Hồ sơ của chúng tôi

89

Có đủ trang tạp chí và nhiều chủ đề phải hy sinh. Để giải quyết vấn đề này, các biên tập viên đã có biện pháp nâng số trang tạp chí trong mỗi số lên 80 trong năm mới. Nhiều sự chú ý sẽ được dành cho vấn đề thám hiểm không gian và thiên văn học. Phần “Nghệ thuật lập trình” sẽ tăng lên, trong đó sẽ tập trung chủ yếu vào vấn đề chung về lập trình (chính thức hóa bài toán, chuẩn bị cài đặt trên máy tính, v.v.). Kinh nghiệm cho thấy rằng những người có quyền truy cập vào một thiết bị điện toán có thể lập trình (từ máy tính vi mô đến máy tính cá nhân) sẽ nhanh chóng thành thạo lập trình kỹ thuật, tức là con đường từ thuật toán đến chương trình. Con đường từ công thức không chính thức bài toán đến thuật toán khó khăn hơn.

Chúng tôi hy vọng độc giả sẽ tích cực hơn nữa trong việc trả lời các câu hỏi trong bảng câu hỏi được công bố dưới đây. Đồng thời, chúng tôi cung cấp cho bạn một thử nghiệm nhỏ để kiểm tra. Lấy một đồng xu và tung nó 9 lần (chính xác là chín!), đồng thời viết ra những gì xuất hiện trên đầu - quốc huy hoặc con số. Nếu có huy hiệu ở trên cùng cả 9 lần thì hãy nhớ gửi cho chúng tôi một bảng câu hỏi (ít nhất là trả lời ngắn gọn tất cả các câu hỏi). Do đó, câu hỏi “không” của bảng câu hỏi sẽ như sau: bạn nhận được huy hiệu bao nhiêu lần trong 9 lần ném?

Lưu ý: Mỗi độc giả của tạp chí này có thể thực hiện chu kỳ 9 lần ném một lần.

A. N. Vilenkin

Hồ sơ của chúng tôi

Bạn đọc thân mến! Để các biên tập viên tính đến sở thích, trình độ đào tạo và thị hiếu của bạn khi chuẩn bị tài liệu xuất bản trên «Kvant», chúng tôi yêu cầu bạn trả lời các câu hỏi trong bảng câu hỏi truyền thống của chúng tôi.

Đáp số gửi trên một tờ giấy riêng, giữ nguyên số câu hỏi, đến ngày 10 tháng 1 năm 1989. Địa chỉ của chúng tôi: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Ghi chú trên phong bì: “Bảng câu hỏi—88.”

1. Họ, tên (tùy chọn). Nơi học tập (thành phố, làng; cơ sở giáo dục, lớp, khóa học) hoặc nơi làm việc (nghề nghiệp, chuyên ngành). Bạn có đăng ký tạp chí hay mượn nó từ bạn bè hoặc thư viện không?

2. Phạm vi sở thích (toán học, vật lý, khoa học máy tính, thiên văn học). Bạn đã đọc tạp chí của chúng tôi từ năm nào? Có bao nhiêu người đọc bản sao của bạn «Kvant» (dành cho người đăng ký)?

3. Các bài báo toán học thú vị nhất và ít thú vị nhất được xuất bản năm 1988.

4. Các bài báo vật lý thú vị nhất và ít thú vị nhất được xuất bản năm 1988.

5. Những bìa tạp chí hay nhất và tệ nhất năm 1988; ý kiến ​​của bạn về thiết kế của tạp chí.

6. Bạn thích phần nào của tạp chí và bạn không thích phần nào? Những phần mới nào nên được giới thiệu?

7. Tài liệu nào được xuất bản trong «Kvant» năm 1988 đã giúp ích cho công việc hoặc kế toán của bạn mà bạn đã tìm kiếm trong «Kvant» nhưng không tìm thấy?

8. Ý kiến ​​chung về tạp chí. Bạn muốn thấy điều gì được đề cập trên các trang tạp chí của chúng tôi vào năm 1989-1990?

90

Về đường cong phẳng

1. Xem Bảng 1.
2. Xem hình 1.
3. Xem hình 2.
4. Số giao điểm giữa đường thẳng và đường cong thay đổi thành 2 tại thời điểm tiếp xúc. Sau khi quay 180°, con số này vẫn giữ nguyên. Nếu tổng các số bằng ±2 bằng 0 thì có số chẵn.
5. Chúng ta đi vòng quanh mỗi đường cong theo hai hướng và sẽ theo dõi số điểm giao nhau của tia tiếp tuyến với đường cong kia. Con số này thay đổi khi bạn đi qua điểm giao nhau của đường cong và điểm tiếp tuyến của hai tiếp tuyến với đường cong. Sau khi đi qua, số giao điểm sẽ không thay đổi. Chúng ta nhận được 4 đẳng thức, tổng của chúng sẽ cho kết quả tương ứng mong muốn.
6. Các số quay là 1, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 0.
7. Một đường cong có thể được “thổi phồng” thành một vòng tròn; số vòng quay là 1
8. Nếu không có điểm uốn thì đường cong luôn quay theo một hướng và số góc quay là dương.
9. Với mỗi lần tái cấu trúc, tính chẵn lẻ của số lượng đường cong sẽ thay đổi. Do đó, tính chẵn lẻ của số đường cong k trên đó một đường cong cho trước sẽ trùng với tính chẵn lẻ của số n+1, trong đó n là số điểm kép. Số chẵn lẻ của số quay trùng với số chẵn lẻ của số k.
10. Xem hình 3.
11. Mỗi số xảy ra hai lần, vì chúng ta đi qua mỗi điểm kép hai lần. Hãy chọn một điểm kép bằng một số

Hình 1. Hình 2. Hình 3.

Bàn.

| | | | | | |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| p | 0 | 2 | 2 | 1 | 5 |
| q | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| r | 0 | 4 | 2 | 0 | 2 |
| n | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 |

k và thực hiện tái cơ cấu vào thời điểm này. Đường cong sẽ chia thành hai và số điểm giao nhau của chúng sẽ là số chẵn. Trong dãy số k sẽ có đúng số giao điểm của hai đường cong này.

Dao động điều hòa

1. $x + \frac{g}{l}x' = 0$. $W = \frac{mg}{2l}x^2 + \frac{m}{2}(x')^2$, $\omega = \sqrt{g/l}$.
2. $\omega = \sqrt{2g/(\pi R)}$.

Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XXII
lớp 8

1. Đáp số: 23 tầng. Gợi ý. Sau mỗi câu chuyện có số trang lẻ, độ chẵn lẻ của trang bắt đầu của câu chuyện tiếp theo sẽ thay đổi sao cho độ chẵn lẻ của trang bắt đầu ít nhất là 14 lần.
2. Gọi [Ф] là diện tích của hình Ф. Chúng ta hãy chỉ định các điểm như trong hình 4. Vì đường giữa của tam giác cắt đi một phần tư diện tích của nó, nên

$$[NSLT] = [ABCD] - \frac{3}{4}[ABC] - \frac{3}{4}[BCD] - \frac{1}{4}[ACD] - \frac{1}{4}[ABD], [MSKT] = [ABCD] - \frac{3}{4}[ABC] - \frac{1}{4}[ACD] - \frac{1}{4}[BCD] - \frac{3}{4}[ABD].$$

Từ đẳng thức $[NSLT] = [MSKT]$ ta thu được mệnh đề sau: $[BCD] = [ABD]$.

3. Đặt $x = mn, y = nk, z = mk$, trong đó $m, n$ và $k$ là các số tự nhiên. Vậy thì nó phải là $n(k - m) = mk - 1$. Đặt $k - m = 1$, chúng ta có một chuỗi vô hạn lời giải:

$$x = m(m^2 + m - 1), y = (m + 1)(m^2 + m - 1); z = m(m + 1).$$

4. Xem lời giải bài toán M1115a).

5. Gợi ý. Tỷ số này bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi góc chéo với đáy lớn hơn của hình thang.

6. Xem lời giải bài toán M1112.

7. Gợi ý. Nếu $xy \neq 0$ thì $1 - xy = \left(\frac{x^5 - y^5}{2x^2y^2}\right)^2$.

8. Xem lời giải M1113.
   lớp 9

9. Đáp số: $m = -1989$. Gợi ý. Phương trình được rút gọn về dạng

$$\frac{1989^{1988}}{1988^{1988}} = \frac{(m + 1)^{m + 1}}{m^{m + 1}}.$$

Cả hai phân số đều tối giản nên $m^{m + 1} = 1988^{1988}$. Nếu $m \geq 1988$ thì $m^{m + 1} > 1988^{1988}$. Nếu $0 < m < 1988$ thì $m^{m + 1} < 1988^{1988}$. Nếu $m < -1$, thì tại $n = -(m + 1)$ chúng ta nhận được $1988^{1988} = n^n$, từ đó $n = 1988$.

2. Gợi ý. Trong một tam giác, góc lớn hơn có sin lớn hơn, vì vậy, ví dụ: $(\alpha - \beta)(\sin \alpha - \sin \beta) \geq 0$ hoặc $\left(\frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha}\right)(\sin \alpha - \sin \beta) \geq 0$.

3. Đáp số. Nó bị cấm. Giả sử rằng biểu đồ tam giác đang hoạt động. Theo lịch trình này, hãy thay đổi $a$ lần cho học sinh 9 “A” và $b$ lần cho học sinh 9 “B”. Khi đó, vì theo điều kiện bài toán học sinh

91

9 “A” phải được tách ra khỏi mỗi học sinh 9 “B”, đẳng thức $a+b=32\cdot 29$ được thỏa mãn. Hơn nữa, vì theo điều kiện, cặp đầu tiên phải trực ở cuối, số $a$ là bội số của 32 và số $b$ là bội số của 29. Do đó, $a=32\cdot 29-b$ là bội số của 29. Do đó, $a$ là bội số của 32\cdot 29, và vì, hiển nhiên, $a>0$, nên $a \geq 32\cdot 29$. Tương tự, người ta xác định rằng $b \geq 32\cdot 29$, mâu thuẫn với đẳng thức $a+b=32\cdot 29$.

4. Hãy biểu thị bằng $(l, n)$ góc nhỏ nhất mà tại đó đường thẳng $l$ phải quay ngược chiều kim đồng hồ để nó song song với đường thẳng $n$.
   Bổ đề. Các điểm $P, Q, R, S$ không nằm trên cùng một đường thẳng sẽ nằm trên cùng một đường tròn khi và chỉ khi $(QP, QR) = (SP, SR)$ (hình 5).
   Chứng minh được rút ra từ định lý về tính chất của các góc nội tiếp trong đường tròn.
   Bây giờ chúng ta vẽ một đường thẳng $AK$ song song với đường thẳng $BC$ (điểm $K$ thuộc đường tròn $S$, hình 6). Chúng ta hãy tiếp tục đoạn $KD$ vượt quá điểm $D$ cho đến khi nó cắt đường tròn $S$ tại điểm $P_0$. Chứng minh rằng với mỗi điểm $M$ thỏa mãn điều kiện thì điểm $P$ trùng với $P_0$. Có hai trường hợp có thể xảy ra.

1. Điểm $N$ và $P_0$ khác nhau. Vì các điểm $A, K, P_0, N$ nằm trên đường tròn $S$ nên $(AK, KP_0) = (AN, NP_0)$. Vì các đường $BC$ và $AK$ song song nên $(AK, KP_0) = (BC, KP_0)$. Vì vậy, $(MD, DP_0) = (MN, NP_0)$,
   tức là các điểm $M, N, P_0, D$ nằm trên cùng một đường tròn và do đó song song với $P_0 = P$.
2. Điểm $N$ và $P_0$ trùng nhau. Khi nấu với tâm ở điểm $P_0$, điểm này lấy điểm $K$ đến điểm $D$, đường $AP_0$ đi vào chính nó và đường $AK$ đi vào đường $MD$ (kể từ $AK \parallel MD$). Điều này có nghĩa là điểm $A$ sẽ tiến tới điểm $M$. Do đó, đường tròn $S$ đi vào đường tròn mô tả về tam giác $NMD$. Vì tâm đang chuẩn bị trở thành điểm $P_0 = N$ nên các vòng tròn này không còn điểm chung nữa, tức là $P = P_0$.
   Lúc này việc sử dụng điểm $M$ là rất cần thiết, đó là hình chiếu của điểm $P_0$ lên đường thẳng $BC$. Hình chiếu này nằm bên trong đoạn $BC$ (góc $A$ là nhọn) và không trùng với điểm $D$, vì góc $\angle KDC = \angle DKB + \angle KBD$ là con cá ngừ.

5. Gợi ý. Đối với $n=4k+1$ các số $a_n$ là số lẻ. Khi xét phần dư của $a_n$ chia cho 6, hãy đảm bảo rằng $a_n$, ví dụ như khi $n=36p+17$ chia hết cho 3.

6. Xem lời giải M1111.

7. Đáp số: $\sqrt{2}-\frac{1}{2}$. Gợi ý. Chúng ta có thể giả sử rằng $a+b \geq c+d$.
   Sau đó $b+c \geq \frac{1}{2}(a+b+c+d)$ và $\frac{b}{c+d} + \frac{c}{a+b} = \frac{b+c}{c+d} - c\left(\frac{1}{c+d} - \frac{1}{a+b}\right) \geq \frac{1}{2}\frac{a+b+c+d}{c+d} - (c+d)\left(\frac{1}{c+d} - \frac{1}{a+b}\right) = \frac{1}{2}\frac{a+b+c+d}{c+d} - \frac{1}{2} \geq \sqrt{2}-\frac{1}{2}$.
   Ví dụ: giá trị $\sqrt{2}-\frac{1}{2}$ được lấy ở $a=\sqrt{2}+1, b=\sqrt{2}-1, c=2, d=0$.

8. Các hàng của bảng biến đổi từ trên xuống dưới, các cột từ trái sang phải. Chúng ta hãy biểu thị bằng $o_{i,k}^j$ thao tác thêm hàng thứ $i$ vào cột thứ $j$ và trừ hàng này khỏi cột thứ $k$.
   Áp dụng liên tiếp thao tác $o_{i,1}^1, o_{i,2}^2, \dots, o_{n,n-1}^1$ cho bảng này, chúng ta được một bảng trong đó số ở hàng $i$ và cột thứ $j$ bằng 0, các số còn lại không ở hàng cuối cùng hoặc cột cuối cùng không thay đổi.
   Cũng áp dụng chuỗi thao tác cho tất cả $i=1, 2, \dots, n-1$ và $j=1, 2, \dots, n-1$, chúng ta nhận được một bảng trong đó các số khác 0 chỉ có thể xuất hiện ở hàng cuối cùng hoặc cột cuối cùng. Nhưng vì tổng các số ở hàng bất kỳ và cột bất kỳ đều bằng 0 (đây là tính chất bảo toàn khi áp dụng các phép toán) nên ở hàng cuối cùng và cột cuối cùng cũng bằng 0.
   lớp 10

9. Gợi ý. Các điểm $B, E, D, C$ nằm trên đường tròn có tâm $O$ và đường kính $BC$, đồng thời vuông góc $OH$ từ $O$ đến $ED$ chia đoạn này làm đôi.

10. Đáp số. $\sqrt{3}$. Gợi ý. Xét $S^2$ và áp dụng bất đẳng thức trung bình số học cho hai số ba lần.

11. Đáp số: 6 liên kết. Gợi ý. Để đường đứt nét bắt đầu ở đỉnh $A$ và kết thúc ở đỉnh $C$. Một hình cầu có bán kính 3 có tâm tại $A$ cắt bề mặt

92

Hình 7.

Hình 8.

khối lập phương dọc theo các cung đó: KL, LN và KN, trong đó các điểm K, L, N là trung điểm của các cạnh tương ứng (hình 7). Nếu điểm M không trùng với K, L, N và nằm trên một trong các cung thì một hình cầu bán kính 3 có tâm tại M đi qua điểm A và các điểm còn lại của hình lập phương chứa các cạnh trong. Do đó, đa tuyến phải đi qua một trong các điểm K, L, N. Tại hình 8, một ví dụ về đa tuyến có sáu liên kết được hiển thị.

4. Xem lời giải M1115 6).

5. Gợi ý. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng một parabol có phương trình $y=ax^2$ và một đường đứt nét có ít nhất một đỉnh có hoành độ dương. Chứng minh rằng đỉnh có hoành độ dương nhất nhất thiết phải là đỉnh cuối cùng của đường đứt nét.

6. Đáp số: $n=20$. Gợi ý. Nếu $n<20$, sau đó trừ đi số đầu tiên nhân với 10 từ phương trình thứ hai, chúng ta thấy rằng mô hình của vế trái của phương trình mới nhỏ hơn 100.

7. Xem lời giải M1120 a).

8. Xem lời giải M1114.

9. Olympic toàn diện dành cho học sinh môn khoa học máy tính

T1. Các số nguyên tố có tích bằng n sẽ được in theo thứ tự không giảm, tức là phân tích n thành thừa số nguyên tố (có tính đến bội số).

T2. Cần phải trừ khỏi diện tích Pr1 diện tích giao điểm của Pr1 và Pr2, trống hoặc là hình chữ nhật, tọa độ của góc dưới bên trái và góc trên bên phải của chúng được đặt ở mức tối đa hoặc tối thiểu của tọa độ tương ứng của Pr1 và Pr2.

T3. Hãy gọi tuyến đường như sau:

điểm khởi hành, trình tự các chuyến bay (điểm khởi hành của mỗi chuyến trùng với điểm hạ cánh của chuyến trước, điểm đầu trùng với điểm khởi hành của chặng), điểm cuối của chặng (điểm hạ cánh của chuyến bay cuối cùng). Bắt đầu với đường bay “trống” (thành phố [1], thành phố [1]), chúng ta sẽ tiếp tục thao tác sau: nếu chuyến bay chưa sử dụng rời khỏi cuối đường bay thì chèn vào đường bay; nếu không có chuyến bay như vậy (điều này chỉ có thể thực hiện được nếu điểm đầu và điểm cuối của tuyến trùng nhau), thì chúng ta di chuyển điểm đầu và điểm cuối của tuyến dọc theo chuyến bay đầu tiên và đặt chuyến bay đầu tiên là chuyến bay cuối cùng. Khi số lượng chuyến bay trong tuyến bằng số lượng tất cả các chuyến bay, một tuyến đường cổ phần sẽ được tìm thấy.

T4. Với lời giải bài toán chúng ta phải cho rằng máy tính hoạt động nhanh và việc thay băng trên máy ghi âm chậm nhưng toàn bộ tệp các cặp họ sẽ không vừa với bộ nhớ của máy tính. Những người tham gia Olympic đề xuất các thuật toán khác nhau. Điều này là có thể. Dùng 2 máy ghi âm và lưu 1000 cặp họ trong bộ nhớ của máy tính, dùng file gốc gồm các cặp họ của những người đứng cách nhau “khoảng cách” 1 sẽ tạo ra một file gồm các cặp họ của những người đứng cách “khoảng cách” 2 (nếu có các cặp F1, F2 và F3, F3 thì ghi vào một file mới F1, F3). Từ đó là một tập tin gồm các cặp họ của những người đứng ở “khoảng cách” là 4, rồi 8, v.v. Cuối cùng, cách phân tách kép của số 1234567 được sử dụng.

M1. a) 111; 6) 259. Khó khăn chính của bài toán này là việc biểu diễn chính xác các số lớn. Hóa ra là nếu một biến được mô tả dưới dạng số nguyên, nhưng trong quá trình tính toán, giá trị của nó vượt quá các giá trị cho phép trước đó, thì Robotron (và nhân tiện, hầu hết các trình tính toán khác) sẽ chuyển nó sang giá trị thực, mất dấu và chuỗi bị biến dạng. Và hóa ra trình tự bị hư hỏng theo cách này sẽ dẫn đến cùng một (chính xác) đáp số: 259, được tìm thấy bởi nhiều người tham gia Thế vận hội, nhưng không phải tất cả đều “có bảo đảm”. Với lời giải điều này bài toán cần phải tạo một chương trình đặc biệt để làm việc với số lớn và kiểm soát giá trị của các số được đặt trong quá trình tính toán (xem thêm «Kvant», 1988, số 7, trang 59).

M2. Một ý tưởng tự nhiên là cố định phần yếu nhất của tổng và lấy từ các phép tính trước đó (đối với các số nhỏ hơn) một số đại diện cho phần còn lại của tổng. Gọi $P(n, k)$ là số phân vùng của $n$ thành các phân vùng yếu không vượt quá $k$ (số yêu cầu là $P(n, n)$). Sau đó $P(n, k)=P(n, k-1)+P(n-k, k)$. Bảng $P(n, k)$ được xây dựng và từ đó tìm thấy số biểu diễn để xây dựng mức tăng $n$. Nếu không có số học đặc biệt cho các số lớn, có thể đạt tới khoảng $n=37$, với hệ số học như vậy - lên tới $n=100$.

«Kvant» cho học sinh nhỏ (xem «Kvant» số 10)

1. Nếu chúng ta biểu thị giá kem trái cây bằng $x$ thì kem sẽ có giá