Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

53

Nếu $0 < b \leq 1$, thì bất đẳng thức thứ hai sẽ được thỏa mãn với mọi $y$. Nếu $b > 1$, thì $b^2 - 1 > 0$, và khi đó bất đẳng thức có thể rút gọn về dạng $y \leq b/(b^2 - 1)$. Do đó, hệ thống bất bình đẳng được chia thành hai:

$$\begin{cases} y \geq b^3 - b, \\ 0 < b \leq 1 \end{cases} \quad \begin{cases} y \geq b^3 - b, \\ y \leq b/(b^2 - 1), \\ b > 1. \end{cases}$$

Hệ thống đầu tiên trong hai hệ thống mô tả phần khu vực được tô bóng bởi hình 6, nằm bên dưới đường thẳng $b = 1$ và hệ thống thứ hai mô tả phần còn lại của cùng một khu vực. Đáp số hợp lý.

Phương pháp được trình bày lời giải cho phép bạn chắc chắn rằng: nếu bạn giải được phương trình tương ứng với bất đẳng thức thì bất đẳng thức lời giải sẽ không gây khó khăn.

Bài tập
Giải bất đẳng thức 1-4:
1 (LSU, 1965). $x + 4a > 5\sqrt{ax}$.

Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ, Toán và Kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$3\sin^2 x = \cos 2x + 4\sin 2x.$$
2. Các số $\log_2(3^x - 1)$, $\log_4(9 + 9^x - 7 \cdot 3^x)$ và $\log_2(3 - 3^x)$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nào đó. Tìm $x$.
3. Cho một hình thang $ABCD$ có đáy $AD$ và các đường chéo $BD$ và $AC$. Được biết, $AC = 3$, $BD = 4$, $\angle CAD = 2\angle BDA$. Tìm diện tích hình thang $ABCD$.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà hệ phương trình
   $$\begin{cases} ax + 3y = a^2 + 1, \\ (3a + 14)x + (a + 8)y = 5a^2 + 5 \end{cases}$$
   không có lời giải.
5. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $SB$ của tứ diện đúng $SABC$. Các cạnh của tứ diện có độ dài 1. Trên các đường $AS$ và $CN$, các điểm $P$ và $Q$ được chọn sao cho đường thẳng $PQ$ song song với đường thẳng $BM$. Tìm độ dài của đoạn $PQ$.

Tùy chọn 2
(Khoa Địa chất và Địa vật lý và Khoa Khoa học Tự nhiên)

1. Giải phương trình
   $$2\cos 2x + 5\cos^2 x = 8\sin 2x - 6.$$
2. Giải phương trình
   $$\log_2(2x - 2) + \log_4(x + 1)^2 = 2 + \log_2(x^2 + x - 3).$$
3. Độ dài cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ bằng $a$, độ dài góc $A$ bằng $a$. Điểm $O$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Tìm bán kính đường tròn đi qua các điểm $B$, $C$ và $O$.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2ax + y = a^2 - 2a, \\ -10x + (a - 6)y = 10a - 5a^2 \end{cases}$$
   không có lời giải.
5. Trong tứ diện đều $SABC$, mặt phẳng $a$ đi qua các đỉnh $S$, $C$ và trung điểm $M$ của cạnh $AB$, mặt phẳng $\beta$ đi qua đỉnh $B$ và các điểm $K$ và $L$ - trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$ tương ứng với hình chiếu qua các điểm $B$, $C$ và $O$.
6. Tìm góc giữa đường thẳng $l$ và mặt phẳng của mặt $ABC$.

Tùy chọn 3
(Khoa Vật lý)

1. Giải phương trình
   $$2\cos 2x + 1 = 5\sin^2 x + 6\cos x.$$
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm $y = x^3 - 6x^2 + 6x + 3$ trên khoảng [1; 6].
3. Các đường tròn $O_1$ và $O_2$ lần lượt có bán kính 5 và 3 cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$ và $AB = 4$. Được biết, tâm của đường tròn $O_2$ nằm ngoài đường tròn $O_1$. Điểm $C$ là trung điểm của cung $AB$ của đường tròn $O_2$ nằm trong đường tròn $O_1$. Các tia $AC$ và $BC$ cắt nhau bởi đường tròn $O_1$ tại các điểm $M$ và $N$. Tìm độ dài của đoạn $MN$.

54

4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{x+1} \frac{3x}{5x-8} > 1.$$

5. Ở đáy của hình gốc $SABC$ là một tam giác vuông đều $ABC$ ($AB=BC=1$), độ dài các cạnh bên $SA$, $SB$ và $SC$ là 3. Điểm $K$ và $L$ là trung điểm của các cạnh $AC$ và $BC$, các điểm $M$ và $N$ được chọn tương ứng trên các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $SM=1$, $NB=1$. Tìm khối lượng của KLMN.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý
Mỗi biến thể bao gồm ba loại gót chân bài toán.
Ba bài toán đầu tiên được tính toán với độ khó khác nhau: từ gần như tiêu chuẩn đến tương đối phức tạp, đòi hỏi sự khéo léo, kiến ​​thức sâu sắc và khả năng hiểu một tình huống vật lý bất thường hoặc thông thường.
bài toán thứ tư là điểm bài toán. Đối với lời giải của nó, cần phải hiểu hiện tượng vật lý đang được xem xét, xây dựng một mô hình vật lý đơn giản (vì chỉ cần ước tính) của hiện tượng này, chọn các giá trị số hợp lý của các đại lượng vật lý và cuối cùng, thu được kết quả bằng số ít nhiều tương ứng với thực tế. Trong văn bản bài toán, tôi giả định rằng người nộp đơn có thể tự mình chọn các đại lượng cần thiết cho lời giải bài toán và các giá trị số của chúng.
bài toán thứ năm là phần minh họa bài toán, trong đó hiện tượng vật lý được thể hiện trong lớp học phải được giải thích. Ở đây điều quan trọng là phải hiểu hiện tượng hiện có và môi trường của các yếu tố khác nhau để làm nổi bật yếu tố chính.
Vào lúc lời giải bài toán năm giờ đã được đưa ra, bắt đầu từ khi hoàn thành cuộc trình diễn.
Bên dưới, sau văn bản, mỗi bài toán trong ngoặc biểu thị tỷ lệ phần trăm trung bình của những người đã giải được nó.

Tùy chọn 1

1. Tìm lực nâng của một quả bóng chứa đầy gel. Khối lượng của gel là $m$. Áp suất và nhiệt độ bên trong và bên ngoài vỏ khinh khí cầu là như nhau. Khối lượng mol của heli $M_r$, va chạm $M_b$, gia tốc trọng trường $g$. Yêu cầu khối lượng vỏ (80%)
2. Đồ trang trí cây thông Noel - một quả bóng có thành mỏng - bị vỡ khi rơi xuống sàn đá từ độ cao tối thiểu $h$ (hình 1). Quả bóng phải chạm vào những quả bóng đang đứng yên ở tốc độ tối thiểu nào trước khi va chạm để hai quả bóng vỡ ra? (49%)
3. Tìm hình ảnh của nguồn chính xác $S$ được tạo bởi hệ thấu kính có tiêu cự $F$ và gương cuối cùng có góc đỉnh là 90° (hình 2). Trục của hình nón trùng với trục của thấu kính. Khoảng cách giữa đỉnh hình nón và thấu kính là 2F, giữa nguồn và thấu kính là 3F/2. (42%)
4. Ước tính lượng năng lượng được phát triển ở LỘC ở vạch đích. (51%)
5. Lấy bình chứa nước sôi ra khỏi bếp - quá trình sôi dừng lại. Bình được đun sôi chặt bằng nút cao su có một thanh đồng lớn luồn qua - nước sôi. Giải thích hiện tượng đó. (65%)

Tùy chọn 2

1. Hai quả bóng có cùng bán kính $R$ nhưng một quả làm bằng nhôm, quả kia bằng gỗ, được giữ bằng một sợi dây dài, từ từ chìm trong nước, chuyển động với tốc độ không đổi (hình 3). Tìm lực cản của nước tác dụng lên mỗi quả bóng. Mật độ nhôm $\rho_1$, gỗ $\rho_2$, nước $\rho_0$. Gia tốc trọng lực $g$. (61%)
2. Một ống nghiệm có chiều dài $l$ chứa không khí và hơi nước bão hòa chạm vào đầu hở của mặt nước (hình 4). Ống nghiệm được ngâm một nửa trong nước, mặt nước trong ống nghiệm có độ sâu $a$. Tìm áp suất hơi nước bão hòa. Nhiệt độ không đổi, áp suất khí quyển $p$, mật độ nước $\rho$, gia tốc trọng trường $g$. (55%)
3. Ba tấm kim loại phẳng giống hệt nhau $A$, $B$ và $C$ có ​​diện tích $S$, mỗi tấm nằm song song với nhau ở các khoảng cách $d_1$ và $d_2$ (hình 5). Các tấm được cách nhiệt; trên đĩa $B$ và $C$ có zarars $+q$ và $-q$, còn đĩa $A$ không phải là zararyn. Sau đó các tấm $A$ và $C$ được kết nối qua istor, phím $K$ được đóng lại. Tìm nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở. (46%)
4. Ước tính khoảng cách mà các tuyến đường sắt dường như hợp nhất. (65%)
5. Bánh xe dẫn điện có thể quay tự do quanh trục thẳng đứng của nó. Một hiệu điện thế không đổi được tạo ra giữa tâm bánh xe và vành của nó. Nếu bạn đặt một nam châm gần bánh xe, nó sẽ bắt đầu quay. Khi quét kệ, hướng quay từ trường thay đổi theo hướng ngược lại. Giải thích hiện tượng đó. (52%)

Tùy chọn 3

1. Dọc theo trục quang chính của một thấu kính thu có tiêu cự $F=5$ cm, hai con đom đóm nằm ở hai phía đối diện của thấu kính di chuyển về phía nhau. Tốc độ của đom đóm là như nhau và bằng $v=2$ cm/s. Sẽ mất bao lâu để ảnh của người thứ hai truyền qua ánh sáng, nếu tại thời điểm ban đầu họ cách thấu kính $l_1=20$ cm và $l_2=15$ cm? (70%)
2. Hai cạnh của một tam giác đều được tạo thành bởi các thanh tích điện giống nhau, giống hệt nhau. Trong trường hợp này, tại tâm $O$ của tam giác, điện thế bằng $\varphi_0$ và cường độ điện trường bằng $\vec{E}_0$. Tìm thế năng, kiểu và hướng của vectơ chỉ phương tại điểm $O$ nếu lấy đi một trong các que. (63%)
3. Hai quả bóng đàn hồi giống hệt nhau $A$ và $B$ di chuyển về phía nhau với tốc độ $v$ và $2v$, đồng thời các đường thẳng đi qua tâm của mỗi quả bóng theo hướng chuyển động của chúng chạm vào quả bóng kia (hình 6). Tìm góc nào so với phương ban đầu thì quả bóng $A$ sẽ chuyển động sau va chạm. (38%)
4. Đánh giá sự thay đổi áp suất trong phòng xông hơi sau khi nước từ gáo tạt lên đá nóng. (Khi đánh giá phòng xông hơi ướt, hãy coi nó kín gió.) (58%)