Bài toán M1086—M1090; F1098—F1102

Kvant 1988, số 2 tr. 26, 27, 29, 31, 32, 34, 35 Thẻ 8OFG

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bài toán

M1086—M1090, F1098—F1102

M1086. Với một số, được phép thực hiện hai thao tác: “tăng 2 lần” và “tăng 1”. Hỏi số nhỏ nhất tính từ số 0 là bao nhiêu: a) số 100? b) số n?

M1087. Khoảng cách là tam giác ABC, điểm M trong mặt phẳng của tam giác này và các hình chiếu A₁, B₁, C₁ của điểm M lên các độ cao lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng a) tồn tại một và chỉ một điểm M sao cho các đoạn AA₁, BB₁ và CC₁ bằng nhau;
b) với điểm M như vậy, độ dài các đoạn AA₁, BB₁, CC₁ bằng đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

A. Kh. Jafarov

M1088. Chứng minh rằng nếu các số p, q, r là số hữu tỉ và pq+qr+pr=1 thì (1+p²)(1+q²)(1+r²) là bình phương của một số hữu tỉ.

Istvan Varga (Romania)

M1089. Trong tứ giác lồi ABCD có diện tích S, các đường chéo cắt nhau tại điểm O. Gọi K, L, M, N là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác AOB, BOC, COD và DOA. Chứng minh rằng tích chu vi của tứ giác ABCD và KLMN không nhỏ hơn 4S.

D. Yu. Burago, F. L. Nazarov

M1090. Chứng minh rằng a) với mọi số dương a, b và c thì trên đó đúng là không có địa chỉ của bạn (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xét nghiệm lời giải).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán đề xuất xuất bản được ghi trong một phong bì riêng gồm hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề Quata”, bài toán mới trong vật lý hoặc “… mới bài toán trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết mã số trường và lớp mà bạn là giáo viên.

F1098. Một khẩu súng lục của trẻ em, có thể được coi là một vũ khí có khối lượng hữu hạn gắn vào một bức tường cố định, bắn một quả bóng, tạo cho nó vận tốc v. Nếu bạn bắn một quả bóng có khối lượng gấp đôi nó, tốc độ của nó sẽ là v√2/3. Vận tốc của một quả bóng có khối lượng gấp ba lần nó là bao nhiêu?

P. I. Zubkov

F1099. Có hai pít-tông (hình 1) trong một ống cố định nằm ngang với mặt cắt ngang S mở ở hai đầu. Ở trạng thái ban đầu, piston bên trái được nối với một bức tường cố định bằng một lò xo không biến dạng có độ cứng k. Áp suất khí p₀ giữa các piston bằng áp suất bên ngoài, khoảng cách H từ piston bên phải đến mép ống bằng khoảng cách giữa các piston. Piston bên phải được kéo từ từ về phía mép ống. Lực nào phải tác dụng lên piston để giữ nó ở vị trí cực đại? Nhu cầu buổi sáng ít, nhiệt độ không đổi.

V. P. Borodin

Chúng tôi đã xuất bản các bài toán về cuộc thi của Kvant hàng tháng kể từ số đầu tiên của tạp chí của chúng tôi. Đây là những vấn đề không chuẩn, nhưng cách giải của chúng không đòi hỏi thông tin nào nằm ngoài phạm vi giáo trình trung học của Liên Xô. Những bài toán khó hơn được đánh dấu sao (*). Sau khi trình bày vấn đề, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất vấn đề đó cho chúng ta. Không cần phải nói cũng biết rằng không phải tất cả những vấn đề này đều là những ấn phẩm đầu tiên. Giải pháp cho vấn đề này (bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh) có thể được đăng không muộn hơn ngày 1 tháng 5 năm 1988, tới địa chỉ sau: Liên Xô, Moscow, 103006. Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant».

Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate

F1100. Một ống có chiều dài vừa đủ, được ngâm trong bình có nước, được bịt kín từ phía trên. Trong trường hợp này, mức chất lỏng trong mao mạch là $\Delta h=4$ cm. Độ ẩm tương đối của không khí trên bề mặt nước trong bình là bao nhiêu nếu nhiệt độ không khí xung quanh là $20^{\circ}\text{C}$ ?

L. G. Markovich

F1101. Một thanh ngang nhẹ có chiều dài $2a$ có thể quay tự do quanh một trục thẳng đứng đi qua điểm giữa của nó. Những quả bóng lớn giống hệt nhau được gắn trên một thanh và có thể di chuyển dọc theo thanh mà không bị ma sát và phản xạ đàn hồi từ các điểm dừng ở hai đầu của thanh (hình 2). Đầu tiên, các quả bóng được cố định ở khoảng cách $a/2$ tính từ trục. Thanh được quay đến vận tốc góc $\omega_0$ , sau đó các quả bóng được thả ra đồng thời. Những quả bóng sẽ di chuyển theo quỹ đạo nào? Sẽ mất bao lâu để thanh quay quay hết một vòng? Xây dựng đồ thị phụ thuộc $\omega(t)$ . Kích thước của quả bóng nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của thanh.

A. Yu. Alekseev

F1102. Một chùm tia laze chiếu tới một tấm phẳng song song có đục lỗ, một bề mặt của tấm này được sơn để có thể tán xạ ánh sáng theo mọi hướng. Hình ảnh sau đây hiển thị trên tấm: một chấm sáng ở trung tâm, một vòng tròn tối có đường viền rõ ràng và một quầng sáng xung quanh nó. Giải thích hiện tượng đó.

A. M. Shalazin

Problems

M1086—M1090, P1098—P1102

M1086. Two operations may be carried out with numbers: doubling and adding 1. In what least number of these operations can the number 0 be transformed into the number a) 100? b) n?

M. V. Sapir

M1087. The point $M$ in the plane of triangle $ABC$ is perpendicularly projected to the points $A_1, B_1, C_1$ of the altitudes drawn from the vertices $A, B, C$ respectively. Prove that

a) there exists one and only one point $M$ for which the line segments $AA_1, BB_1, CC_1$ are equal;

b) the lengths of the segments $AA_1, BB_1, CC_1$ for such a point $M$ equal that of the diameter of the incircle of ABC.

A. H. Djafarov

M1088. Prove that if $p, q, r$ are rational numbers and $pq+qr+pr=1$ , then $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ is the square of a rational number.

Ishtvan Varga (Rumania)

M1089. In the convex quadrilateral $ABCD$ of area $S$ the diagonals intersect at the point $O$ . Suppose $K, L, M, N$ are the centres of the incircles of triangles $AOB, BOC, COD, DOA$ . Prove that the product of the perimeters of $ABCD$ and $KLMN$ is no less than $4S$ .

D. Yu. Burago, F. L. Nazarov

rằng từ chúng có thể chọn được ba điểm, khoảng cách theo cặp giữa chúng được xây dựng bằng 1.

Sử dụng hình 1, ta thấy tam giác ABC là tam giác vuông có các đỉnh A, B và C. Các cạnh AB và AC bằng nhau và góc ACB bằng 90 độ.

M1067. Chứng minh rằng với các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ thì ta có bất đẳng thức

$\frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Hãy chứng minh điều đó

$\frac{t}{1-t^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} t^2$

với tất cả $t, 0 \leq t < 1$ . Trên khoảng này bất đẳng thức (*) tương đương với bất đẳng thức

$f(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2} t(1-t^2) \leq 1,$

điều này được chứng minh bằng cách sử dụng một nghiên cứu tiêu chuẩn về hàm $f(t)$ . (Đạo hàm $f'(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2}(1-3t^2)$ có nghiệm duy nhất $t = 1/\sqrt{3}$ trên [0; 1] và $f(0) = f(1) = 0 < f(1/\sqrt{3}) = 1$ . Do đó $1/\sqrt{3}$ là điểm cực đại của $f(t)$ trên [0; 1].).

Nhờ dấu (*), vế trái chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức, hơn

$\frac{3\sqrt{3}}{2}(x^2 + y^2 + z^2) = \frac{3\sqrt{3}}{2};$

sự bình đẳng chỉ đạt được ở mức $x = y = z = 1/\sqrt{3}$ .

V. E. Matizen

M1068. Cho góc AOB (A và B là các điểm trên hai cạnh của góc). Vẽ đường thẳng l đi qua đỉnh O sao cho

bài toán này có hình học gọn gàng lời giải với cách diễn giải bất ngờ bằng ngôn ngữ số phức. Nhưng trước tiên, hãy đưa ra điều đơn giản nhất - lượng giác lời giải.

Lưu ý rằng các mặt phẳng đang xét không thay đổi

= KB cos α · BL sin α, nhưng KB · BL = BQ₁² = OA² và OA² sin α = AC = CO = 2S₀OAC.

Tất cả các cấu trúc trụ cột này được kết nối như thế nào? Số phức giúp tìm ra lời giải thích. (Ở đây chúng tôi dựa vào việc độc giả đã quen thuộc với các số phức và cách giải thích hình học của chúng.) Giả sử các điểm O, A và B được gán các số 0, a và b. Chúng ta sẽ xác định đường thẳng mong muốn l theo điểm z của nó, |z|=1 (hình 6). Vì 2OC = |a/z + a/ē|, 2AC = |a/z - ē/ē|, diện tích S_AOC = |a²/z² - ē²/ē²|/8 và tương tự S_BOD = |b²/z² - ē²/ē²|/8. Các số nằm dưới dấu mẫu trong hai đẳng thức cuối đều là cực tiểu nên đẳng thức S_AOC = S_BOD tương đương với điều kiện ē²/ē² - ē²/ē² ± (b²/z² - b²/ē²), hoặc (b²±a²)/z² = (b²±a²)/ē².

Điều này có nghĩa là z² = ±t(b²±a²), trong đó t là một số thực dương nào đó, tức là z₁,₂ = r√b²±a² và z₃,₄ = ir√b²±a², trong đó r = 1/|√b²±a²|. Các số b¹+a² và b²−a² lần lượt xác định đường thẳng chứa đường trung tuyến của tam giác OAB₁ và đường thẳng song song với AB₁ từ cách dựng đầu tiên (xem hình 2); căn bậc hai đã biết được trả lời bằng cách vẽ bisectrix của các góc AOM và AOM’. Công thức thứ hai (xem hình 4, 5) thu được nếu chúng ta phân tích các biểu thức căn thức: b²−a² = (b−a)(b+a), b²+a² = (b−ia)(b+ia). Các số b±a và ba±ia là các điểm P₁, P₂, Q₁ và Q₂, đồng thời trung bình hình học √uv của hai số u và v chỉ định bisectrix của góc giữa các vectơ u và v. Ví dụ: z₁ = r√b²+a² nằm trên bicsectrix của góc Q₁OQ₂.

R. O. Burdin, V. N. Dubrovsky

M1069. Một số thành phố chỉ cho phép ghép đôi khối lượng hình vuông (nếu hai gia đình đổi hình vuông thì họ không tham gia trao đổi hình vuông khác trong cùng một ngày). Chứng minh rằng mọi khối lượng phức tạp có bình phương của nhiều họ đều có thể hoàn thành trong hai ngày. (Giả định cả trước và sau mỗi lần trao đổi, gia đình đều sống ở một ô riêng).

Hình 5.

Hình 6.

Hình 1.

Hãy biểu diễn mỗi hình vuông như một điểm trên mặt phẳng và di chuyển từ hình vuông này sang hình vuông khác dưới dạng một mũi tên nối các điểm tương ứng. Rõ ràng là tại bất kỳ thời điểm nào cũng có một mũi tên bắt đầu và một mũi tên kết thúc. Do đó, nếu chúng ta rời khỏi bất kỳ đỉnh nào và di chuyển dọc theo các mũi tên, chúng ta sẽ luôn chạm tới các điểm mới cho đến khi quay trở lại điểm đầu của đường đi (điều này là không thể tránh khỏi, vì số điểm là hữu hạn). Hãy làm tương tự bắt đầu từ các điểm khác. Chúng ta sẽ thấy rằng tất cả các mũi tên tạo thành một số bánh xe kín không giao nhau - chu trình (hình 1). Vì vậy, chỉ cần chứng minh khẳng định bài toán cho bình phương “trao đổi tuần hoàn” là đủ.

Giả sử chúng ta cần thực hiện trao đổi A₁→A₂→…→Aₙ→A₁ - để chuyển các đối tượng thuê của hình vuông A₁ thành hình vuông A₂, A₂ - thành A₃, v.v. Vào ngày đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện các trao đổi theo cặp A₁↔A₁−1, A₂↔A₁−2, …, tức là A₁↔A₁−k (chúng tôi giả định rằng A₀=A₁); các cư dân của hình vuông Aₙ và thậm chí n, Aₙ/2, vẫn chưa di chuyển. Vào ngày thứ hai - trao đổi A₁↔Aₙ, A₂↔A₁−1, …, tức là A₁↔A₁−k. Do đó, cư dân của hình vuông Aₙ sẽ chuyển sang hình vuông Aₙ+1−(n−k)=Aₙ+1 với k=1, …, n−1 và từ hình vuông Aₙ đến Aₙ+1−n=A₁, đó là những gì chúng ta cần. Sơ đồ trao đổi này được minh họa rõ ràng bởi hình 2. Nếu

F1078. Một con đường dài có tải ở cuối được ném qua một khối và buộc vào mũi của một chiếc thuyền mô hình có thể trôi dọc theo một kênh dài thẳng với nước (hình 1). Thuyền và tải được thả ra, và tốc độ của thuyền (tính bằng cm/s) được ghi lại dưới dạng giây song công. Thật không may, chỉ có phần cuối của mục này được lưu: 5, 65; 6, 44; 6, 96; 7, 31; 7, 54; 7, 70; 7, 80; 7, 86; 7, 91. Sử dụng số liệu này, hãy xác định vận tốc của thuyền sau khi thả 0,1 giây.

Hình 2.

A1, …, An là các đỉnh của n-giác đều tâm O, khi đó dãy hoán vị đầu tiên tương ứng với phép đối xứng qua trục OAn, dãy thứ hai tương ứng với phép đối xứng qua trục OM, trong đó M là trung điểm của cạnh AnA1. Không khó để chứng minh rằng thành phần (thực hiện tuần tự) của hai trục tương đối đối xứng cắt nhau tại điểm O một góc α là phép quay quanh O một góc 2α; trong trường hợp của chúng ta ở góc 2π/n. Trong trường hợp này, các đỉnh của đa giác được sắp xếp lại theo một chu trình.

N. N. Konstantinov, A. I. Shirelman

Khi một vật thể thuôn di chuyển với tốc độ thấp trong chất lỏng, một lực cản sẽ xuất hiện tỷ lệ thuận với tốc độ của vật thể này. Nếu khối lượng của thuyền và tải trọng bằng M và m tương ứng thì tốc độ của thuyền tại thời điểm cho trước là v và gia tốc của nó là a thì (theo định luật II Newton) phương trình chuyển động của thuyền có dạng:

(M+m)a=mg-Av, (*)

trong đó A là hằng số nhất định đặc trưng cho lực cản.

Phương trình () mô tả chuyển động có gia tốc thay đổi. Để tìm sự phụ thuộc của tốc độ vào thời gian, nói chung cần phải diễn giải (). Tuy nhiên, ta cần tìm vận tốc của thuyền chỉ sau một thời gian ngắn kể từ khi nó bắt đầu chuyển động. Trong trường hợp này, sự đóng góp của số hạng thứ hai ở vế phải của phương trình () có thể bị bỏ qua và chúng ta có thể giả sử rằng con thuyền đang chuyển động với gia tốc ban đầu a0 nào đó. Bản thân phương trình chuyển động được xem xét về cách sử dụng dữ liệu bài toán cho lời giải của nó. Sự phụ thuộc của gia tốc a vào tốc độ v là phương trình của đường thẳng có tọa độ a, v. Do đó, ngoại suy () về các giá trị v→0, ta thu được gia tốc ban đầu a0.

Để xây dựng sự phụ thuộc a(v), gia tốc vận tốc tại mỗi khoảng thời gian 1 s có thể được coi là bằng gia tốc. Tốc độ chuyển động ở mỗi khoảng thời gian được chỉ định có thể được lấy làm giá trị trung bình của nó. Sự phụ thuộc a(v) thu được theo cách này là

a (cm/s²) 0,79 0,52 0,35 0,23 0,16 0,1 0,06 0,05
v (cm/s) 6,04 6,71 7,14 7,42 7,62 7,75 7,83 7,88

hiển thị trên hình 2 (đường liền nét). Gia tốc ban đầu a0, thu được từ đồ thị ở v→0, là ~3,5 cm/s².

Vậy sau 0,1 s kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc của thuyền xấp xỉ 0,35 cm/s.

A. A. Sheronov

$T = \frac{V}{v} = \frac{1 + R_{\text{ш}} / R_{\text{x}} + R_{\text{ш}} / R_{\text{r}}}{p_{\text{x}} / R_{\text{x}} + p_{\text{r}} / R_{\text{r}}} = \frac{t_1 t_3}{t_1 + t_3} \left( \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_4}{t_3} - 1 \right) = 10.8 \text{ min.}$

V. E. Skorovarov

F1080. Tuy nhiên, bình có thành mỏng liên tục được bơm ra ngoài bằng máy bơm, do có vết nứt nhỏ trên thành bình nên áp suất không đổi $p_y = 0.001$ mmHg được thiết lập trong đó. Nghệ thuật. Bên ngoài, áp suất khí quyển bình thường là $p_0 = 760$ mmHg. Nghệ thuật, độ ẩm không khí tương đối $\varphi = 80\%$ . Tìm áp suất hơi nước trong bình. Áp suất hơi bão hòa của nước ở nhiệt độ nhất định là $p_n = 17.5$ mmHg. Nghệ thuật.

Hãy xét chế độ Đứng yên, khi áp suất của hơi nước và không khí khô trong bình không thay đổi theo thời gian. Chúng ta hãy biểu thị áp suất ở trạng thái ổn định của hơi nước trong bình bằng $p_{y\pi}$ và bằng $p_{yB}$ áp suất ở trạng thái ổn định của không khí khô. Áp suất ổn định của không khí ẩm trong bình $p_y$ bằng tổng của các áp suất riêng phần này:

$p_y = p_{y\pi} + p_{yB}.$

(1)

Vì nhiệt độ không khí không thay đổi nên điều kiện duy trì áp suất cho từng thành phần đòi hỏi số lượng phân tử của mỗi khí (hơi hoặc không khí khô) đi vào bình trong một đơn vị thời gian bằng số lượng phân tử khí rời khỏi bình trong cùng một thời gian. Số lượng phân tử khí đi qua một vết nứt nhỏ tỷ lệ thuận với tích số nồng độ của chúng và tốc độ chuyển động nhiệt trung bình của các phân tử khí này. Đổi lại, đây là tích của nhiễu loạn áp suất tỷ lệ chia cho $\sqrt{\mu}$ , trong đó $\mu$ là khối lượng mol của khí. Số lượng phân tử khí được đưa vào bình trong một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với áp suất của khí này trong bình. Do đó, bỏ qua các phân tử rời khỏi bình qua vết nứt vi mô ( $p_y \ll p_H \frac{\varphi}{100}$ ), đối với các phân tử hơi nước và không khí khô, chúng ta có thể viết:

$\frac{p_{0\pi}}{\sqrt{\mu_{\pi}}} \sim p_{y\pi}, \frac{p_{0B}}{\sqrt{\mu_{\beta}}} \sim p_{yB}.$

(2)

Thay $p_{yB}$ từ (2) vào (1), ta tìm được áp suất ổn định của hơi nước trong bình:

$p_{y\pi} = \frac{p_y}{1 + \frac{p_{0B}}{p_{0\pi}} \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{\mu_{\beta}}}} = \frac{p_y}{1 + \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{p_{0}} - \frac{p_H \varphi}{100}}} \approx \frac{\varphi p_H p_y}{100 p_0} \sqrt{\frac{\mu_{\beta}}{\mu_{\pi}}} \approx 2.34 \cdot 10^{-5} \text{ мм рт. ст.}$

V. V. Mozhaev

F1081. Để làm sạch không khí khỏi bụi, trong điều kiện bình thường lắng xuống rất chậm, bạn có thể lợi dụng thực tế là bụi đã bị ô nhiễm.
Trong thí nghiệm đầu tiên, một hình trụ thủy tinh (hình 1) chứa không khí bụi được đặt trong một điện trường $E_1=1\times 10^4$ V/m, hướng dọc theo trục hình trụ. Sau thời gian $t_1=2$ phút, toàn bộ bụi có trong xi lanh lắng xuống đáy. Trong thí nghiệm thứ hai, một sợi dây mỏng được kéo dọc theo trục của hình trụ và nối với nguồn điện áp cao. Được biết, trong trường hợp này điện áp trường là $E \sim 1/r$ , trong đó $r$ là khoảng cách đến trục. Điện áp nguồn được chọn sao cho điện áp điện trường trên thành trụ, như trong thí nghiệm đầu tiên, là $1 \cdot 10^4$ V/m. Giả sử các hạt bụi giống hệt nhau và điện tích của các hạt bụi bằng nhau, hãy xác định thời gian để tất cả bụi lắng xuống thành ống trụ trong thí nghiệm thứ hai. Có rất ít bụi trong không khí nên có thể bỏ qua thể tích điện tích.

F1082. Trong mạch điện ở hình 1, các công tắc K đóng. Tìm cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây. Tìm điện áp cực đại tại