2}-x=2 \iff \sqrt{a^2}-x=1-a \iff \left\{ \begin{array}{l} a^2-x=1-2a+a^2, \\ 1-a \geq 0 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x=2a-1, \\ a \leq 1. \end{array} \right.$$
   Bây giờ bạn cần kết hợp miền định nghĩa (hình 4) và đường thẳng tìm thấy $x=2a-1$ trong một bản vẽ. Dễ dàng kiểm tra được đường thẳng này và parabol $a=\sqrt{x}$ chỉ có một điểm chung (1; 1) (kiểm tra). Bằng cách khắc họa phần đó của chùm tia $x=2a-1,$

Hình 5.

$a \leq 1$, thuộc miền định nghĩa, chúng ta thu được hình 5. Vì vậy, miền định nghĩa được chia thành hai phần $D_1$ và $D_2$. Giống như trong ví dụ 1, mỗi vùng này chỉ có thể được đưa hoàn toàn vào đáp số.

3. Bài kiểm tra. Hãy chọn các điểm $A_1(1/25; 1/4) \in D_1$, $A_2(1; 2) \in D_2$. Thay tọa độ của các điểm này vào bất đẳng thức (2), chúng ta thấy rằng bất đẳng thức chỉ được thỏa mãn tại điểm $A_1$, và do đó nằm trong vùng $D_1$ (và ở phần “xanh” của ranh giới của nó). Xem xét giao điểm của vùng $D_1$ với tất cả các đường ngang có thể có, chúng ta thu được

4. Đáp số:
   nếu $a \in ]-\infty; 0[\cup[1; +\infty[$, thì $x \in \emptyset$; nếu $a \in [0; 1/2[$, thì $x \in [0; a^2]$; nếu $a \in [1/2; 1[$ thì $x \in ]2a-1; a^2]$.

Như trong ví dụ 1, kết quả đáp số cần được chứng minh.

5. Lý do. Chúng ta hãy biến đổi bất đẳng thức (2):
   $$\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}<\sqrt{2} \iff 2a+2\sqrt{a^2}-x<2 \iff \sqrt{a^2}-x<1-a \iff \left\{ \begin{array}{l} a \leq 1, \\ a^2-x<1-2a+a^2, \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} a \leq 1, \\ x>2a-1. \end{array} \right.$$
   Hệ bất đẳng thức cuối cùng được mô tả nằm bên dưới đường $a=1$ và bên phải của đường $x=2a-1$, tức là (có tính đến miền định nghĩa) vùng $D_1$. Đáp số hợp lý.

Ví dụ 3 (MSU, Khoa Hóa học, 1984). Tìm tất cả $a$ mà bất đẳng thức
$$\frac{1}{2}|a-2||x+a-4|+ +\left(\frac{a^2-4a+3}{|a-2|}-|a-2|\right)|x-2|+ +\frac{1}{2}|a-2||x-a| \leq 1$$ (3)

52

giữ chính xác cho hai giá trị $x$.

Chúng tôi sẽ làm nhiều hơn mức yêu cầu trong bài toán - chúng tôi sẽ giải quyết sự bất bình đẳng. Sau đó, tất nhiên, sẽ nhận được đáp số cho câu hỏi được đặt ra.

1. Vùng định nghĩa: $a \neq 2$.
2. Chúng ta hãy biến đổi bất đẳng thức (3). Nhân cả hai vế với $2|a-2| > 0$ và tính đến đẳng thức $|a-2|^2 = (a-2)^2$, ta được $(a-2)^2|x+a-4| + 2(a^2-4a) + 3-(a-2)^2|x-2| + (a-2)^2|x-a| \leq 2|a-2| \Leftrightarrow (a-2)^2|x-2+a-2| - 2|x-2| + (a-2)^2|x-2-(a-2)| \leq 2|a-2|$.

Bây giờ chúng ta tăng thay thế $x-2=y$, $a-2=b \neq 0$ ($a \neq 2$), đưa bất đẳng thức cuối cùng về dạng
$$b^2(|y+b|+|y-b|) \leq 2(|b|+|y|).$$

Vì vậy, chúng ta phải vẽ tập hợp các điểm của mặt phẳng $Oyb$, tọa độ của chúng thỏa mãn bất đẳng thức (4). Lưu ý rằng việc thay thế $(y; b)$ bằng $(y; -b)$ hoặc $(-y; b)$ không thay đổi bất cứ điều gì trong bất đẳng thức (4) (kiểm tra). Điều này có nghĩa là tập hợp mong muốn có tính đối xứng đối với cả hai trục $Oy$ và $Ob$. Do đó, chỉ cần vẽ phần mong muốn nằm trong phần tư đầu tiên và sau đó sử dụng tính đối xứng là đủ. Trong quý đầu tiên $|y|=y$, $|b|=b$, $|y+b|=y+b$ và bất đẳng thức (4) có dạng
$$b^2(y+b+|y-b|) \leq 2(b+y).$$

Nó vẫn còn để lộ $|y-b|$. Trong vùng $y \geq b$: $|y-b|=y-b$ và phương trình tương ứng với bất đẳng thức (5) có dạng
$$2b^2y=2(b+y) \Leftrightarrow y=b/(b^2-1).$$

Bây giờ hãy vẽ một phần nhỏ của đồ thị của hàm này, nằm trong vùng $y \geq b$ (hình 6). Trong vùng $y < b$: $|y-b|=b-y$ và phương trình tương ứng với bất đẳng thức (5) có dạng
$$b^2 \cdot 2b=2(b+y) \Leftrightarrow y=b^3-b.$$

Vẫn còn phải vẽ một phần đồ thị của hàm cuối cùng nằm trong vùng $y < b$ (xem hình 6).

3. Việc kiểm tra cho thấy rằng trong hai vùng được chia quý đầu tiên, bất đẳng thức (5) được thỏa mãn bởi vùng được tô bóng ở hình 6. Sử dụng tính đối xứng, chúng ta thu được bức tranh hoàn chỉnh (hình 7). Bây giờ từ hình 7, rõ ràng là chỉ với bất đẳng thức $b=\pm \sqrt{2}$ (4) được thỏa mãn bởi chính xác hai giá trị khác nhau của $y$. Và chúng ta quay lại biến ban đầu $a$, chúng ta nhận được $a=b+2 \pm \sqrt{2}$.

4. Đáp số: $a=2 \pm \sqrt{2}$.

5. Lý do. Chúng ta hãy biến đổi bất đẳng thức (5) (chúng ta xét quý đầu tiên $y \geq 0$, $b > 0$):
   $$b^2(y+b+|y-b|) \leq 2(b+y) \Leftrightarrow b^2|y-b| \leq (2-b^2)(b+y) \Leftrightarrow -(2-b^2)(b+y) \leq b^2(y-b) \leq (2-b^2)(b+y).$$

Hệ bất đẳng thức này có thể dễ dàng viết lại dưới dạng
$$\begin{cases} y \geq b^3-b, \\ y(b^2-1) \leq b. \end{cases}$$