Tổng các góc

50

Toán 6-10

Các ghi chú được xuất bản dưới đây được thống nhất bởi một chủ đề chung: chúng nói về tổng các góc của một đa giác - lồi và tùy ý, phẳng và “hình cầu”. Trong quá trình này, định lý Euler về bản đồ trên mặt phẳng (và trên mặt cầu) và định lý Euler nổi tiếng hơn về đa giác, rút ​​ra từ nó, sẽ được thảo luận. Mặc dù ghi chú đầu tiên dành cho học sinh lớp 6-8, ghi chú thứ hai là deactylassic và ghi chú thứ ba là deactylassic, chúng tôi vẫn khuyên bạn nên đọc ngược lại. Cả ba ghi chú đều được chuẩn bị bởi N.V. Vasiliev và V.L. Gutenmakher.

Tổng các góc
Tổng các góc của tam giác

Một trong những kiến ​​thức hình học đầu tiên chúng ta học là định lý cho rằng trong bất kỳ tam giác nào tổng các góc bằng 180°. Thực tế này có thể được xác minh bằng thực nghiệm: cắt một hình tam giác tùy ý từ giấy, xé hai góc khỏi nó và gắn vào góc thứ ba - chúng cùng nhau tạo thành một góc đảo ngược 180°. Chứng minh định lý (hình 1) dựa trên cùng một ý tưởng - gom ba góc ở một đỉnh: nếu một đường thẳng đi qua đỉnh của một tam giác, song song với cạnh đối diện - đáy thì hai góc tạo thành sẽ bằng hai góc ở đáy.

Về “định đề thứ năm” của Euclid

Trong lập luận này của chúng tôi, chúng tôi đã sử dụng “định đề thứ năm” của Euclid - một tiên đề phát biểu rằng chỉ có một đường thẳng song song với một điểm cho trước và đi qua một điểm cho trước. Các cặp góc chéo của các đường thẳng song song bằng nhau*), và điều này dẫn đến định lý về tổng các góc của một tam giác. Tất nhiên, từ định lý về tổng các góc của một tam giác, người ta có thể rút ra “định đề thứ năm” - chúng tương đương với nhau. Phải mất hơn hai nghìn năm người ta mới phát hiện ra rằng phủ định của tiên đề thứ năm - khả năng vẽ nhiều đường thẳng đi qua một điểm mà không cắt điểm này - cùng với tất cả

*) Xem “Hình học 6-10” (Moscow: “Prosveshcheniye”, 1986), tr. 41.

51

các tiên đề hình học khác dẫn đến một lý thuyết nhất quán mới: hình học Lobachevsky. Trong hình học Lobachevsky, tổng các góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180°. Trong hình học này, hình tam giác càng lớn thì chênh lệch giữa 180° và tổng các góc của tam giác càng lớn - sự chênh lệch này tỷ lệ thuận với diện tích của tam giác.

Hình học trong thế giới gần gũi với chúng ta khá phù hợp với hình học chung của Euclid. Tuy nhiên, hình học của lobachevsky hóa ra lại có mối liên hệ sâu sắc với thuyết tương đối. Bạn có thể đọc về hình học Lobachevsky trong bài viết “Mô hình Poincaré” của K. L. Samarov, V. M. Uroev trong «Kvant» số 6 năm 1984.

Định lý góc ngoài

Bạn có thể ghép các góc của một hình tam giác với nhau theo cách khác với cách ở hình 1, bằng cách kéo dài một cạnh của nó ra ngoài đỉnh và vẽ một tia từ đỉnh này song song với cạnh đối diện (hình 2). Như vậy, người ta đã chứng minh rằng góc ngoài của một tam giác (giáp kề với góc trong) bằng tổng hai góc trong không hề hài hước với nó. Về cơ bản đây là một phiên bản của định lý về tổng các góc của một tam giác. Định lý về góc ngoài của tam giác được dùng để chứng minh đa phát biểu. Chúng ta chỉ nhớ lại một điều được sử dụng đặc biệt thường xuyên: độ lớn của góc ở tâm bằng một nửa độ lớn của cung mà góc này nằm trên đó, tức là vị trí độ lớn của góc ở tâm nằm trên cùng một cung (trong sách giáo khoa “Hình học 6-10” của A.V. Pogorelov, thực tế này hoàn thành môn học lớp 6).

Về kích thước của góc

Trong cuộc sống bị xúc phạm, ở góc độ khái niệm là một hình hình học sắc nét (góc bàn, góc nhà). Khi nói về việc kiểm chứng bằng thực nghiệm định lý về tổng các góc của một tam giác, chúng ta muốn nói đến góc là một phần của mặt phẳng nằm giữa hai tia (một tờ giấy). Việc cộng các góc—áp dụng góc này với góc khác—đã dẫn chúng ta tới một góc phi giáo dục có các cạnh nằm trên cùng một đường thẳng: góc quay 180°.

Áp dụng một số góc có thể dẫn đến một số loại hình hai lớp. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: một góc, ví dụ, 380° là gì? Những góc như vậy sẽ được xem xét trong khóa học lượng giác (xem “Đại số - 8”, trang 131); Chúng rất thuận tiện để sử dụng khi đo lượt.

Ví dụ, hãy xem xét cách xoay núm radio được sử dụng để điều chỉnh nó. Xoay bàn tay này vài độ, chúng ta sẽ có được làn sóng mong muốn. Đồng thời, việc xoay 20° từ một điểm nào đó không giống như xoay 380° để điều chỉnh đài, mặc dù vị trí tương ứng của núm là như nhau. Hơn nữa, bạn có thể xoay bàn tay của mình theo hướng này hay hướng khác - do đó, bạn cần phải nhập, ngoài các góc dương (tương ứng với các góc quay ngược chiều kim đồng hồ), còn cả các góc âm. Tổng của hai góc sẽ là góc quay có được nếu bạn xoay tay trước sang một góc rồi sang góc thứ hai.

Chúng ta hãy thử xét từ quan điểm này trước tiên tổng các góc của một tam giác và sau đó là một đa giác.

Tổng các góc của một đa giác

Hãy tưởng tượng một chiếc thước trượt dọc theo các cạnh của một hình tam giác (hình 3, a). Gần mỗi đỉnh, thước sẽ quay đến một đỉnh bằng góc ngoài của tam giác và sau khi đi một vòng tròn quanh tam giác - chẳng hạn như ngược chiều kim đồng hồ - thước sẽ quay về vị trí ban đầu, thực hiện một vòng hoàn toàn - 360°. Vì vậy, tổng các góc ngoài của một tam giác là 360° (hình 3, b).

Lý do tương tự cũng áp dụng cho mọi lồi $n$-than-