Bài toán LI Olympic Toán học Thành phố Moscow

72

Nhiệm vụ LI của Olympic Toán thành phố Moscow

Ngày 28/2/1988, vòng chung kết Olympic Toán học thành phố LI Moscow diễn ra tại Đại học quốc gia Moscow. 654 học sinh từ lớp 7–10 đã tham gia. Dưới đây là một nhiệm vụ thuộc loại này (4 giờ được phân bổ cho họ lời giải).

lớp 7

1. Chứng minh rằng với số nguyên tố $p > 7$ thì số $p^4 - 1$ chia hết cho 240.
2. Tại trung điểm của các cạnh $AB$ và $B'C'$ của khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$ lấy điểm $M$ và $P$. Vẽ trên mặt $BCC'B'$ tất cả các điểm có khoảng cách ngắn nhất dọc theo bề mặt của khối lập phương đến các điểm $M$ và $P$ đều bằng nhau.
3. Dùng thước cặp và thước kẻ vẽ một đường thẳng song song với điểm này qua điểm này. Thước cặp là một dụng cụ tương tự như la bàn nhưng có hai kim ở hai đầu. Nó cho phép bạn chuyển các khoảng cách bằng nhau, nhưng không cho phép bạn vẽ (cào) vòng tròn, cung tròn và tạo serif.
4. 20 chiếc điện thoại được nối bằng dây sao cho mỗi dây nối hai điện thoại, mỗi cặp điện thoại được nối không quá một dây và mỗi điện thoại không quá hai dây. Bạn cần sơn các dây (mỗi dây hoàn toàn có màu đỏ) để không quá hai dây đến từ mỗi điện thoại. Số lượng màu nhỏ nhất đủ để tạo bóng như vậy là bao nhiêu?
   lớp 8
5. Trên chuỗi bốn số 1, 9, 8, 8, chúng ta thực hiện thao tác sau: giữa mỗi số hai số liền kề trong tổng số, sẽ có được bằng cách trừ số bên trái với số bên phải. Chúng ta sẽ thực hiện thao tác tương tự trên một dòng mới, v.v. Tìm tổng các số trong dòng sẽ thu được sau một trăm thao tác như vậy.
6. Có một thước đo không có vạch chia và một công cụ đặc biệt cho phép bạn đo khoảng cách giữa hai điểm tùy ý và vẽ khoảng cách này trên bất kỳ đường nào đã được vẽ từ một điểm tùy ý trên đường này. Làm thế nào bạn có thể sử dụng những công cụ này và một cây bút chì để chia đoạn này thành hai nửa?
7. Chứng minh rằng không có bốn số tự nhiên $x, y, z$, $t$ nào thỏa mãn đẳng thức $3x^4 + 5y^4 + 7z^4 = 11t^4$.
8. Bạn được tặng bốn đồng xu, một số trong đó có thể là tiền giả. Được biết, đồng xu thật nặng 10 g và đồng xu giả - 9 g. Tất cả đều có một chiếc cốc hiển thị tổng trọng lượng của các đồng xu được đặt trên chiếc cốc này. Tìm số lượng cân nhỏ nhất cần thực hiện để chắc chắn rằng đồng xu nào là giả và đồng xu nào là thật.

lớp 9

1. Một tứ giác lồi được chia theo các đường chéo thành các hình tam giác chẵn, diện tích của chúng được biểu thị bằng số nguyên. Chứng minh rằng tích của các số này không thể xuất hiện và tạo thành serif được.
2. Chứng minh rằng với các số nguyên tố $p \geq 5$, $i = 1, 2, \dots, 24$ thì số $p_1^2 + p_2^2 + \dots + p_{24}^2$ chia hết cho 24.
3. Có hai đường thẳng vuông góc ở đáy mặt phẳng. Dùng thước cặp chỉ ra ba điểm trên mặt phẳng là các đỉnh của một tam giác đều. Thước cặp là một dụng cụ tương tự như la bàn nhưng có hai kim ở hai đầu. Nó cho phép bạn chuyển các khoảng cách bằng nhau, nhưng không cho phép bạn vẽ (cào) vòng tròn, cung tròn và tạo serif.
4. Cho $x$ và $y$ là các số tự nhiên. Khoảng cách chức năng
   $$f(x, y) = \frac{(x+y-1)(x+y-2)}{2} + y.$$
   Chứng minh rằng tập hợp các giá trị $f(x, y)$ đều là các số tự nhiên và với mọi số tự nhiên $i = f(x, y)$ thì các số $x$ và $y$ được xác định duy nhất.
5. 20 chiếc điện thoại được nối bằng dây sao cho mỗi dây nối hai điện thoại, mỗi cặp điện thoại được nối không quá một dây và mỗi điện thoại không quá ba dây. Bạn cần sơn các dây (mỗi dây hoàn toàn có màu đỏ) để không quá ba dây đến từ mỗi điện thoại. Số lượng màu nhỏ nhất đủ để tạo bóng như vậy là bao nhiêu?
   lớp 10
6. Máy tính thực hiện đường dẫn thao tác: cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc hai. Tìm một công thức có thể dùng để xác định số nhỏ nhất trong hai số tùy ý $a$ và $b$ bằng máy tính này.
7. Có một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị của hàm $y = 2^x$ đối xứng không?
8. Có thể cắt bất kỳ hình bình hành nào bằng một mặt phẳng sao cho mặt cắt đó tạo ra đồ thị thẳng của hàm số không?
9. Có một thước kẻ không có vạch chia và độ dài tiêu chuẩn cho phép bạn vẽ một khoảng cách cố định nhất định trên bất kỳ đường nào đã được vẽ từ một điểm tùy ý trên đường này. Làm thế nào bạn có thể vẽ đường vuông góc với một đường thẳng nhất định bằng các công cụ này và bút chì?