Sự va chạm của cơ thể

30

ĐAM MÊ CƠ THỂ

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. KOZLOV

Giới thiệu

Một số lý thuyết vật lý được xây dựng dựa trên mô hình được áp dụng trong toán học - từ một số ít các phát biểu vật lý đóng vai trò tương tự như các tiên đề trong lý thuyết toán học, các hệ quả logic khác nhau được suy ra một cách chặt chẽ. Bài viết này được dành cho một lý thuyết như vậy - lý thuyết về sự va chạm của các vật thể. Hiện tượng va chạm được mô tả rõ ràng bằng một mô hình toán học đơn giản. Do đó, bất di bất dịch, các định luật về tác động đã được thiết lập trước khi người ta khám phá ra các nguyên lý cơ bản của động lực học.

Galileo cũng thực hiện một loạt thí nghiệm để làm rõ định luật va chạm của các vật thể. Tuy nhiên, những thí nghiệm này không đưa ông đến những kết luận chắc chắn. Một người cùng thời với Galileo, giáo sư Marzi của Pryazhsky, trong tác phẩm “De Propore Motus” (1639), đã công bố một số kết quả nghiên cứu của ông về hiện tượng va chạm. Đặc biệt, anh ta biết rằng một cơ thể, sau khi va chạm một cách đàn hồi với một cơ thể giống hệt đang đứng yên, sẽ mất tốc độ và truyền vận tốc cho cơ thể này. Nghiên cứu chi tiết đầu tiên về các định luật tác động được thực hiện vào năm 1668 theo gợi ý của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn. Cùng với các nhà cơ học và toán học xuất sắc Wallis, Rehn và Heugens đã trình bày các công trình của họ trong đó họ vạch ra các định luật chuyển động của các vật thể va chạm.

John Wallis đã giới hạn bản thân mình mà không giải thích chi tiết về điều này trong việc xem xét một tác động hoàn toàn không co giãn. Ông bắt đầu từ các giả thuyết về sự bảo toàn tổng động lượng của các vật va chạm.

31

Christopher Wren nêu ra các quy tắc tính toán tác động đàn hồi. Wren, giống như Wallis, không đưa ra bất kỳ cân nhắc lý thuyết nào, nhưng để kiểm tra các quy tắc của mình, ông đã thực hiện một loạt thí nghiệm đơn giản và thuyết phục. Newton đã đề cập đến những thí nghiệm này trong “Các nguyên lý toán học của vật lý tự nhiên” nổi tiếng của ông (1687). Bài viết cạnh tranh của Christin Huygen là nghiên cứu đầy đủ nhất về lý thuyết tác động. Nó vạch ra nguồn gốc của sự tương ứng với lý thuyết va chạm, dựa trên nguyên lý tương đối của Galileo. Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn chỉ xuất bản các cuốn hồi ký của Wallis và Wren. Huygens xuất bản cuốn hồi ký của mình vào năm 1669 trên Tạp chí Khoa học Paris.

Bảo toàn động lượng

Chúng ta hãy xem xét một loạt cơ học bài toán liên quan đến nghiên cứu sự va chạm của hai vật có khối lượng $m_1$ và $m_2$, chuyển động theo đường thẳng mà không chịu tác dụng của bất kỳ lực nào. Gọi $v_1$ và $v_2$ là vận tốc của các vật này trước khi va chạm (hình 1). Chúng ta sẽ xem xét tốc độ của một đại lượng đại số: nếu một vật chuyển động sang phải thì tốc độ của nó là dương, và nếu nó di chuyển sang trái thì tốc độ của nó là âm. Tại thời điểm va chạm chỉ có nội lực tác dụng lên cơ thể; do đó tổng động lượng $m_1v_1+m_2v_2$ của chúng được bảo toàn. Gọi $v'_1$ và $v'_2$ là vận tốc của các vật sau va chạm. Từ sự bảo toàn động lượng tổng chúng ta thu được hệ thức

$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2.$$ (1)

Tất nhiên chỉ từ phương trình này thì không thể tìm được $v'_1$ và $v'_2$. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên: va chạm là khác nhau. Có đàn hồi và không đàn hồi. Ví dụ, trong một va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau và sau đó chuyển động như một tổng thể. Trong trường hợp này $v'_1=v'_2=v$ và từ công thức (1) ta tìm được vận tốc của các vật va chạm sau va chạm:

$$v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}.$$ (2)

Nhiệm vụ 1. Đặt $v_1 \leq v_2$. Chứng minh rằng $v_1 \leq v \leq v_2$.

Thay đổi động năng

Ngoài động lượng, động năng đóng một vai trò quan trọng trong cơ học, bằng $mv^2/2$, trong đó $m$ là khối lượng của vật, $v$ là tốc độ của nó. Chúng ta xét một va chạm tuyệt đối không đàn hồi của hai vật. Trong trường hợp này

$$\Delta T=(\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2})-\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$$

gọi là động năng bị mất đi.

Tuyên bố sau đây được gọi là định lý đầu tiên của Carnot:

Động năng bị mất bằng năng lượng của một điểm có khối lượng $\mu=$

$$\frac{1}{1/m_1+1/m_2},$$

chuyển động với vận tốc bằng hiệu vận tốc của điểm trước va chạm:

$$\Delta T=\frac{\mu(v_1-v_2)^2}{2}.$$

Nhiệm vụ 2. Chứng minh định lý Carnot thứ nhất.

Khối lượng $\mu$ trong cơ học được gọi là khối lượng rút gọn của hệ. Nó bằng một nửa trung bình điều hòa của các số $m_1$ và $m_2$.

Nhiệm vụ 3. Chứng minh bất đẳng thức

$$\mu \leq \frac{m_1+m_2}{4}, \mu \leq \frac{1}{2}\sqrt{m_1m_2}.$$

Chúng ta hãy giới thiệu các vận tốc bị mất: $u_1=v-v_1$, $u_2=v-v_2$, nhờ đó định lý Carnot thứ hai được xây dựng:

Động năng bị mất bằng tổng động năng của các vật có khối lượng $m_1$ và $m_2$, chuyển động với vận tốc bị mất $u_1$ và $u_2$:

$$\Delta T=\frac{m_1u_1^2}{2}+\frac{m_2u_2^2}{2}.$$

Nhiệm vụ 4. Chứng minh định lý thứ hai của Carnot.

Bây giờ chúng ta xét trường hợp ngược lại: một tác động hoàn toàn không đàn hồi. Theo định nghĩa, trong trường hợp này, ngoài xung lực tổng cộng, sự bảo toàn

Hình 1.

32

Ngoài ra còn có tổng động năng:

$$m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1(v_1')^2 + m_2(v_2')^2.$$

Bài toán 5. Chứng minh rằng trong trường hợp va chạm đàn hồi tuyệt đối thì vận tốc tương đối của các vật trước và sau va chạm có độ lớn bằng nhau và ngược chiều:

$$v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2').$$

Bài toán 6. Chứng minh đẳng thức:

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2,$$

$$v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2.$$

Trong trường hợp đặc biệt khi $m_1 = m_2$, các công thức này có dạng đơn giản nhất:

$$v_1' = v_2, v_2' = v_1.$$

Do đó, tại thời điểm va chạm hoàn toàn đàn hồi sẽ xảy ra sự trao đổi tốc độ. Như đã đề cập, hiệu ứng này lần đầu tiên được mô tả bởi Marzi.

Thật thuận tiện khi mô tả tác động đàn hồi tuyệt đối của các vật thể có khối lượng bằng nhau lên đồ thị chuyển động của các vật thể, tức là trên đồ thị tọa độ theo thời gian (hình 2). Giải thích đồ họa này được sử dụng trong bài toán tiếp theo.

Bài toán 7. Một số quả bóng giống hệt nhau chuyển động theo đường thẳng với tốc độ không đổi (không nhất thiết phải bằng nhau). Giả sử va chạm giữa chúng là đàn hồi tuyệt đối và chỉ có hai quả bóng tham gia vào mỗi va chạm. Chứng minh rằng tổng số va chạm là hữu hạn.

Chúng ta hãy xem xét một trường hợp đặc biệt khác, khi khối lượng $m_1$ nhỏ hơn nhiều so với khối lượng $m_2$. Sau đó

$$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1/m_2 - 1}{m_1/m_2 + 1} \approx -1,$$

$$\frac{2m_1}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1/m_2}{m_1/m_2 + 1} \approx 0,$$

$$\frac{2m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2}{m_1/m_2 + 1} \approx 2,$$

33

vì tỉ số khối lượng $m_1/m_2$ gần bằng 0. Xét đến những nhận xét này, công thức (4) sẽ có dạng sau:

$$v_1' = -v_1 + 2v_2 = v_2 - (v_1 - v_2),$$
$$v_2' = v_2.$$

Do đó, vật thứ hai sẽ không thay đổi tốc độ và vật thứ nhất sẽ chuyển động sau vật thứ hai, tụt lại phía sau với tốc độ bằng tốc độ tương đối của chúng trước khi va chạm.

Tuy nhiên, trên thực tế, thường có trường hợp tại thời điểm va chạm các vật không dính vào nhau nhưng tổng năng lượng của chúng không được bảo toàn. Trong tình huống này, giả thuyết Newton thường được chấp nhận, thay thế sự tương ứng (3) bằng hệ thức sau:

$$e(v_1 - v_2) = -(v_1' - v_2').$$

Ở đây $e$ là một hệ số không thứ nguyên nhất định, nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và được xác định bởi hệ số tổng quát từ thí nghiệm. Số $e$ được gọi là hệ số thu hồi. Tại $e=0$ thu được tác động hoàn toàn không đàn hồi và ở $e=1$ tác động sẽ hoàn toàn đàn hồi.

Đặt $u_1$ và $u_2$ một lần nữa biểu thị vận tốc bị mất.

Lượng năng lượng bị mất trong trường hợp tổng quát được tính bằng định lý Carnot tổng quát:

$$\Delta T = \frac{1-e}{1+e} \left( \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2} \right).$$

Với $e=0$, phát biểu này được chúng ta gọi là định lý thứ hai của Carnot; tại $e=1$ không có sự mất năng lượng nào cả

34

đi ra - cú đánh hoàn toàn đàn hồi.
Bài toán 8. Chứng minh định lý Carnot tổng quát.

Bất biến Adinabatic

Để áp dụng đúng đắn công thức (5), hãy xem xét bài toán sau đây. Quả bóng di chuyển giữa hai bức tường, một trong số đó đứng yên và bức tường kia tiếp cận nó với tốc độ $V$ (hình 3; quả bóng bắt đầu chuyển động từ bức tường đứng yên). Tác động của quả bóng lên tường là hoàn toàn đàn hồi. Sau khi va chạm với một bức tường đứng yên, tốc độ của quả bóng không thay đổi và sau mỗi lần va chạm với một bức tường chuyển động, tốc độ của quả bóng (xem công thức (5)) tăng thêm $2V$. Do đó, năng lượng của quả bóng cũng tăng lên. Gọi $v_0$ là giá trị tốc độ của quả bóng tại thời điểm ban đầu (tức là thời điểm va chạm “bằng 0” lên một bức tường đứng yên), $l_0$ là khoảng cách giữa các bức tường tại thời điểm này. Tương tự, bằng $v_n$ và $l_n$, chúng ta biểu thị tốc độ của quả bóng và khoảng cách giữa các bức tường tại thời điểm $n$ tác động của quả bóng lên một bức tường đứng yên. Hãy đặt $I_n = v_n l_n$ ($n = 0, 1, 2, \dots$).

Bài 9. Chứng minh rằng $I_n = I_0$.

Hãy để chúng tôi điều kiện bài toán. Chúng ta hãy giới thiệu một hàm $I(t)$ bằng tích của vận tốc $v(t)$ của quả bóng và khoảng cách $l(t)$ giữa các bức tường tại một thời điểm tùy ý $t$. Gọi $t_0, t_1, \dots$ là thời điểm quả bóng chạm vào bức tường đứng yên. Theo tuyên bố bài toán 9, $I(t_n) = I_0$ cho tất cả $n \geqslant 0$. Tuy nhiên, với các giá trị khác của $t$, chúng ta nhận được $I(t) \neq I_0$.

Bài 10. Chứng minh bất đẳng thức

$$\left| \frac{I(t) - I_0}{I_0} \right| \leq \frac{V}{v_0 + V}.$$

Manh mối cho lời giải bài toán này là đồ thị của hàm $I(t)$ được hiển thị trong hình 4.

Do đó, nếu tốc độ của bức tường nhỏ hơn nhiều so với tốc độ của quả bóng ($V \ll v_0$), thì giá trị $I(t)$ sẽ khác rất ít so với giá trị đầu tiên $I_0$. Trong cơ học, các đại lượng còn được gọi là bất biến advabatic (trong nhiệt động lực học, quá trình advabatic là một quá trình xảy ra mà không giải phóng hoặc hấp thụ nhiệt).

Matnik đạn đạo

Là một ứng dụng khác của định luật va chạm, hãy xem xét bài toán về một tấm thảm đạn đạo, nhờ đó tốc độ chuyển động của các vật thể được thay đổi. Nó bao gồm một ống có khối lượng $M$, chứa đầy cát và treo trên một ống không trọng lượng có chiều dài $l$ (hình 5). Một viên đạn có khối lượng $m$, va vào ống, bị kẹt trong cát. Tốc độ đạn giảm rất nhanh - một tác động hoàn toàn không đàn hồi.

Bài 11. Biết góc lệch cực đại của ống $\varphi$, tìm vận tốc của viên đạn.

Matnik đạn đạo được thợ cơ khí người Anh Robins mô tả và mô tả trong cuốn sách “Những nguyên tắc mới của mũi tên đại bác” (1742).

Mục tiêu là tương đối và định luật bảo toàn động lượng

Chúng tôi đã giải quyết được một số bài toán cụ thể từ cơ chế va chạm của các vật thể. Bây giờ chúng ta có thể quay lại các mối quan hệ cơ bản của lý thuyết tác động và thảo luận về ý nghĩa cũng như nguồn gốc của chúng.

Trong temugar của Huygen “Về chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của va chạm”, định luật bảo toàn động lượng được rút ra từ nguyên lý tương đối với ma trận Galileo. Chúng ta sẽ tái hiện lại lập luận của Huygen cho trường hợp va chạm tuyệt đối không đàn hồi.

35

Hình 4.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về hệ thống báo cáo quán tính và công thức tính giá của không gian tương đối và thời gian. Giả sử rằng một hệ thống báo cáo đang chuyển động tương đối với nhau với tốc độ không đổi. Pricili, đối với Galileo, tuyên bố rằng tất cả các định luật cơ học (bao gồm cả các định luật về tác động) đều có dạng giống nhau trong cả hai hệ thống báo cáo. Nguyên tắc này là cơ học tương đối rất thú vị. Tính đặc thù của cơ học Newton được thể hiện ở chỗ các hệ thống được kết nối báo cáo chuyển động tương đối với nhau với tốc độ không đổi.

Mối liên hệ này được thể hiện bởi Galileo đã biến đổi. Giả sử rằng cùng một vật thể được quan sát trong cả hai hệ thống. Giả sử trong hệ thống báo cáo đầu tiên tọa độ của vật trên đường thẳng bằng $x$ và đồng hồ hiển thị thời gian $t$; trong hệ thống thứ hai, giá trị tọa độ và thời gian là $x'$ và $t'$. Nếu $v$ là tốc độ không đổi

Hình 5.

sự phát triển của sự chuyển động của hệ thống báo cáo thứ hai so với hệ thống đầu tiên, sau đó

$$x = x' + vt' + a, \quad t = \pm t' + b,$$

trong đó $a$ và $b$ là một số hằng số.

Chúng ta hãy chuyển sang dẫn xuất công thức (2) cho tác động không đàn hồi abscilton.

Lý luận của Geugen liên quan đến việc phân tích một số trường hợp.

a) Trước tiên chúng ta xét tình huống đơn giản nhất khi hai vật giống hệt nhau có khối lượng $m$, chuyển động hướng về nhau với vận tốc $v$ và $-v$, va chạm vào nhau. Do giả sử tính chất không đàn hồi của va chạm nên các vật dính vào nhau tạo thành một vật có khối lượng $2m$. Theo Symmetrine, thi thể này sẽ bị lục lọi sau cú va chạm.

b) Chúng ta xét một trường hợp phức tạp hơn khi hai khối lượng giống hệt nhau $m$ va chạm với nhau với vận tốc tùy ý $v_1$ và $v_2$ cho đến thời điểm va chạm. Chúng ta hãy chuyển sang hệ thống báo cáo quán tính mới $S'$, hệ thống này di chuyển so với hệ thống ban đầu $S$ với tốc độ không đổi $v = (v_1 + v_2)/2$. Trong hệ $S'$ hình ảnh chuyển động của vật sẽ như trong trường hợp a): các vật có cùng khối lượng va chạm với vận tốc bằng nhau $(v_1 - v_2)/2$ và $(v_2 - v_1)/2$. Theo nguyên lý tương đối và kết luận điểm a), sau khi va chạm một vật có khối lượng $2m$ sẽ đào sâu vào hệ $S'$. Do đó, so với hệ $S$, nó sẽ di chuyển với tốc độ $(v_1 + v_2)/2$. Vì vậy, công thức (2) được thiết lập trong trường hợp khi $m_1 = m_2$.

c) Giả sử bây giờ có ba vật giống nhau có khối lượng $m$ (hình 6). Tại thời điểm ban đầu, tất cả chúng sẽ đào bới xung quanh, cơ thể 1 và 2 chạm vào nhau. Giả sử vật thể 1 và vật thể 2 bị tách ra theo các hướng khác nhau (ví dụ: do một vụ nổ). Do tính đối xứng nên tốc độ của chúng sẽ có độ lớn bằng nhau. Vật thứ nhất sẽ liên tục chuyển động với tốc độ $-v$, vật thứ hai sẽ chuyển động sang phải với tốc độ $v$ và sẽ sớm va chạm với vật 3. Theo kết quả của điểm 6), vật “2+3” có khối lượng $2m$ sau khi va chạm sẽ chuyển động sang phải với tốc độ $v/2$. Nếu khoảng cách

36

giữa các vật thể có rất ít thì sự va chạm và chuyển động xoắn ốc của vật thể 2 và 3 xảy ra gần như ngay lập tức. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng ngay từ đầu vật thể 2 và 3 đã hợp thành một tổng thể và chúng ta đi đến kết luận sau: nếu tại thời điểm ban đầu hai vật có khối lượng $m$ và $2m$ tiếp xúc với nhau và sau đó bắt đầu bay xa nhau theo các hướng khác nhau, thì tốc độ của vật có khối lượng $2m$ sẽ bằng một nửa tốc độ của vật có khối lượng $m$.

d) Xét trường hợp hai vật có khối lượng $m$ và $2m$ đang chuyển động hướng về nhau với vận tốc lần lượt là $v$ và $-v/2$. Người ta nói rằng sau một va chạm không đàn hồi tuyệt đối, một vật có khối lượng $3m$ sẽ rơi ra (theo công thức (2)). Thật vậy, chúng ta có thể tưởng tượng một hệ thống báo cáo mới $S'$ trong đó đồng hồ chạy “ngược”. So với hệ $S'$, mọi vật sẽ chuyển động ngược chiều với cùng một vận tốc tuyệt đối nên ta chỉ cần sử dụng nguyên lý tương đối và kết quả của điểm c).

e) Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang trường hợp khi các vật có khối lượng $m$ và $2m$ chuyển động với vận tốc tùy ý $v_1$ và $v_2$. Như lý do ở điểm 6), chúng ta hãy chuyển sang hệ thống báo cáo mới $S'$, hệ thống này di chuyển tương ứng với $S$ với tốc độ $v_1 + 2v_2/3$. Chính ở tốc độ này mà khối tâm chung của chúng di chuyển (hãy xem thử!). Trong hệ thống $S'$, trọng tâm của cơ thể $m$ và $2m$ tích lũy, cơ thể $m$ tiếp cận nó với tốc độ

$$v_1' = \frac{v_1 + 2v_2}{3} - v_1 = -\frac{2}{3}(v_1 - v_2),$$

và cơ thể $2m$ - với tốc độ

$$v_2' = \frac{v_1 + 2v_2}{3} - v_2 = \frac{1}{3}(v_1 - v_2).$$

Chúng ta thấy rằng tốc độ tương đối $v_1'$ và $v_2'$ khác nhau về dấu và $|v_1'| = |2v_2'|$. Do đó, theo điểm d), sau va chạm, một vật có khối lượng $3m$ sẽ hút vào hệ $S'$, và so với hệ ban đầu $S$ thì nó sẽ chuyển động với vận tốc

$$v = \frac{mv_1 + 2mv_2}{3m} = \frac{v_1 + 2v_2}{3}.$$

Do đó, công thức (2) được thiết lập trong trường hợp $m_2 = 2m_1$.

Lập luận tương tự, chúng ta có thể chứng minh công thức (2) cho trường hợp tỉ số hữu tỉ của khối lượng $m_1$ và $m_2$. Sự biện minh của nó cho các mối quan hệ vô tỷ $m_1/m_2$ về bản chất đã có tính công thức và gắn liền với việc xây dựng khái niệm số thực. Tình huống ở đây cũng giống như việc rút ra công thức tính diện tích hình chữ nhật từ các cạnh $a$ và $b$: đối với $a$ và $b$ hình chữ nhật có thể được chia thành các hình vuông giống hệt nhau, và nếu $a$ và $b$ không đo được thì cần phải sử dụng phép tính gần đúng của các số hữu tỉ vô tỉ.

Từ quan điểm toán học, sự lừa dối của Goygenas có thể không được coi là hoàn toàn nghiêm ngặt. Nhưng chúng ta đã không cố gắng đưa ra một chứng minh chặt chẽ về công thức tác động không co dãn tuyệt đối. Chúng tôi có một mục tiêu: chứng tỏ rằng anden của Geugenas nhất thiết dẫn đến định luật bảo toàn động lượng. Chúng tôi nhấn mạnh rằng chúng tôi chỉ tiến hành từ nguyên lý tương đối tương đối của Galileo và không sử dụng các nguyên lý cơ bản của động lực học Newton (ví dụ, định luật bình đẳng giữa tác dụng và phản lực). Sự mổ xẻ của Geugenas cho thấy rằng định luật bảo toàn động lượng tuân theo tính đối xứng (hoặc bất biến) của các định luật cơ học về phép biến đổi tương đối của Galileo. Điều này phản ánh một thực tế chung: mọi tính đối xứng của các định luật cơ học đều dẫn đến định luật bảo toàn riêng của nó. Ví dụ, tính bất biến của chuyển động quay tương đối của không gian là định luật bảo toàn động lượng góc, và tính bất biến của độ dịch chuyển tương đối của trục thời gian là định luật bảo toàn năng lượng. Một định lý tổng quát liên quan đến tính đối xứng với các định luật bảo toàn đã được phát hiện bởi nhà toán học người Đức Emmy Noether (1882–1935).