Lập thể bài toán với quả bóng

63

Steoremia bài toán với quả bóng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
M. R. LIBERZON

Bài viết này thảo luận về bài toán sự kết hợp của các vật thể trong không gian bao gồm một hoặc nhiều quả bóng. Tập hợp các vật thể được chỉ định trong bài tập có thể khó mô tả trên bản vẽ, nhưng điều này là không cần thiết: ​​đối với lời giải, việc xây dựng các bản vẽ phẳng thu được các mặt phẳng trong phần của một hình không gian nhất định hoặc khi chiếu nó lên một mặt phẳng là đủ. Điều chính là chọn đúng mặt phẳng. Không có cách chung nào để đưa ra lựa chọn như vậy; tất nhiên, bạn phải cố gắng đảm bảo rằng các mặt phẳng cắt đi qua càng nhiều điểm nút càng tốt - tâm của các quả bóng, điểm tiếp xúc, v.v. - và trong quá trình thiết kế, độ dài và góc đã cho được giữ nguyên (hoặc thay đổi một cách có kiểm soát).

Chúng ta hãy nhớ lại một vài sự kiện hình học đơn giản thường được sử dụng khi chọn mặt phẳng.

Phát biểu 1. Bán kính bị vẽ về điểm tiếp xúc của hai quả cầu nằm trên cùng một đường thẳng. Khoảng cách giữa tâm tiếp tuyến của các quả bóng bằng tổng hiệu của bán kính của chúng.

Phát biểu 2. Nếu một mặt phẳng đi qua tâm tiếp tuyến của các quả cầu thì nó chứa một điểm tiếp tuyến.

Phát biểu 3. Cho quả bóng chạm vào mặt bên của một hình trụ tròn đứng. Nếu mặt phẳng đi qua hình trụ và tâm quả cầu thì nó chứa một điểm tiếp tuyến.

Phát biểu 4. Cho quả bóng chạm vào mặt bên của một hình nón tròn bên phải. Nếu mặt phẳng đi qua chiều cao của hình nón và tâm của quả cầu thì nó chứa một điểm tiếp tuyến.

Để làm ví dụ, chúng ta hãy xem xét một số bài toán được cung cấp vào các thời điểm khác nhau trong các bản giới thiệu tại Đại học Tổng hợp Moscow.

Bài tập 1. Trong không gian ngăn cách giữa một mặt cầu và một mặt phẳng đi qua tâm của nó, đặt ba quả cầu giống hệt nhau có bán kính r sao cho mỗi quả cầu tiếp xúc với hai quả còn lại là mặt cầu và mặt phẳng chỉ định. Đặt bán kính của bề mặt hình cầu.

Lời giải. Hình chiếu của tâm của các quả cầu này lên một mặt phẳng cho trước là các đỉnh của một tam giác đều có cạnh 2r; tâm của mặt cầu nằm ở tâm của tam giác này; khoảng cách từ tâm này đến bất kỳ đỉnh nào của tam giác là 2r/√3 (hình 1).

Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng đi qua tâm O của bề mặt hình cầu và tâm A của một trong những quả cầu này vuông góc với mặt phẳng đã cho. Phần này sẽ tạo ra hình được mô tả trên hình 2. Trên hình điểm M này là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng đã cho, P là điểm tiếp tuyến của quả cầu đã cho với tâm A và mặt cầu đã cho. Trong tam giác vuông AOM, độ dài của các chân đã biết: AM=r, MO=2r/√3. Dấu vết-

64

Vì vậy, $AO = \sqrt{r^2 + \frac{4r^2}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}r$ và chúng ta có thể tìm thấy bán kính cần thiết: $OP = OA + AP = \frac{\sqrt{21}}{3}r + r = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}r$.

Bài 2. Trong tam giác $ABC$ cạnh $AB$ bằng 2, cạnh $BC$ bằng 4 và $\angle B = 60^\circ$. Khi các quả bóng chạm vào mặt phẳng của tam giác $ABC$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ và chạm vào nhau theo cặp. Xác định bán kính của những quả bóng này.

Lời giải. Sử dụng định lý cosin, ta tìm được độ dài cạnh $AC$: nó bằng $\sqrt{12}$. Để các quả bóng chạm vào mặt phẳng của tam giác tại các điểm $A, B, C$ có tâm tại các điểm $O_1, O_2, O_3$ và bán kính của chúng bằng $x, y, z$. Chúng ta hãy vẽ ba mặt phẳng cát tuyến phụ phân bố lại cho mặt phẳng của tam giác $ABC$: một mặt đi qua các điểm $O_1$ và $O_2$ (phần hình của chúng ta theo mặt phẳng này được hiển thị trong hình 3), một mặt đi qua các điểm $O_2$ và $O_3$ và mặt thứ ba đi qua các điểm $O_1$ và $O_3$ (các phần của các mặt phẳng này của thiết bị tương tự nhau). Trong mỗi phần có một tam giác vuông, chiều dài cạnh huyền bằng tổng bán kính của hai quả bóng, một chân bằng hiệu của các bán kính này, chân còn lại bằng chiều dài cạnh tương ứng của tam giác.

KA $ABC$. Bằng cách viết định lý Pythagore cho mỗi tam giác này, chúng ta thu được một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số, từ đó chúng ta tìm thấy $x = \sqrt{3}/2, y = 2\sqrt{3}/3, z = 2\sqrt{3}$.

Bài 3. Một quả cầu có bán kính $R$ nằm trên một mặt phẳng. Cùng một mặt phẳng cắt nhau bởi một hình trụ tròn bên phải có bán kính $r$, và các đường sinh của hình trụ vuông góc với mặt phẳng. Tâm của quả bóng được đưa ra khỏi trục hình trụ một khoảng $\rho > R + r$. Tìm bán kính nhỏ nhất có thể có của một quả bóng có thể chạm vào hình trụ, mặt phẳng và quả bóng đã cho cùng một lúc.

Lời giải. Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng phụ đi qua các trục của hình trụ và tâm $Q$ của quả bóng đã cho. Tâm $O$ của quả bóng, có bán kính mà chúng ta đang tìm kiếm, nằm, rất indo, trong mặt phẳng này. Trong phần (hình 4) có một tam giác vuông $OKQ$, trong đó độ dài của tất cả các cạnh được biểu thị thông qua dữ liệu bài toán $R, r, \rho$ và bán kính mong muốn $x$. Định lý Pythagore đưa ra phương trình tính $x$; giải phương trình này ta được $x = (\sqrt{R + \rho} - r) - \sqrt{R})^2$.

Bài 4. Cho hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$). Ở góc $A$ của hình lập phương có một quả bóng có bán kính $R = 0,5$. Tìm bán kính của một quả bóng treo ở góc $C$ của một hình lập phương và chạm vào quả bóng đã cho, với điều kiện cạnh của hình lập phương đó là $a = 1,5$.

Lời giải. Đặt $Q$ là tâm của quả bóng treo ở góc $A$. Có ba quả bóng treo ở góc $C$ và chạm vào quả bóng đã cho. Tuy nhiên, trong số này liên quan đến đáy của khối lập phương $ABCD$

65

tại cùng điểm với quả bóng đã cho và chứa $O_1$ bên trong của nó. Điểm $O_1$ nằm trên điểm $Q$. Hai quả bóng nữa, bán kính mà chúng ta phải tìm, chạm vào quả bóng $Q$ từ bên ngoài và nằm ở hai phía đối diện của nó: quả nhỏ hơn gần đỉnh $C$, quả lớn hơn ở xa nó hơn. Chúng ta hãy biểu thị tâm của chúng lần lượt bằng các chữ cái $O_2$ và $O_3$.

(Lưu ý rằng chỉ quả bóng nhỏ nhất $O_2$ vừa vặn bên trong khối lập phương. Quả bóng ở giữa $O_1$ và quả bóng lớn $O_3$ “bò ra” ngoài ranh giới của nó và không thể chạm vào các mặt của khối lập phương mà chỉ chạm vào phần mở rộng của chúng.)

Hãy tìm bán kính của ba quả bóng này. Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng phụ đi qua các cạnh thẳng đứng $AA_1$ và $CC_1$. Trong mặt phẳng này là tâm của tất cả các quả bóng, các điểm tiếp xúc của chúng với nhau và với mặt phẳng $ABCD$. Hãy cân nhắc việc đánh dấu các quả bóng $O_2$ và $Q$ (hình 5) bằng mặt phẳng này. Trong tam giác $O_2KQ$, chỉ có chiều dài chân $KO_2$ là chưa biết. Nhưng $KO_2=MN$, và chúng ta tìm khoảng cách giữa các điểm $M$ và $N$ tính từ hình chiếu lên mặt phẳng cơ sở $ABCD$ (hình 6);

$$MN=AC-AM-NC=a\sqrt{2}-R\sqrt{2}-x\sqrt{2}=\sqrt{2}(a-R-x).$$

Sử dụng định lý Pythgor cho tam giác $O_2KQ$, ta thu được phương trình

$$(R+x)^2=(R-x)^2+2(a-R-x)^2,$$

có hai nghiệm (nhớ lại theo điều kiện $R=0,5$, $a=1,5$): $(3-\sqrt{5})/2$ và $(3+\sqrt{5})/2$.

Có hai gốc nghĩa là gì? Vẽ mặt cắt và hình chiếu cho các quả bóng $O_3$ và $Q$ tương tự như trong Hình 5 và 6. Đảm bảo rằng bán kính của quả bóng lớn $O_3$ được tìm thấy từ phương trình, phương trình này chỉ khác với phương trình được viết bằng dấu bên trong dấu ngoặc đơn ở bên phải. Sự khác biệt này được loại bỏ khi bình phương. Điều này có nghĩa là hai nghiệm thu được lần lượt là bán kính dài của các quả bóng $O_2$ và $O_3$.

Để tính bán kính của quả bóng $O_1$, chỉ cần xét hình chiếu lên mặt phẳng đáy $ABCD$, như hình minh họa