Từ hình học của tứ diện

66

Từ hình học
tứ diện

V. E. MATIZEN, V. N. DUVROVSKY

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chủ yếu nói về các dấu hiệu cho thấy một khối tứ diện thuộc về lớp này hay lớp khác. Ví dụ về các lớp như vậy là hình chữ nhật tam giác đều và tứ diện đều, có thể được coi là tương tự của tam giác cân và tam giác đều. Nhưng không giống như phép đo mặt phẳng, nơi người ta chỉ có thể đặt tên cho các hình tam giác vuông, các lớp tứ diện thú vị trong phép đo hình học không chỉ giới hạn ở điều này. Tôi đã nói về hai lớp như vậy trong «Kvant» (xem «Kvant», 1983, Số 7, trang 34): đây là các lớp có trọng lực bằng nhau và khung tứ diện. Lớp tứ diện bằng nhau bao gồm các tứ diện, tất cả các mặt của chúng đều bằng nhau. Lớp tứ diện khung bao gồm các tứ diện có tất cả các cạnh tiếp xúc với một hình cầu nhất định. Một bài báo xuất bản năm 1983 đã thảo luận về nhiều đặc điểm của “chủ nghĩa bình đẳng” và “khuôn khổ”. Làm quen với nó để hiểu thêm sự cần thiết (mặc dù hữu ích): chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của ba loại tứ diện khác.

Tứ diện trực tâm

Không giống như một tam giác có các đường cao luôn cắt nhau tại một điểm - trực tâm, không phải tứ diện nào cũng có tính chất giống nhau (hình 1). Một tứ diện có các đường cao cắt nhau tại một điểm được gọi là trực tâm. Chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu tứ diện trực tâm với các điều kiện cần và đủ cho tính trực tâm; mỗi trong số chúng có thể được coi là một tứ diện trực tâm cụ thể.

67

Vì vậy, chúng ta sẽ chứng minh sự tương đương của các tính chất sau của tứ diện:
O1. Các đường cao của tứ diện cắt nhau tại một điểm.
O2. Các đáy của các đường cao của tứ diện là các trực giao của các mặt.
O3. Hai cạnh đối diện của tứ diện đều vuông góc.
O4. Tổng các bình phương của các cạnh đối diện của một tứ diện bằng nhau.
O5. Các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện của tứ diện đều bằng nhau (các đoạn này được gọi là hai phần).
O6. Tích các cosin của hai ranh giới đánh bắt đối diện là bằng nhau.
O7. Tổng bình phương diện tích các mặt nhỏ hơn tổng bình phương các cạnh đối diện.
Chúng ta hãy biểu thị bằng $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ các cạnh của tứ diện $ABCD$ ($a=BC, a_1=DA, b=CA, \dots$; hình 2), bằng $m_a, m_b, m_c$ các bimedannas ($m_a$ nối trung điểm của các cạnh $a$ và $a_1$, v.v.); các chữ cái giống nhau cho biết độ dài của các đoạn tương ứng - từ ngữ cảnh, bạn sẽ hiểu rõ ý nghĩa của nó - một đoạn hoặc độ dài của nó. Ta ký hiệu giá trị hai góc của tứ diện tại các cạnh $a, b, \dots$ như sau: $\hat{a}, \hat{b}, \dots$. Đầu tiên, chúng ta hãy coi một tứ diện trực giao là “một nửa”, cụ thể là chúng ta sẽ chứng minh rằng các điều kiện sau là bằng nhau:
$O1^\circ$. chiều cao $AA_1$ và $DD_1$ cắt nhau.
$O2^\circ$. điểm $D_1$ (hình chiếu của đỉnh $D$ lên mặt $ABC$) nằm ở độ cao của mặt $ABC$ được vẽ từ đỉnh $A$ (hoặc trên phần mở rộng của nó).

$O3^\circ$. Các cạnh $BC$ và $AD$ ($a$ và $a_1$) vuông góc.
$O4^\circ$. Vimedannas $m_b$ và $m_c$ bằng nhau.
$O5^\circ$. $b^2+b_1^2=c^2+c_1^2$.
$O6^\circ$. $\cos b \cdot \cos b_1=\cos \hat{c} \cdot \cos \hat{c}$.

Khá dễ dàng để chứng minh rằng $O1^\circ\Leftrightarrow O2^\circ\Leftrightarrow O3^\circ$: hình chiếu của các đường thẳng $AA_1$ và $AD$ lên mặt $ABC$, chúng ta rút ra từ định lý về ba đường vuông góc rằng mỗi mệnh đề trong ba mệnh đề này tương đương với độ vuông góc của các đường thẳng $AD_1$ và $BC$ (hoặc có thể là sự trùng khớp của các điểm $D_1$ và $A$).

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng $O3^\circ\Leftrightarrow O4^\circ\Leftrightarrow O5^\circ$. Lưu ý rằng mỗi hai đường chéo là các đường chéo của hình bình hành (hình 3), các cạnh của nó là đường trung bình của các mặt, song song với hai cạnh đối diện của tứ diện và có chiều dài bằng một nửa các cạnh này. Các điều kiện $O3^\circ$ và $O4^\circ$, tức là $a \perp a_1$ và $m_b=m_c$, tương đương với thực tế là hình bình hành tương ứng là một góc vuông. Chúng ta hãy viết đẳng thức hình bình hành nổi tiếng (tổng bình phương của đường chéo) cho hai hình bình hành tương tự khác: $b^2+b_1^2=2(m_c^2+m_a^2), c^2+c_1^2=2(m_a^2+m_b^2)$. Từ những đẳng thức này suy ra ngay $O4^\circ\Leftrightarrow O5^\circ$.

Để chứng minh $O6^\circ\Leftrightarrow O1^\circ$, xét các điểm $P$ và $P'$ giao nhau của các mặt phẳng $ADD_1$ và $ADA_1$ với đường thẳng $BC$. Tỷ lệ $k(P)=BP:PC$ bằng tỷ lệ $S_{AD_1B}:S_{AD_1C}$ của diện tích tam giác $AD_1B$ và $AD_1C$ (hình 4). Và vì những hình tam giác này là hình chiếu của các mặt $ADB$ và $ADC$ trên mặt phẳng $ABC$, nên với $k(P)$, chúng ta có:

Hình 1. Tứ diện không trực tâm (các mặt phẳng $a$ và $b$ vuông góc).

69

dấu chấm $A, B, C, D$:

$$\bar{a} \cdot \bar{a}_1 + \bar{b} \cdot \bar{b}_1 + \bar{c} \cdot \bar{c}_1 = 0;$$ (1)
$$2\bar{m}_a = \bar{b}_1 - \bar{b} = \bar{c}_1 + \bar{c};$$ (2)
$$m_a^2 - m_b^2 = \bar{c} \cdot \bar{c}_1;$$ (3)
$$2\bar{c} \cdot \bar{c}_1 = b^2 + b_1^2 - a^2 - a_1^2;$$ (4)
$$4m_a^2 = b^2 + b_1^2 + c^2 + c_1^2 - a^2 - a_1^2.$$ (5)

Bằng chứng của những điểm này như sau:

1. mỗi phát biểu sau đây có thể được coi là định nghĩa của tứ diện trực tâm:
   a) $\bar{a} \cdot \bar{a}_1 = \bar{b} \cdot \bar{b}_1 = \bar{c} \cdot \bar{c}_1$,
   b) $\bar{a}_1 \cdot \bar{b}_1 = \bar{b}_1 \cdot \bar{c}_1 = \bar{c}_1 \cdot \bar{a}_1$;
   c) trong một mặt phẳng tứ diện trực tâm, các góc ở ba đỉnh là nhọn, và ở đỉnh thứ tư - tất cả các lobo đều nhọn, lobo đều tù, lobo đều thẳng, trong khi tất cả các góc nhị diện ở đỉnh thứ tư đều là lobo đều nhọn, lobo đều tù, lobo đều thẳng và các góc nhị diện ở các đỉnh còn lại là nhọn;
2. nếu $EF$ là đường vuông góc chung của các cạnh ULAR $AD$ và $BC$ của tứ diện trực tâm $ABCD$ ($E \in AD, F \in BC$), thì
   $$\vec{EF}^2 = \vec{AE} \cdot \vec{ED} + \vec{BF} \cdot \vec{FC}.$$

Được mô tả song song

Chúng ta vẽ một mặt phẳng đi qua mỗi cạnh của tứ diện song song với cạnh đối diện. Những mặt phẳng này bao bọc cái gọi là tứ diện ngoại tiếp song song (hình 6). Một số tính chất của tứ diện

*) Đoạn a) và b) tạo thành bài toán M1039, lời giải trong số đó được xuất bản trong «Kvant» Số 8 năm 1987.

trở nên rõ ràng hơn nếu chúng được điều chỉnh lại cho dạng song song. Ví dụ: mỗi định nghĩa $O3, O4, O5$ của tứ diện trực tâm tương đương với thực tế là

O8. Các cạnh của hình song song được mô tả bằng nhau,

nghĩa là tất cả các mặt của nó đều là hình thoi. (Để chứng minh điều này, bạn chỉ cần lưu ý rằng các cạnh của tứ diện là các đường chéo của các mặt của hình bình hành, và các đường trung bình của tứ diện bằng nhau và song song với các cạnh của hình bình hành - hình 6.) Điều kiện bằng nhau của tất cả các mặt của hình bình hành được mô tả (và do đó các cạnh của nó) đặc trưng cho các hình tứ diện đều của kim tự tháp. Một loại tứ diện khác—bằng nhau—có thể được định nghĩa như sau: các hình bình hành được mô tả của chúng là hình chữ nhật. Nhân tiện, bây giờ chúng ta có thể đưa ra kết quả âm đáp số cho câu hỏi đặt ra ở cuối phần đầu tiên: một tứ diện có các thư viện giao nhau tại một điểm không nhất thiết là trực giao. Một tứ diện cách đều nhau cũng có tính chất này, vì các thư viện của một tứ diện đều đều trùng với các đường hai chân và cắt nhau tại tâm của hình bình hành ngoại tiếp của nó. Một ví dụ khác có thể được lấy từ một hình bình hành bên phải, đáy của nó là hình thoi - tứ diện tương ứng có hai cạnh đối diện vuông góc và các cạnh còn lại bằng nhau.

Chúng tôi không biết các ví dụ khác về tứ diện có thư viện giao nhau tại một điểm. Người ta cũng không biết liệu có bất kỳ điều kiện chung nào mà tài sản này nắm giữ hay không. Có lẽ độc giả sẽ tìm thấy chúng.

Chứng minh rằng

7. giữa các phần tử của một tứ diện và các phần tử của hình bình hành được mô tả của nó có các tính chất sau:

a) chiều cao của hình song song bằng thư viện các chiều cao bằng nhau của hình tứ diện,
b) thể tích của hình bình hành thứ hai lớn hơn thể tích của tứ diện,
b) các đường chéo của hình song song cắt nhau tại một điểm và được chia cho điểm đó theo tỷ lệ

70

shenitz 2:1, tính từ đầu trùng với đỉnh của tứ diện;
8. nếu ABCD là tứ diện trực tâm, H là trực tâm của nó, O và R là tâm và bán kính của hình cầu mô tả xung quanh tứ diện này, m là chiều dài của bimedine, khi đó:
a) Bộ phận phân phối lại rơi xuống mặt BCD từ đỉnh của hình song song ngoại tiếp đối diện với A đi qua O;
b) các điểm O và H đối xứng so với trọng tâm của tứ diện;
c) Trung điểm của các cạnh và đáy của tứ diện hai khối nằm trên cùng một mặt cầu;
d) Trọng tâm và trực tâm của các mặt nằm trên cùng một mặt cầu.

tứ diện đồng tâm

Các đoạn nối trọng tâm của các mặt tứ diện với các đỉnh đối diện (“các đường trung tuyến của tứ diện”) luôn cắt nhau tại một điểm (điểm này là trọng tâm của tứ diện). Nếu trong điều kiện này, chúng ta thay thế trọng tâm của các mặt bằng trực tâm của các mặt thì nó sẽ trở thành một định nghĩa mới về tứ diện trực tâm (kiểm tra xem!). Nếu chúng ta thay thế chúng bằng tâm của các đường tròn nội tiếp trên các mặt, được gọi là các khối nguyên tố, chúng ta thu được định nghĩa về một lớp mới của cái gọi là tứ diện nguyên tố.

Đặc điểm của lớp tứ diện thành phần cũng khá thú vị:

1. Các đoạn nối các đỉnh của tứ diện với tâm của các đường tròn nội tiếp các mặt đối diện sẽ cắt nhau tại một điểm.
2. Các đường phân giác của các góc của hai mặt vẽ một cạnh chung của các mặt này có một đáy chung.
3. Tích độ dài của các cạnh đối diện bằng nhau.
4. Tam giác được hình thành bởi giao điểm thứ hai của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh với bất kỳ hình cầu nào đi qua ba đầu của các cạnh này là tam giác đều (hình 7).

Việc kiểm tra sự tương đương của các điều kiện này không khó, và chúng tôi dành cho người đọc, chỉ giới hạn ở một dấu hiệu: đối với bất kỳ tứ diện nào, các cạnh của tam giác đề cập đến trong điều kiện I4 tỷ lệ với tích các cạnh đối diện của tứ diện.

Chứng minh thêm hai tính chất của tứ diện thành phần và tìm hiểu xem liệu chúng có thể được coi là định nghĩa của lớp này hay không:

9. cosin một góc của một cặp cạnh đối diện của một tứ diện bằng tổng các cosin hai góc cosin của các cặp cạnh đối diện của nó;
10. Các đường thẳng qua đó các mặt phẳng của ba mặt của tứ diện giao nhau với mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu ngoại tiếp của nó tại đỉnh chung của các mặt này và tạo thành các góc với nhau không 60°.

tứ diện phù hợp

Lớp tứ diện cuối cùng mà chúng tôi muốn giới thiệu với bạn đọc là lớp tứ diện phụ âm. Chúng ta gọi các tứ diện bằng nhau nếu chúng có
C1. Chiều cao đều bằng nhau.
Định nghĩa này có thể được thay thế bằng bất kỳ định nghĩa nào sau đây:
C2. Hình chiếu của một tứ diện lên một mặt phẳng vuông góc với một đường trung bình bất kỳ là hình thoi.
C3. Các mặt của song song được mô tả có kích thước bằng nhau.