Hình học của một tờ giấy

17

HÌNH HỌC CỦA TỜ GIẤY

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
D. V. FUCHS

1

Lấy một tờ giấy trong tay và uốn cong nó mà không bị nhàu. Bạn sẽ có trong tay một mảnh bề mặt, hình dạng của nó phụ thuộc vào cách bạn uốn tấm. Các mẫu bề mặt có thể thu được được hiển thị trong hình 1.

Có một điều là không phải mọi bề mặt đều có thể được biểu diễn dưới dạng một tờ giấy cong. Ví dụ, người ta biết rằng một tờ giấy không thể có dạng hình cầu: nếu bạn ấn một tờ giấy vào một quả địa cầu, các nếp gấp chắc chắn sẽ xuất hiện trên tờ giấy. Một tờ giấy có thể cuộn thành ống hoặc thành pound mà không bị nhàu, nhưng bạn không thể tránh khỏi nếp gấp khi gấp nó làm bốn như một chiếc khăn tay (hình 2).

Sự định nghĩa. Các bề mặt có thể được coi như một tờ giấy cong được gọi là có thể mở được.

Đó không phải là một định nghĩa mà là vô nghĩa; Chẳng có gì đáng giá từ nó cả, Pedant sẽ nói vậy, và ông ấy sẽ đúng. Không phải anh ấy đúng khi cho rằng định nghĩa này có phần tệ, mà là anh ấy không đáng để đọc thêm: chúng ta sẽ không có bất kỳ định nghĩa hoặc bằng chứng chắc chắn nào. Sẽ tốt hơn nếu nói rằng tất cả các bằng chứng của chúng ta (như trong một đường hình học cổ của Ấn Độ) về cơ bản sẽ là trạng thái của một từ: nhìn này!

Tuy nhiên, không phải đối với Pedant (anh ta đã đóng sầm tạp chí), mà đối với Người đọc chu đáo, tại sao: các đặc tính vật lý của một tờ giấy, điều cần thiết cho định nghĩa của chúng ta, là tính linh hoạt và tính không thể mở rộng (không thể nén được) của nó. Điều thứ hai có nghĩa là một đường đứt trên một tờ giấy có thể thay đổi hình dạng khi bị uốn cong, nhưng vẫn giữ nguyên chiều dài; điều đầu tiên có nghĩa là không có hạn chế nào khác về bản chất của sự uốn cong.

2

Thực tế là không phải tất cả các bề mặt đều có thể phát triển được rõ ràng từ thực tế là
Mọi bề mặt đang phát triển đều được cai trị.

Điều này có nghĩa là bạn có thể gắn kim đan vào một tờ giấy cong ở bất cứ đâu sao cho kim đan dính vào giấy dọc theo toàn bộ đoạn giấy,

Hình 1.

18

Hình 2.

bao phủ điểm đã chọn ở cả hai bên. (Chứng minh: thí nghiệm - xem hình 3.) Nói cách khác, bề mặt đang phát triển bao gồm các đoạn thẳng nằm hoàn toàn bên trong nó. Các phân đoạn này được gọi là bộ tạo tuyến tính hoặc đơn giản là bộ tạo bề mặt.

Nếu một điểm nào đó trên bề mặt có thể phát triển là điểm bên trong của hai máy phát điện không đi qua nhau, thì toàn bộ phần liếm điểm này là phẳng (hình 4). Chúng tôi sẽ loại trừ trường hợp như vậy khỏi việc xem xét, tức là chúng tôi giả định rằng

không có mảnh nào trên bề mặt của chúng ta, dù nhỏ nhất, là một mảnh của mặt phẳng.

Do đó, có chính xác một đường sinh tuyến tính đi qua từng điểm trên bề mặt của chúng ta. Những máy phát điện này tạo thành một nhóm các phân đoạn liên tục quét khắp bề mặt của chúng ta (xem hình 5). Một số đoạn này thoái hóa thành các điểm nằm trên ranh giới bề mặt cắn của chúng ta. (Lưu ý cuối cùng dành cho phần cơ thể ướt đẫm của Pedant.)

3

Người ta không nên nghĩ rằng mọi bề mặt được cai trị đều có thể phát triển được. Có nhiều bề mặt được cai trị. Một đoạn thẳng di chuyển trong không gian theo ý muốn sẽ quét qua bề mặt được cai trị.

Hãy lấy một số bề mặt có đường kẻ, chọn một bề mặt thẳng

Hình 3. Hình 4. Hình 5.

20

trên hình 5 và cố gắng tưởng tượng bề mặt sẽ có hình dạng như thế nào nếu chúng ta tiếp tục tạo các bộ tạo theo hướng mà chúng hội tụ (hình 11). Sau đó, họ lấy cuốn tạp chí và phát hiện ra đáp số. Nếu bạn không biết và đoán đúng thì bạn là Nhà Hình học.

Và đáp số là: bề mặt sẽ không phải là phần đầu; một cạnh quay lại sẽ xuất hiện trên đó (hình 12, a). Đây là một đường trong đó tiết diện của một mặt phẳng trông gần giống như minh họa trong hình 12, b.

5

Tôi đã hứa sẽ giữ lại bằng chứng. Không phải vì tôi không thích chúng chút nào (điều này tất nhiên là không đúng), và không phải vì bằng chứng cho những tuyên bố của tôi, đặc biệt là tuyên bố cuối cùng, quá phức tạp và không thể được trình bày theo cách mà học sinh có thể tiếp cận được (điều này chỉ đúng một phần). Đúng hơn, vấn đề là các chứng minh (ít nhất là những chứng minh mà tôi đã biết) về các định lý trong bài viết này tiến hành trong lĩnh vực công thức: phương trình cho bởi bề mặt, viết thông qua các điều kiện phát triển tùy ý, v.v. Tôi không muốn đưa ra một bằng chứng như vậy: nó khó có thể làm rõ được điều gì. Tuy nhiên, tôi sẽ không cố gắng chứng minh tuyên bố mà sẽ thuyết phục người đọc rằng đó là sự thật.

Hãy nhìn lại hình5.

Hình 10. Hình 11. Hình 12.

Giống như bất kỳ mô tả nào về một hình không gian, nó thể hiện hình chiếu của hình này lên một mặt phẳng - một trang tạp chí. Vì vậy, chúng ta có một họ đường thẳng trên mặt phẳng. Vẽ nó trên một tờ giấy riêng và tiếp tục tất cả các đường thẳng. Bạn thấy rằng tất cả các đường thẳng hội tụ thành một đường cong nào đó mà chúng tiếp xúc (hình 13). Trong phân tích, họ chứng minh một định lý rất đơn giản rằng mọi họ đường liên tục đều có một “đường bao” như vậy, trừ khi các đường này đều song song và không đi qua một điểm (điều tương tự cũng đúng với một họ đường cong). Vì vậy, bạn đã nhìn thấy cạnh trở lại.

Tuy nhiên, đối tượng của Người đọc có suy nghĩ, lý do này, nếu có thể gọi như vậy, có thể áp dụng cho bất kỳ bề mặt được cai trị nào. Hãy nói

21

trong hình ảnh của hyperbolon một tờ (hình 9) cũng có một đường thẳng chạm vào các đường sinh được chiếu trên hình vẽ (hyperbola bên) và không có cạnh đỉnh trên bề mặt.

Người đọc biết suy nghĩ luôn luôn đúng; nhưng tôi còn một lý lẽ nữa có thể sẽ thuyết phục được anh ấy. Đường mà anh ấy đang nói đến là rìa của hình ảnh của bề mặt, hay như người ta nói, đường viền nhìn thấy được của nó. Tại các điểm của đường này, mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt vuông góc với hình vẽ (xem hình 14, hiển thị đường viền nhìn thấy được của hình cầu). Nhưng đối với một bề mặt đang phát triển, mặt phẳng tiếp tuyến tại tất cả các điểm của đường sinh là như nhau (hãy nhớ - thước đã được gắn vào!), và tại các điểm không thuộc về cạnh quay lại được cho là, nó rõ ràng không vuông góc với mặt phẳng của hình vẽ. Điều này có nghĩa là nó không vuông góc với nó và tại các điểm của đường này, mà nằm ở vị trí như trong hình 15, điều này chứng tỏ một cách không thể chối cãi rằng đường của chúng ta là một cạnh quay lại.

Bạn có thể nhìn tất cả những điều này từ phía bên kia: một bề mặt đang phát triển (các đường sinh của chúng không song song và không đi qua một điểm) bao gồm các đường thẳng tiếp tuyến với một đường - cạnh quay lại. Điều này có nghĩa là có thể thu được một bề mặt có thể phát triển như sau: lấy một đường cong không gian (không có phần nào bằng phẳng) và vẽ tất cả các tiếp tuyến với nó (hình 16). Các tiếp tuyến này sẽ quét 表面 đang mở ra và đường cong ban đầu sẽ là cạnh quay lại của nó. Đồng thời

22

bất kỳ bề mặt phát triển không hình trụ và không hình nón nào cũng có thể thu được theo cách này (định lý Euler).

6

Đây là tất cả? Không, như bây giờ bạn sẽ thấy. Chúng ta hãy phóng to bề mặt đang mở ra trong đầu đến kích thước mà người ta có thể đi trên đó và trèo dọc theo nó theo phương vuông góc để tạo thành một hình dạng (hình 17). Generatrix bị cạnh quay lại chạm vào và khi chúng ta di chuyển, nó sẽ nhanh chóng di chuyển ra xa chúng ta hoặc nhanh chóng tiếp cận chúng ta. Và điều gì có thể dẫn đến sự chuyển đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác? Nhìn vào hình 18. Nó hiển thị một tờ giấy tạo thành hai đoạn của cạnh trả lại. Có gì ở giữa? Một đường thẳng, giống như một đường chấm trên hình này? Không, dòng này không thể chạm vào hình ảnh ở mọi nơi. Vì vậy, chỉ còn lại một điều:

bản thân cạnh đỉnh có một điểm đỉnh (hình 19).

Bề mặt của điểm không thể tưởng tượng được này có cấu trúc như thế nào? Hãy bắt đầu với hình ảnh. hình 20 hiển thị bề mặt của chính nó. Ngoài cạnh quay về nhất thiết phải có đường tự giao nhau. hình 21 thể hiện các phần của bề mặt này bằng một số mặt phẳng song song. Để đảm bảo tại một thời điểm nào đó bề mặt trông giống hệt như thế này, chúng ta sẽ hành động như trong định lý Euler: lấy cạnh quay về được cho là và vẽ tất cả các tiếp tuyến có thể có với nó.

Để xây dựng một đường cong không gian “điển hình” với điểm gốc

Hình 20. Hình 22. Hình 23.

Hình 24.

23

cổng, lấy một đường cong phẳng có điểm đỉnh và uốn cong mặt phẳng một chút (hình 22). Bây giờ chúng ta vẽ các tiếp tuyến với đường cong này và xem kết quả từ phía trên. Mỗi tiếp tuyến được chia thành ba phần như trong hình 23. Bây giờ, riêng biệt trong hình trên, phần thứ hai và thứ ba của tất cả các tiếp tuyến (hình 24). Ở hình đầu tiên, người ta nhận được phần màng trên, hơi xuyên thủng giữa hai nhánh của xương sườn trở lại; ở bức tranh thứ hai có sự khớp nối của hai mảnh giữa các nhánh của gân hồi và đường tự giao; Cuối cùng, bức tranh thứ ba tạo ra phần còn lại của bề mặt. Lưu ý rằng các hình được mô tả trong lá bài thứ hai và thứ ba có điểm ngắt dọc theo đường tự giao nhau. Toàn bộ bề mặt được gọi là khớp nối (tương tự?).

Vì vậy, một tờ giấy bị cong tùy ý, nhưng không bị nhàu nát, sẽ biến, sau khi tiếp tục không giới hạn các bộ tạo tuyến tính của nó, thành một bề mặt có cạnh quay lại, mà bản thân nó có lẽ có nhiều hơn một điểm quay lại. Gần mỗi điểm giao nhau của cạnh quay lại, bề mặt có cấu trúc giống như một cái đuôi én; đặc biệt có nút giao tự thân. Đây là hình học thú vị của một tờ giấy thông thường (xem trang 4 của bìa).

7

Tóm lại, một vài lời nữa về đuôi én. Bề mặt này xuất hiện rất thường xuyên trong hình học ba chiều; nhiều phân tích và cơ học bài toán tự nhiên dẫn đến nó. Nhưng lần đầu tiên hình ảnh của nó (không được đặt tên: cái sau được phát minh vào những năm 60 của thế kỷ chúng ta bởi nhà toán học nổi tiếng người Pháp P. Thom) xuất hiện vào thế kỷ trước trên các trang sách đại số trong bối cảnh sau đây.

Xét phương trình
$$x^n + a_1 x^{n-2} + a_2 x^{n-3} + \dots + a_{n-1} = 0.$$
Nó có thể có từ 0 đến $n$ lời giải

này. Ví dụ, phương trình
$$x^3 + ax + b = 0$$
có thể có 3, 2 hoặc 1 lời giải. Để biết chính xác là bao nhiêu, bạn cần vẽ một “đường cong phân biệt” $4a^3 + 27b^2 = 0$ (hình 25) trên mặt phẳng có tọa độ $a, b$. Nếu điểm $(a, b)$ nằm trong vùng màu tím thì phương trình có 3 lời giải, nếu điểm đó nằm trên đường viền của nó, ngoại trừ phần đầu thì 2 lời giải, trong các trường hợp khác phương trình có 1 lời giải.

Tương tự như bài toán cho phương trình bậc 4
$$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$$
dẫn đến một cái khớp đúng: trong không gian có tọa độ $a, b, c$ có một khớp nối tương tự như được hiển thị trong hình 20. Bên trong hộp bút chì tam diện có các điểm $(a, b, c)$, mà phương trình của chúng ta có 4 lời giải. Trên ranh giới của hộp bút chì, ngoài đường hồi quy và đường tự giao nhau, phương trình còn có 3 lời giải. Trên các thước này, không bao gồm lời giải 2; lời giải tương tự có phương trình cho tất cả $(a, b, c)$ nằm phía trên bề mặt (tính từ cạnh của hộp bút chì). Trên toàn bộ bề mặt, không bao gồm các ranh giới của hộp bút chì, nhưng bao gồm cả mặt trên, có một lời giải, không có lời giải nào ở dưới bề mặt. Bạn đọc có thể tìm thông tin chi tiết trong cuốn sách “Toán học cơ bản từ quan điểm tính toán” của F. Klein, vừa được nhà xuất bản Nauka tái bản.