Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

55

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{x^3+x^2-2x}>x-1.$$
2. Với $a \in R$ chúng ta có thể có phương trình lời giải để làm gì
   $$4\cos^2x=a^2-6 \text{ и } 1-\cos 2x=\frac{a}{6}$$
   cuộc thi đấu?
3. Bán kính của một hình cầu ngoại tiếp một hình nón tròn hình chữ nhật có đỉnh $P$ là $R$. Một đường thẳng vẽ trong mặt phẳng đáy hình nón cắt đường kính $AC$ của đường tròn đáy một góc $\varphi\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ và đường tròn tại các điểm $B$ và $D$. Xác định thể tích của paramid $PABCD$ nếu biết rằng góc trong phần chính của hình nón ở đỉnh $P$ bằng $a$ và các tam giác $APC$ và $DPB$ bằng nhau.
4. Từ các điểm $A$ và $B$, khoảng cách giữa chúng là 1 m, hai vật bắt đầu chuyển động đồng thời dọc theo đường thẳng $AB$. Vật thứ nhất bắt đầu chuyển động với tốc độ không đổi từ điểm $A$ tới điểm $B$, và vật thứ hai bắt đầu chuyển động cùng chiều với tốc độ ban đầu là 16 m/s và gia tốc không đổi. Được biết, 1 s sau khi bắt đầu chuyển động, vật thứ hai ở cách điểm $A$ không quá 15 m và sau 1 s nữa - không dưới 25 m. Xác định vận tốc của vật thứ nhất nếu sau 3 s kể từ khi bắt đầu chuyển động khoảng cách giữa hai vật là 2 m.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2}{2+\log_2 x}+\frac{1}{\log_2 2x}\left(\frac{1}{2+\log_2 x}-1\right) \geq 0.$$
2. Khi các nhóm làm việc cùng nhau, họ có thể hoàn thành một số công việc trong $a$ ngày. Nếu đội thứ nhất làm 2 ngày, đội thứ hai và đội thứ ba làm trong 1 ngày thì hoàn thành 1/3 công việc. Hỏi đội thứ nhất sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?
3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sqrt{\sin x-\cos y}=\cos x, \\ \sin x+\cos y=\sin^2 x. \end{cases}$$
4. Cạnh bên $SA$ của tứ giác đều paramid $SABCD$ có chiều dài $l$ và tạo một góc $a$ với mặt phẳng đáy. Paramid này được nội tiếp với một đặc điểm tứ giác đều sao cho tất cả các đỉnh của đáy trên của paramid nằm trên các cạnh bên của paramid và tất cả các đỉnh của đáy dưới nằm trên đáy $ABCD$ của paramid. Tìm diện tích đáy của một đối tượng nếu biết rằng tổng diện tích bề mặt của đối tượng này có giá trị lớn nhất có thể.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Một quả bóng có khối lượng $m=0,1$ kg được đóng trên sàn bằng hai lò xo giống hệt nhau có độ cứng $k=15$ N/m mỗi lò xo (hình 1). Ở trạng thái ban đầu, lò xo không bị biến dạng và có chiều dài $l_0=40$ cm. Quả bóng được nâng lên theo phương thẳng đứng đến độ cao $h=30$ cm rồi hạ xuống. Quả bóng truyền xuống sàn dưới tác dụng đàn hồi tuyệt đối bằng xung lực nào?
2. Một cô con gái nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn có chiều dài $l=1,2$ m và khối lượng $M=1,6$ kg (hình 2). Một cơ thể nhỏ nặng $m=0,4$ kg được đặt trên mép của doxy. Hệ số trey giữa thân và ván là $\mu=0,3$. Ở tốc độ tối thiểu nào $v_0$ tấm ván phải được đẩy mạnh sang bên phải để vật thẳng hàng với nó?
3. Bình hình trụ được đặt nằm ngang và được chia thành hai phần bằng một pít-tông có diện tích $S=10$ cm², được ép vào đầu bên trái của bình bằng một lò xo có độ cứng $k=2 \cdot 10^3$ N/m. Ban đầu, ở cả hai phần của bình đều có không khí ở áp suất khí quyển $p_0=10^5$ Pa, còn lò xo không bị biến dạng và có chiều dài $l_0=20$ cm. Sau đó toàn bộ