Bài toán

Kvant 1988, số 9 tr. 51, 53, 54, 56, 59 Thẻ RDP6

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Nhiệm vụ

Có thể sắp xếp mười số tự nhiên khác nhau vào các vòng tròn của ngôi sao trên hình sao cho tổng của bốn số dọc theo mỗi cạnh của đường thẳng là số lẻ?
Sáu hành khách trên xe buýt không có người soát vé phải trả 5 kopecks tiền vé. Nhưng họ chỉ có đồng xu 10, 15 và 20 kopecks. Tuy nhiên, các hành khách đã đối phó với nhiệm vụ. Chứng tỏ rằng tổng số xu họ có ở mọi thứ không ít. Liệu hành khách có thể giải được bài toán này nếu họ có tổng cộng tám đồng xu không?
Hai số có hai chữ số liên tiếp được cộng lại và các chữ số trong tổng của chúng được sắp xếp lại. Kết quả là số được thêm vào càng lớn. Cộng lại những con số nào?
Xác định giá trị số của từ VẬN CHUYỂN nếu các chữ cái giống nhau lần lượt được thay thế bằng các số giống nhau và các chữ cái khác nhau được thay thế bằng các số khác nhau và sao cho các bất đẳng thức chỉ ra tại hình được thỏa mãn.
Hai hình bình hành - đỏ và xanh - có một đỉnh chung và một đỉnh nữa nằm ở cạnh kia (xem hình). Chứng minh rằng diện tích của chúng bằng nhau.

Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi: A. M. Domashenko, N. B. Vasilyev, Zhora Golovatenko từ Moscow, M. P. Mochalov và V. V. Proizvolov.

QUY TẮC TUYỆT VỜI

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. L. ROSENTHAL

Nếu muốn học cách giải toán bài toán, bạn cần cố gắng nắm vững ít nhiều các cách tiếp cận, kỹ thuật và phương pháp suy luận toán học tổng quát. Hãy xem xét một cách tiếp cận rất chung mà chúng ta gọi là quy tắc cuối cùng.

Quy luật cực đoan có thể được diễn đạt ngắn gọn bằng câu “Hãy xem xét sự cực đoan!” Quy tắc này là một khuyến nghị đơn giản để xem xét một vật thể có một số tính chất cực trị, hoặc, như các nhà toán học nói, có tính chất cực trị. Nếu chúng ta đang nói về bài toán về một tập hợp các điểm trên một đường thẳng, thì quy tắc “Hãy xét điểm cực trị!” khuyên chúng ta nên tập trung sự chú ý vào điểm xa nhất của tập hợp (ngoài cùng bên trái hoặc ngoài cùng bên phải). Nếu bài toán chứa một tập hợp số nhất định thì quy tắc cực trị khuyên bạn nên xem xét nhiều nhất hoặc hầu hết các số này. Dưới đây là một số ví dụ.

Bài 1. Cho một tập hợp điểm M nhất định trên mặt phẳng sao cho mỗi điểm thuộc M là trung điểm của đoạn thẳng nối các cặp điểm bất kỳ trong cùng một tập hợp M. Chứng minh rằng tập hợp M chứa vô số tập điểm.

Điều thường xảy ra là các chìa khóa của lời giải bài toán được tìm thấy bằng cách giải bài toán đơn giản hơn, tương tự. Do đó, trước khi giải bài toán này, chúng ta hãy thử giải bài toán tiếp theo.

Bài 2. Cho một tập điểm M nằm trên một đường thẳng sao cho mỗi điểm thuộc M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm khác từ M. Chứng minh tập M là vô hạn.

Giả sử tập M là hữu hạn. Hãy áp dụng quy tắc cuối cùng:

Bài viết này được xuất bản lần đầu vào «Kvant» số 8, 1976. (Ghi chú của biên tập viên)

nếu tập M là hữu hạn thì trong số các điểm của nó có các điểm cực trị - ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải. Hãy xem xét một trong số chúng, ví dụ như cái ngoài cùng bên trái; chúng ta hãy ký hiệu nó bằng chữ A. Điểm A là điểm cực trị nên không thể nằm trong đoạn nối hai điểm khác của tập M; điều này có nghĩa là nó không thuộc M. Điều mâu thuẫn thu được chứng tỏ tập M không thể hữu hạn.

Hãy để chúng tôi trình bày một lời giải khác trong số bài toán này bằng cách sử dụng quy tắc cực đoan. Chúng ta lại giả sử rằng tập M là hữu hạn và xét độ dài của các đoạn nối các điểm trong M. Tập số này là hữu hạn. Hãy áp dụng quy tắc của chúng tôi cho nó ở dạng “Hãy cân nhắc nhiều nhất!” - Xét đoạn BC dài nhất. Rõ ràng là không có điểm nào từ M nằm ngoài đoạn BC, nếu không sẽ có những đoạn có độ dài lớn. Như vậy, mọi điểm của tập M đều nằm trên đoạn BC nên cả B và C đều không thỏa mãn điều kiện, tức là chúng không thuộc tập M. A mâu thuẫn.

Bây giờ chúng ta quay lại bài toán 1. Giả sử rằng tập M là hữu hạn. Hãy áp dụng quy tắc cuối cùng một lần nữa. Để làm điều này, chúng ta cố định vị trí của mặt phẳng và xem xét điểm ngoài cùng bên trái của tập hợp M, và nếu có một số điểm “ngoài cùng bên trái” thì chúng ta lấy điểm thấp nhất trong số đó. Dễ dàng thấy rằng điểm này, chúng ta ký hiệu bằng A, không thể nằm bên trong đoạn nối hai điểm của tập M. Thật vậy, nếu một đoạn như vậy tồn tại thì một trong các đầu của nó sẽ nằm ở bên trái điểm A, hoặc trên cùng một đường thẳng đứng với A, nhưng ở phía dưới nó. Cả cái này lẫn cái kia đều không thể tồn tại do việc chọn điểm A.

Ở đây, như trong bài toán 2, cũng tồn tại lời giải, dựa trên việc xem xét khoảng cách theo cặp giữa các điểm của tập M. Nếu tập M là hữu hạn thì có một số hữu hạn các khoảng cách theo cặp và trong số đó

trong số đó, được hướng dẫn bởi quy tắc cực đoan, bạn có thể tìm thấy nhiều nhất.

Giả sử đây là sự xem xét giữa các điểm A và B. Nhưng điểm B là trung điểm của một đoạn CD nhất định, các đầu của CD đó, theo điều kiện, thuộc tập M (hình 1). Khi đó dễ dàng chứng minh rằng AD hoặc AC lớn hơn AB (bạn tự làm nhé, lợi dụng trung tuyến m vẽ về một cạnh của tam giác nhỏ hơn một nửa tổng của hai cạnh còn lại).

Bài toán 3. Các số tự nhiên được viết trên các trường của một bàn cờ vô hạn sao cho mỗi số bằng trung bình cộng của tổng số học của các số lân cận - trên, dưới, phải và trái. Chứng minh rằng tất cả các số trên bảng đều bằng nhau.

Quy luật cực đoan ở dạng “Xem xét tên!” sẽ giúp chúng tôi giải quyết điều này bài toán. Trong số các số tự nhiên được viết trên các ô bàn cờ, chắc chắn sẽ tồn tại một cái tên. Điều này không khó để xác minh. Gọi k là một trong các số đã cho. Nếu trong số các số viết trên bảng có một đơn vị thì đó là số nhỏ nhất (không có số tự nhiên nào nhỏ hơn số một). Nếu không có ai trên bảng, hãy xem liệu có hai người ở đó không. Nếu có thì đó là số nhỏ nhất, còn nếu không thì ta đặt một cây lên bảng, v.v. Không quá k bước ta sẽ tìm được tên số m.

Hãy xem xét trường P mà nó được viết trên đó. Chúng ta hãy biểu thị các số được viết trong các trường liền kề bằng các chữ cái a, b, c và d. Theo điều kiện m=(a+b+c+d)/4. Do đó a+b+c+d=4m. Do chọn số m nên ta có a ≥ m, b ≥ m, c ≥ m, d ≥ m. Nếu ít nhất một trong các bất đẳng thức này được xây dựng thì chúng ta có a+b+c+d>4m, mâu thuẫn với các điều kiện. Vậy a=b=c=d=m.

Do đó, nếu số m được viết trên một trường nhất định thì số m được viết trên các trường lân cận. Do đó trên đường ngang chứa trường P chỉ ghi số m. Nhưng bất kỳ chiều dọc nào cũng cắt chiều ngang này, tức là nó chứa số m, và do đó, tất cả các số trên các chiều dọc đều bằng m. Do đó, nói chung tất cả các số trên bảng đều bằng m.

Bài toán 4. Trên một bàn cờ hình vuông có kích thước n×n, các quân xe được đặt theo điều kiện sau: nếu một ô nào đó tự do thì tổng số quân xe đứng trên cùng một đường ngang với trường này và trên cùng một hàng dọc với nó không nhỏ hơn n. Chứng minh rằng trên bàn cờ có ít nhất $\frac{n^2}{2}$ quân xe.

bài toán này thật khó khăn. Tuy nhiên, khả năng áp dụng các quy tắc cực đoan có thể tồn tại ở Nhật Bản lời giải. Cụ thể, đúng khi gọi ý tưởng là tạo khoảng cách với bảng tuyến tính - dọc và ngang - trên đó có ít quân hơn. Có thể xảy ra trường hợp có một số dòng như vậy, “được tải như nhau” với các quân xe. Sau đó chọn bất kỳ trong số họ. Đặt đường này nằm ngang (nếu không, xoay bảng 90° và các đường thẳng đứng sẽ trở thành nằm ngang). Chúng ta biểu thị số lượng xe ở cấp này bằng k. Nếu k ≥ $\frac{n}{2}$ , thì ở mỗi hàng trong số n hàng có ít nhất $\frac{n}{2}$ quân và tổng cộng có ít nhất $\frac{n^2}{2}$ quân trên bàn cờ.

Bây giờ hãy k< $\frac{n}{2}$ . Có n-k trường tự do trên đường ngang đang xét và mỗi trường dọc đi qua một trường tự do như vậy

một đường tròn đi qua các điểm A, B, C. Đó là đường tròn mong muốn vì mọi đường tròn vẽ qua các điểm A, B và một số điểm C’ của “liềm” (hình 2) đều nhỏ hơn đường tròn đi qua các điểm A, B, C (bạn hãy chứng minh điều này).

Bài toán 7. Có n đường thẳng (n ≥3) trên mặt phẳng. Không có hai cái nào song song, Không có ba cái nào cắt nhau tại một điểm. Những đường thẳng này cắt mặt phẳng thành nhiều phần. Chứng minh rằng dù chọn đường thẳng nào trong n đường thẳng thì ít nhất một phần của mặt phẳng kề với nó là tam giác.

Đặt $l_1$ là một trong những điểm dữ liệu. Được hướng dẫn theo quy tắc cực trị, từ tất cả các điểm giao nhau của các đường còn lại, chúng ta chọn điểm có khoảng cách ngắn nhất so với đường $l_1$ . Giả sử các đường thẳng $l_2$ và $l_3$ cắt nhau tại điểm này, chúng ta ký hiệu nó bằng chữ P. Không khó để chứng minh (bạn tự làm) rằng tam giác tạo thành bởi các đường thẳng $l_1$ , $l_2$ và $l_3$ là một phần của mặt phẳng và do đó thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài toán 8. Chứng minh không tồn tại bộ tứ số tự nhiên x, y, z, u thỏa mãn các số $x^2+y^2=3(z^2+u^2)$ .

Chúng ta hãy giả sử rằng có những số bốn như vậy tồn tại. Hãy xem xét giá trị mà giá trị $x^2+y^2$ là tối thiểu (nếu có một số bộ bốn mà giá trị này bằng nhau và tối thiểu, hãy xem xét một trong số chúng, bất kỳ giá trị nào). Gọi là 4 a, b, c, d. Từ phương trình $a^2+b^2=3(c^2+d^2)$ rõ ràng rằng $a^2+b^2$ là bội số của trem. Nhưng thật dễ dàng để chứng minh rằng $a^2+b^2$ chia hết cho ba khi và chỉ khi cả a và b đều chia hết cho 3, vì bình phương của một số không chia cho 3 sẽ dư 1 khi chia cho 3.

Do đó, $a=3m$ , $b=3n$ , từ đâu
$a^2+b^2=9m^2+9n^2=3(c^2+d^2).$
Giảm đẳng thức cuối cùng đi 3, chúng ta nhận được:
$c^2+d^2=3(m^2+n^2).$
Ta tìm được bộ tứ số c, d, m, n thỏa mãn số của phương trình đã cho
khỏa thân, và cho bộ tứ này
$c^2+d^2<a^2+b^2,$
và điều này là không thể do phải chọn bốn a, b, c, d.

Bài toán 9. Trên mặt phẳng có n đường thẳng (n ≥3). Hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau và có ít nhất ba đường thẳng đã cho đi qua mỗi giao điểm. Chứng minh rằng mọi đường thẳng cắt nhau tại một điểm.

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng. Hãy nói rằng cô ấy không phải là người duy nhất. Khi đó, có một đường thẳng l của hệ đã cho không đi qua M. Tập hợp các điểm giao nhau của các đường không nằm trên l không trống - ví dụ, nó chứa điểm M. Hãy xem xét điểm của tập hợp này gần với l (và nếu có một số điểm nằm ở khoảng cách tối thiểu với l, thì hãy chọn một trong số chúng, bất kỳ điểm nào) và nhận được mâu thuẫn.

Đây là một cái tương tự khác bài toán.

Bài toán 10. Có n điểm (n ≥3) cho trên mặt phẳng. Biết rằng trên một đường thẳng bất kỳ đi qua 2 điểm đã cho luôn có ít nhất một điểm như vậy. Chứng minh rằng khi đó tất cả n điểm đều nằm trên một đường thẳng.

Sự phát triển của quy tắc cực đoan là “quy tắc sắp xếp”, nghe giống như thế này: “Sự sắp xếp các phần tử của tập hợp đang được nghiên cứu theo một thứ tự nào đó: quay trở lại, giảm dần hoặc một số thứ tự khác!”

Bài toán 11. Bảy người hái nấm cùng nhau hái được 100 cây nấm, không có hai người hái được số nấm giống nhau. Chứng minh rằng có những người hái nấm cùng nhau hái được ít nhất 50 cây nấm.

Hãy tạo một “bảng giao nhau”, đặt những người hái nấm vào đó theo thứ tự giảm dần về số lượng nấm thu được. Rõ ràng cần phải xem xét những người hái nấm chiếm 3 vị trí đầu tiên - họ đã thu thập được nhiều nấm hơn bất kỳ 3 vị trí nào còn lại. Hãy thử chứng minh rằng họ đã thu thập được ít nhất 50 cây nấm. Nếu người hái nấm đứng thứ 3 thu được 16 cây nấm

vị trí và tốc độ của vật thể tại một thời điểm nào đó cũng như bản chất chuyển động của nó được biết đến; cần phải xác định vị trí và vận tốc của vật này vào một thời điểm khác. Đây là cụm từ quan trọng! Nó “mã hóa” gần như mọi thứ trong phim điện ảnh, nhưng cũng ẩn chứa nhiều “cạm bẫy”.

Hãy bắt đầu với những từ: “vị trí và tốc độ của vật thể tại một thời điểm nào đó đã được biết”. Những từ này trước hết có nghĩa là nội dung báo cáo và hệ tọa độ được chọn và thứ hai là điểm bắt đầu của báo cáo thời gian được chọn. Nói cách khác, hệ thống báo cáo được lựa chọn. Và đây là yếu tố quan trọng nhất trong việc mô tả bất kỳ tình huống vật lý nào. Rốt cuộc, để xem một bộ phim chẳng hạn, bạn cần một màn hình để diễn ra tất cả các sự kiện của bộ phim. Tương tự như vậy, hệ thống báo cáo là một loại màn hình cho các sự kiện vật lý.

Hãy tiếp tục. Chúng ta đã sử dụng từ “tính chất chuyển động” nhiều lần. Như bạn đã biết, vị trí của vật thể tại bất kỳ thời điểm nào $t$ được cho bởi tọa độ của nó $x, y, z$ , và sự thay đổi tọa độ là vectơ dịch chuyển của vật thể $\vec{s}$ . Cụm từ “đã biết bản chất của chuyển động” có nghĩa là dạng của hàm $\vec{s}(t)$ hoặc, tương tự, dạng của hàm $x(t), y(t)$ và $z(t)$ đã được biết.

Có rất nhiều loại chuyển động trong tự nhiên. Các chuyển động đơn giản được mô tả bằng các hàm đơn giản: chuyển động thẳng đều - bằng hàm tuyến tính $x=x_0+vt$ , hoặc $\vec{s}(t)=\vec{v}t$ ; cân bằng tuyến tính - bằng hàm bình phương $x=x_0+v_0t+at^2/2$ , hoặc $\vec{s}(t)=\vec{v}_0t+\vec{a}t^2/2$ ; dao động - hàm điều hòa của sin (hoặc cosin) $x=x_m\sin \omega t$ , v.v. Và hãy thử theo dõi một số điểm trên vành của một bánh xe lăn hoặc một người thôi miên nhảy từ xà ngang, và bạn sẽ thấy rằng các hàm phức tạp hơn nhiều được sử dụng để mô tả những chuyển động như vậy. Nhưng về nguyên tắc, điều này luôn có thể được thực hiện và điều rất quan trọng là phương pháp lời giải của điện ảnh cơ bản bài toán là phổ quát và không phụ thuộc vào loại chuyển động.

Cuối cùng, cụm từ cuối cùng trong công thức bài toán: “để xác định vị trí và tốc độ của vật thể tại một thời điểm nào đó.” Vấn đề chính ở đây là thời điểm cuối cùng này thường không được xác định rõ ràng. Rất hiếm khi người ta nói trực tiếp về thời điểm chính xác mà bạn cần để tìm vị trí và vận tốc của vật. Trong hầu hết các trường hợp, thời điểm này được xác định bởi một số điều kiện bổ sung. (Vì vậy, ví dụ, trong trường hợp Guidon chiến đấu đơn lẻ với con diều, thời điểm cuối cùng của thời gian được xác định bằng sự “gặp” của mũi tên với con diều.) Sử dụng điều kiện này, bạn cần tìm thời điểm mà nó được đáp ứng, sau đó thay thời gian này vào các biểu thức về độ dịch chuyển (tọa độ) và tốc độ của cơ thể.

Sau khi “giải mã” nội dung của tác phẩm điện ảnh chính bài toán theo cách này, chúng tôi thực sự đã tóm tắt thuật toán của nó lời giải:

Chọn hệ thống báo cáo (hình luôn được ưu tiên).
Xác định tính chất của chuyển động.
Viết độ dời và tốc độ (trong hình chiếu lên các trục tọa độ tương ứng) dưới dạng hàm của thời gian; Nếu có nhiều vật chuyển động trong nhiệm vụ thì phương trình chuyển động phải được viết riêng cho từng vật.
Sử dụng thông tin bổ sung, xác định thời điểm cuối cùng. Thay thời gian này vào phương trình cho số lượng mà chúng ta quan tâm - và bài toán lời giải.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại Pushkin. Hãy để Guidon đếm một chút trước khi thả mũi tên (đồng thời chúng ta hãy làm tương tự).

Thông tin ban đầu mà Guidon có như sau: con diều ở ngay phía trên công chúa ở độ cao $H$ (hãy nhớ - “con thiên nga đang đánh nhau, con diều đang lao qua cô ấy”) và lao thẳng vào cô ấy bằng một hòn đá. Giả sử rằng tốc độ ban đầu của con diều bằng 0, Guidon đang ở trên một rạp chiếu phim, điều này phụ thuộc vào kiểu chuyển động.