Về đường cong phẳng

59

GIỚI THIỆU VỀ ĐƯỜNG CÂY

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. L. TAVACHNIKOV

Điểm tự giao nhau
tiếp tuyến kép và điểm
sự uốn cong

Ném một sợi dây dài lên bàn
vòng lặp và nó tạo thành một đường cong khép kín. Những đường cong như vậy là mục tiêu chính của chúng tôi
đề tài nghiên cứu.

Các điểm mà đường cong giao nhau được gọi là điểm tự giao nhau. Ví dụ, hình số tám có một điểm như vậy, nhưng hình tròn thì không có chúng. Tiếp tuyến kép là đường tiếp xúc với đường cong hai lần. Tiếp tuyến kép có hai loại: bên ngoài, nếu các đoạn đường cong nhỏ tại các điểm tiếp tuyến nằm trên một phía của tiếp tuyến và bên trong, nếu ở các phía khác nhau (hình 1). Toàn bộ đường cong không nhất thiết phải nằm ở một phía của tiếp tuyến kép bên ngoài - chỉ những phần nhỏ của nó mới có đặc tính này.

Chúng ta cũng sẽ quan tâm đến các điểm uốn của đường cong. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang di chuyển dọc theo một đường cong và rẽ sang trái, chẳng hạn như phần màu đỏ ở hình 2. Tại một số điểm, hướng rẽ có thể thay đổi - phần màu xanh lam. Điểm này nằm giữa phần màu xanh và phần màu đỏ, được gọi là điểm uốn. Nếu một đường cong không có điểm uốn thì nó luôn quay theo một hướng (hình 3).

Hãy đi vòng quanh đường cong, tô màu nó bằng hai màu, như trong hình 2, và quay lại điểm bắt đầu. Các vùng màu đỏ và xanh xen kẽ nhau nên số lượng của cả hai đều bằng nhau. Số điểm uốn bằng tổng số phần màu đỏ và màu xanh, tức là số chẵn. Ta đã chứng minh định lý đầu tiên về đường cong khép kín trong mặt phẳng:

số điểm uốn là số chẵn.

61

chúng tôi đi qua hai lần. Để tính toán phần đóng góp của các tiếp tuyến kép, chúng ta chia tổng số của chúng thành ba số hạng theo hình 7. Phần đóng góp của các tiếp tuyến kép trên mỗi vòng hóa ra bằng $2(p_1+2p_2)-2(q_1+2q_2)$. Sau khi truyền, số giao điểm của tia với đường cong không thay đổi nên
$$-r-2n+2p_1+4p_2-2q_1-4q_2=0.$$
Bây giờ chúng ta sẽ đi vòng quanh đường cong theo hướng ngược lại. Trong trường hợp này, các mũi tên trên hình 7 đặt hướng, tức là các số $p_2$ và $p_3$, $q_2$ và $q_3$ được đặt ở các vị trí. Chúng ta thu được phương trình
$$-r-2n+2p_1+4p_3-2q_1-4q_3=0.$$
Để chứng minh định lý, tất cả những gì còn lại là cộng hai đẳng thức thu được và chia kết quả cho 4.
Định lý này chứa các điều kiện cần thiết là các số $p, q, r$ và $n$ bằng số các tiếp tuyến kép ngoài và trong, các điểm uốn và các điểm kép của một đường cong phẳng. Đủ thì sao?
Giả sử đường cong không có điểm kép cũng như điểm uốn, tức là $r=n=0$. thì đường cong lồi và nó cũng không có tiếp tuyến kép. Tuy nhiên, đẳng thức $p=q+r/2+n$ không cấm các số dương bằng nhau $p$ và $q$. Điều này có nghĩa là các điều kiện của định lý không đủ.
Tuy nhiên, điều kiện này trở nên đủ khi đường cong có các điểm uốn:
nếu $r$ là số dương chẵn $p=q+r/2+n$ thì tồn tại một đường cong phẳng kín chứa dữ liệu $p, q, r, n$.
Trường hợp đường cong không có điểm uốn phức tạp hơn:
nếu $r=0$ thì số tiếp tuyến kép bên trong $q$ là chẵn và $q \leqslant (2n+1)(n-1)$;
nếu $q \leqslant n(n-1)$ và $p=q+n$ thì có một đường cong phẳng kín $c=r=0$ và dữ liệu $p, q, n$.
Việc chứng minh các định lý này nằm ngoài phạm vi của bài viết này. Bản thân các kết quả này khá “mới” - chúng được nhà toán học người Mỹ B. Halpern thu được khoảng 10 năm trước. Và định lý chính của điểm này là

62

Kazan của nhà toán học Đan Mạch F. Fabricius-Bjerre năm 1962.

Ở bên phải
3. Hãy nghĩ về một đường cong có $p=3$, $q=0$, $r=2$, $n=2$.
4. Cho một điểm không nằm trên đường cong phẳng. Chứng minh rằng số tiếp tuyến qua điểm này là số chẵn. Gợi ý: vẽ một đường thẳng đi qua điểm đó và xoay nó.
5. Cho hai đường cong phẳng. Gọi $p$ là số tiếp tuyến kép trong chung của chúng, $q$ số tiếp tuyến kép ngoài, $n$ số giao điểm của các đường cong. Chứng minh rằng $p=q+n$.

Số vòng quay đường cong
Hãy đi vòng quanh đường cong phẳng và quay trở lại điểm xuất phát. Trong quá trình truyền tải, vectơ tiếp tuyến bằng cách nào đó đã quay và cuối cùng trở về vị trí ban đầu. Điều này có nghĩa là vectơ tiếp tuyến đã thực hiện một số nguyên phép quay. Số (số nguyên không âm) này được gọi là số vòng quay của đường cong. Ví dụ: số của một vòng tròn là 1 và số của một vòng tròn là 8 bằng 0.

Đúng 6. Số góc quay của các đường cong trong bài tập 1 là bao nhiêu?

Khi đường cong thay đổi không liên tục thì số vòng quay không thay đổi. Quả thực, với một ít chuyển động, số vòng quay chỉ có thể thay đổi một chút. Nhưng số là số nguyên và số nguyên chỉ có thể thay đổi đột ngột. Do đó, với sự thay đổi không đều của đường cong, số vòng quay hoàn toàn không thay đổi. Thuộc tính này có thể được sử dụng khi tính số vòng quay. Ví dụ: một đường cong ở hình 8 có thể được “thổi phồng” thành một hình tròn, do đó số vòng quay của nó bằng số vòng quay của một hình tròn, tức là 1.

Định lý đã được chứng minh là một dấu hiệu khá cần thiết cho thấy một đường cong có thể bị biến dạng thành một đường cong khác: số vòng quay của chúng phải bằng nhau. Và ở đây một lần nữa câu hỏi về tính đủ lại được đặt ra: có đúng là nếu các số góc quay bằng nhau thì các đường cong có thể biến dạng vào nhau không? Đáp số câu hỏi này là khẳng định, nhưng chúng tôi sẽ không chứng minh điều đó.*)

*) Ví dụ, xem bài viết của S. V. Matveev “Làm thẳng các đường viền trên mặt phẳng” («Kvant», 1983, số 4).

63

Bài tập
7. Số lần quay của một đường cong không có hai điểm là bao nhiêu?
8. Chứng minh rằng nếu số góc quay của một đường cong bằng 0 thì đường cong đó có điểm uốn.

Có một phương pháp khác gần như tự động dẫn đến việc tính số vòng quay của đường cong. Hãy chọn một hướng trên đường cong và tạo một “điểm giao nhau” tại mỗi điểm kép, như thể hiện trong hình 9. Đường cong chia thành nhiều đường cong không giao nhau (hình 10). Hãy đếm số lượng các đường cong như vậy được định hướng theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ và tìm mô đun chênh lệch giữa hai số này. Đây là số vòng quay của đường cong ban đầu. Ví dụ: đối với đường cong ở hình 10, số vòng quay là 2—1=1.

Chúng tôi đã xác định số vòng quay và chỉ ra cách tính toán nó. Nó liên quan thế nào đến số điểm kép trên đường cong? Để trả lời câu hỏi này, hãy lưu ý rằng mỗi lần xử lý lại sẽ tăng số lượng đường cong lên hình không quá 1. Do đó, nếu đường cong ban đầu có n điểm kép thì cuối cùng sẽ không có nhiều hơn n+1 đường cong. Vì thế,

số vòng quay không vượt quá số mặt phẳng hai điểm của nó 1.
Bất đẳng thức này được nhà toán học nổi tiếng người Mỹ H. Whitney tìm ra.

Bài tập 9. Chứng minh định lý sau:
Số vòng quay của một đường cong có cùng độ chẵn lẻ với số điểm kép của nó trên mặt phẳng 1.

Mức độ của đường cong so với điểm
Một đường cong chia mặt phẳng thành nhiều phần. Hãy lấy điểm O ở một trong những phần này. Cho điểm A đi quanh đường cong; Chúng ta sẽ đi theo tia OA. Khi điểm A trở về vị trí ban đầu thì chùm tia OA sẽ quay được một số nguyên vòng. Số (số nguyên không âm) này được gọi là độ của đường cong so với điểm O. Nếu điểm O di chuyển dọc theo mặt phẳng mà không nằm trên đường cong thì độ không thay đổi. Nếu một điểm nhảy qua đường cong thì độ có thể thay đổi.

Áp dụng các cách sắp xếp lại từ đoạn trước cho phép bạn tính toán mức độ của đường cong so với điểm. Việc này được thực hiện tương tự như khi tính số vòng quay; - sau khi sắp xếp lại, đường cong chia thành nhiều đường cong không giao nhau, sau đó đếm số lượng đường cong chứa điểm O bên trong và được định hướng theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ. Mô đun chênh lệch giữa hai số này là bậc của đường cong. Trên hình 10 ở mỗi phần, trên đó có ghi giá trị độ lẻ (hình 12). Hãy để có một đường cong khác giao nhau với đường cong này. Đường cong thứ hai này hóa ra cũng được sơn bằng hai màu, với các vùng màu xanh và đỏ xen kẽ trên đó. Điều này có nghĩa là có số lượng bằng nhau của cả hai. Các điểm giao nhau của các đường cong ngăn cách các vùng nhiều màu nên chúng nằm trong một cột, có bao nhiêu vùng gộp lại với nhau. Kể từ đây,

số giao điểm của hai đường cong khép kín là số chẵn.

Định lý cuối cùng này đưa chúng ta trở lại phần đầu của bài viết, nơi chúng ta đã chứng minh rằng số điểm uốn là số chẵn. Đường cong câu chuyện của chúng ta đã khép lại và chúng ta phải chấm dứt nó.

Bài tập 11. Đánh số các giao điểm của đường cong một cách tùy ý. Chúng ta sẽ đi vòng quanh đường cong, viết ra số lượng điểm kép theo thứ tự chúng gặp trong quá trình truyền tải. Ví dụ: các đường cong tại hình 13 tương ứng với các chuỗi 123123 và 112233. Trong mỗi chuỗi con, mỗi số xuất hiện hai lần. Chứng minh rằng giữa hai số giống hệt nhau luôn tồn tại số số hạng chẵn trong dãy (định lý Gauss).

Gợi ý: hãy xây dựng lại và sử dụng định lý cuối cùng.