Bài toán M1121—M1125; F1133—F1137

Bài toán

M1121 — M1125, F1133 — F1137

M1121. Cho tam giác ABC. Hai đường thẳng đối xứng với đường thẳng AC lần lượt là AB và BC cắt nhau tại điểm K. Chứng minh rằng đường thẳng BK đi qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC.

V. Yu. Protasov

M1122. Giải hệ phương trình:
$$\begin{align*} (x_3 + x_4 + x_5)^2 &= 3x_1, \\ (x_4 + x_5 + x_1)^2 &= 3x_2, \\ (x_5 + x_1 + x_2)^2 &= 3x_3, \\ (x_1 + x_2 + x_3)^2 &= 3x_4, \\ (x_2 + x_3 + x_4)^2 &= 3x_5. \end{align*}$$

L. Tutescu (Romania)

M1123. Góc nguyên thủy được chia thành vô số ô vuông ở phía đơn vị. Chúng ta sẽ xem xét một hàng ô song song với các cạnh của góc (hàng dọc và hàng ngang). Có thể viết một số tự nhiên vào mỗi ô sao cho mỗi hàng dọc và mỗi hàng ngang chứa tất cả các số tự nhiên một lần không?

V. S. Shevelev

M1124. Các cạnh, đường chéo và phần mở rộng của hình thang chính cắt đường thẳng l tại sáu điểm, tức là cắt ra năm đoạn trên đường thẳng l.
a) Chứng minh rằng nếu đoạn ngoài cùng (thứ 1 và thứ 5) bằng nhau thì các đoạn liền kề (thứ 2 và thứ 4) cũng bằng nhau.
b) Với tỷ lệ nào của hình thang chính có thể kiểm tra được đường thẳng l sao cho cả năm đoạn đều bằng nhau?

E. G. Gotman

M1125. Hãy xem xét một chuỗi các từ bao gồm các chữ cái A và B. Từ đầu tiên trong chuỗi là “A”; Từ k-e được lấy từ từ thứ (k-1) bằng cách sử dụng thao tác sau: mỗi A được thay thế bằng AAB, mỗi B bằng A (A, AAB, AABAABA, …).
a) Chứng minh rằng mỗi từ là đầu của từ tiếp theo (từ đó xác định được dãy vô hạn các chữ cái: AABAABAAABAABA…).
b) *Chữ A thứ 1988 xuất hiện ở đâu trong dãy này?
b) *Chứng minh dãy số này không tuần hoàn.

V. M. Galperin

F1133. Trong iterer có sự tan chảy dần dần của chất đang được nghiên cứu. Nhiệt dung riêng của chất này (đã được xác định trong các thí nghiệm trước) là L = 200 kJ/kg. Dùng đồ thị nhiệt độ của chất đó theo thời gian (hình 1), xác định nhiệt dung riêng của chất đó ở trạng thái rắn và lỏng. Công suất nhiệt 卡尔 itera pretenbr.

A. R. Zilberman

38

F1134. Khám phá hành tinh mới được phát hiện, có hình dạng một quả bóng có bán kính $R=6400$ km và được bao phủ toàn bộ bề mặt của nó bởi một đại dương có độ sâu $H=10$ km nước vật lý, các nhà khoa học đã chứng minh rằng gia tốc trọng trường không thay đổi với độ chính xác cao khi ngâm mình trong đại dương ở các độ sâu khác nhau. Sử dụng những dữ liệu này, hãy xác định gia tốc rơi tự do trên hành tinh. Hằng số hấp dẫn $G=6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \text{m}^2/\text{kg}^2$.

I. I. Vorobiev

F1135. Một mặt phẳng nằm ngang với một đồng xu nằm trên thực hiện chuyển động tịnh tiến tròn trong mặt phẳng ngang sao cho tất cả các điểm của nó mô tả các đường tròn có bán kính $R$ với vận tốc góc $\omega$. Hệ số ma sát giữa đồng xu và mặt phẳng $\mu$. Chuyển động ở trạng thái ổn định của đồng tiền sẽ như thế nào? Cô ấy “vẽ” dấu vết gì trên máy bay?

E. I. Butikov

F1136. Trong mạch hiển thị ở hình 2, ampe hiển thị các điểm 0,2 A và 0,3 A. Sau khi hoán đổi hai điện trở trong mạch, số đo ampe không thay đổi. Cái nào chạy qua pin? Giả sử điện áp pin không đổi. Điện trở của các ampe kế không đáng kể.

A. P. Zilberman

F1137. Máy tạo tĩnh điện (hình 3) bao gồm một hình trụ không dẫn điện trên đó dán các dải giấy bạc $\Phi_1$ và $\Phi_2$, các tấm bên ngoài $O_1$ và $O_2$, bộ thu dòng cố định $T_1$ và $T_2$ ở bên ngoài và một cầu nối cố định bên trong với bộ thu dòng $T_3$ và $T_4$. Ở vị trí ban đầu, các dải giấy bạc nằm dọc theo các bản và tạo thành các tụ điện có công suất $C_1$ mỗi tụ. Một tụ điện có công suất $C_0$, được sạc trước đến điện áp $U_0$, được nối với các tấm bên ngoài. Điện áp trên tụ điện này sau $N$ vòng quay của hình trụ theo chiều kim đồng hồ là bao nhiêu? Điện dung giữa các tấm và dải giấy bạc ở trạng thái giãn nở là không đáng kể.

Problems

M1121—M1125, P1133—1137

M1121. A triangle $ABC$ is given. The two lines which are the mirror images of $AC$ with respect to $AB$ and $BC$ intersect at the point $K$. Prove that $BK$ passes through the centre of the circumcircle of triangle $ABC$.

V. J. Protasov

M1122. Solve the system of equations:

$$(x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,$$
$$(x_4+x_5+x_1)^5=3x_2,$$
$$(x_5+x_1+x_2)^5=3x_3,$$
$$(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4,$$
$$(x_2+x_3+x_4)^5=3x_5.$$

L. Tutescu (Rumania)