Chuyển động định kỳ của quả bóng bida

8

CHUYỂN ĐỘNG ĐỊNH KỲ
BÓNG BILLI

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
G. A. GALYPERIN,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. M. STEPIN

Người đọc có vẻ đã rất quen thuộc với trò chơi bida. Trò chơi này có quê hương là Trung Quốc, có lịch sử hàng thế kỷ. Tin tức đầu tiên về sự xuất hiện của bida ở châu Âu có từ thế kỷ 16. Có bằng chứng cho thấy vua Pháp Charles IX đang chơi bi-a vào Đêm Thánh Bartholomew vào ngày 24 tháng 8 năm 1572, khi tiếng chuông truyền thống vang lên từ Nhà thờ Saint-Germain d’Axelery ở Paris, công nhận những người Công giáo đã tiêu diệt người Huguenot. Khoảng 5 năm sau, W. Shaksir trong vở bi kịch “Antony và Cleopatra” buộc phải
Phần giới thiệu bài viết sử dụng hình của A. Oberlander.

Hãy để nữ hoàng Ai Cập Cleopatra chơi bi-a với cận thần của bà. Năm 1760, vua George II của Anh ban hành sắc lệnh cấm chơi bida ở nơi công cộng với hình phạt phạt 10 foot. Bi-a đã được biết đến ở Nga từ thời Peter I.

Giống như trò chơi xúc xắc mang lại “phép tính xác suất”, trò chơi bi-a đóng vai trò là nguồn nghiên cứu khoa học nghiêm túc về cơ học và toán học.

Trong nghiên cứu toán học, bida thật được thay thế bằng mô hình gọi là “bi-a toán học” - hình 1. Nếu ranh giới của bàn bida có điểm góc thì chỉ

10

Hình 4. Quỹ đạo bida ba mắt trong tam giác nhọn là tam giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất.

Hình 5. Phương pháp làm thẳng. Quỹ đạo “làm thẳng” cắt các cạnh của góc không quá $\pi/\alpha$ lần, trong đó $\Gamma$ biểu thị số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$.

thori. Lý do này “đạt” với bất kỳ số lượng liên kết nào; $n$-gon có chu vi nhỏ nhất trong số những cái được ghi ở $Q$ $n$-gons là một quỹ đạo bi-a định kỳ.

Bài tập 1. Chứng minh rằng trong các $n$-giác nội tiếp đường tròn thì chu vi nhỏ nhất bằng nhau.

Giảm thiểu chu vi

Nếu ranh giới của bàn bi-a có điểm ngắt, thì phương pháp của Birkhoff vượt qua “công việc” - các đỉnh của đa giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất có thể rơi vào các điểm góc của ranh giới. Ví dụ, trong số các hình tam giác nội tiếp trong một tam giác $ABC$, bản thân $\triangle ABC$ có chu vi nhỏ nhất. Làm thế nào để tìm quỹ đạo bida định kỳ trong một hình tam giác?

Đối với một tam giác nhọn, giải pháp là thay chu vi lớn nhất bằng chu vi nhỏ nhất. Chúng ta hãy nội tiếp tam giác này $ABC$ tam giác $XYZ$ có chu vi nhỏ nhất với các đỉnh ở hai cạnh $AB, BC$ và $CA$ (hình 4). Chúng ta khẳng định rằng $XYZX$ là quỹ đạo bi-a. Tuy nhiên, từ bằng chứng của thực tế này, bạn có thể đọc phần bên dưới trong phần “Giải thích cơ học”, và phần khác là chủ đề của phần đầu tiên trong số phần sau bài toán.

Bài tập 2. Sử dụng suy luận kèm theo hình 3, chứng minh rằng $\angle AYZ = \angle CYX$.

3. Chứng minh rằng tam giác có các đỉnh là đáy các đường cao của tam giác $ABC$ đã cho là một quỹ đạo bi-a trong $\triangle ABC$.

Nhiệm vụ 3 cho thấy cách xây dựng quỹ đạo bida ba mắt trong một tam giác nhọn. Quỹ đạo duy nhất như vậy sẽ được chứng minh dưới đây.

Ý tưởng xem xét một tam giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất cũng có thể áp dụng cho các hình được giới hạn bởi một số đường cong trơn. Thật không may, phương pháp này không hiệu quả đối với các tam giác tù - đối với chúng, tam giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất suy biến theo chiều cao hạ xuống so với đỉnh của góc tù. Hơn nữa, bàn bida trong một tam giác tù không có quỹ đạo tuần hoàn ba khâu (hãy thử chứng minh điều này). Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là ý tưởng giảm thiểu chu vi là vô ích trong việc xây dựng quỹ đạo bi-a định kỳ trong các hình tam giác tù; nó chỉ cần được kết hợp với phương pháp làm thẳng, được trình bày trong phần tiếp theo.

Và một lưu ý chung nữa. Cho đến nay, chúng ta đang tìm kiếm quỹ đạo bi-a giữa các đa giác nội tiếp có số độ dài tối thiểu lớn nhất. Điều này phản ánh những điều sau đây

12

Hình 8. Một loạt các quỹ đạo song song. Một quỹ đạo được thiết kế gọn gàng XYZ là một quỹ đạo bi-a tuần hoàn. Đối với điểm đóng $X_1$, thu được quỹ đạo XYZ song song $X_1Y_1Z_1X_2Y_2Z_2X_1$.

Tọa độ đầu tiên gắn với đa giác $Q$ tương ứng với lớp phủ của một hành lang (rất hữu ích để biểu thị đa giác) trên hình ban đầu $Q$; trong trường hợp này, trục $Oy$ đi vào quỹ đạo bi-a đang xét trong $Q$.

Trên hình 6 có bằng chứng cho thấy quỹ đạo tuần hoàn gồm ba vân trong quỹ đạo góc nhọn ABC là duy nhất.

Nhiệm vụ 4. a) Xây dựng một quỹ đạo tuần hoàn trong một bàn bida vuông có số mắt xích lớn hơn bất kỳ hướng đơn nào.

6. Giải bài toán tương tự cho bi-a theo quỹ đạo đều. (Gợi ý - hình 7.)

Theo định lý Birkhoff, trong một hình lồi có hình chính tồn tại các quỹ đạo tuần hoàn với số lượng liên kết bất kỳ. Nhưng đối với traekolnik, tình huống này có ý nghĩa hiện đại: không có quỹ đạo định kỳ hai liên kết nào trong traekolnik, và quỹ đạo bốn liên kết chỉ tồn tại trong các quỹ đạo được điều chỉnh bằng nhau. Hơn nữa, với bất kỳ số tự nhiên $n$ nào, người ta có thể xây dựng một quỹ đạo trong đó mỗi quỹ đạo tuần hoàn có nhiều hơn $n$ liên kết. Để làm được điều này, trong traekolnik $ABC$ chỉ cần lấy các góc $\alpha$ và $\beta$ ở đáy $AC$ là rất nhỏ và không tương xứng với $\pi$ (tức là $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ đối với mọi số nguyên $k, l, m$). Đối với một quỹ đạo tuần hoàn trong một quỹ đạo như vậy, cần phải tìm giá trị từ bên này sang bên kia (chúng tôi để lại chứng minh thực tế này bằng cách sử dụng bất đẳng thức $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ cho độc giả hiện tại). Do các góc nhỏ nên liên kết này gần như song song với đáy $AC$ và do đó số phản xạ của quỹ đạo tuần hoàn của chúng ta từ phía $\triangle ABC$ lớn hơn số nhỏ nhất $\left[\frac{\pi}{\alpha}\right], \left[\frac{\pi}{\beta}\right]$. Và những con số này, với mức đủ nhỏ $\alpha$ và $\beta$, sẽ lớn hơn bất kỳ hướng nào được đưa ra $n$.

Nếu các đỉnh của quỹ đạo thẳng hàng thì trong hình thu được (theo định lý Birkhoff) có một quỹ đạo tuần hoàn “liên kết thấp”. Tuy nhiên, khi độ mịn giảm đi, quỹ đạo này sẽ có xu hướng trở thành một đường đứt đoạn, đi qua đỉnh của quỹ đạo, tức là trong giới hạn hoán vị, quỹ đạo tuần hoàn.

Giải thích cơ học

Chúng ta hãy đặt một chiếc vòng nhỏ ở mỗi bên của traekolnik góc nhọn $ABC$ và luồn một sợi dây cao su đã căng $XYZX$ qua chúng (xem hình 4). Dây cao su có xu hướng bị tuột ra nên các vòng sẽ chiếm vị trí tại các đỉnh của chu vi nhỏ nhất của traekolnik $XYZ$ ghi trong $ABC$. Chúng ta hãy nhìn vào chiếc nhẫn ở phía $AB$. Vì nó không chuyển động dọc theo cạnh của traekolnik nên các lực căng cân bằng $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ vuông góc với cạnh này. Ngoài ra, các vectơ $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ có cùng độ dài, vì lực căng dọc theo dây thun là không đổi. Do đó, các vectơ $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ tạo thành các góc bổ sung lẫn nhau với đoạn $AB$. Điều này có nghĩa là $XYZX$ là quỹ đạo bi-a. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng quỹ đạo nội tiếp là quỹ đạo tuần hoàn nhỏ nhất trong $\triangle ABC$.

Nhóm quỹ đạo tuần hoàn “song song” được mô tả trong hình 8 có thể liên kết với quỹ đạo $XYZX$. Nếu traekolnik $ABC$ được coi là một tấm phẳng thì mỗi quỹ đạo của chùm tia được xây dựng có thể được hình dung như một sợi dây đàn hồi khép kín quấn vào nhau

13

khâu tấm này và luân phiên di chuyển từ bên này sang bên kia 6 lần.

Nhưng nếu $\triangle ABC$ là góc tù, thì việc xây dựng quỹ đạo tuần hoàn này không cân bằng - sợi dây đàn hồi sẽ nhảy ra khỏi tấm qua đỉnh của góc tù. Vì vậy việc tìm ra quỹ đạo bi-a tuần hoàn trong các tam giác tù không phải là điều dễ dàng chút nào.

Hai thiết kế cho hình tam giác tù

Nếu bạn quấn chỉ trên tấm theo cách như ở hình 9 thì nhựa sẽ không xuất hiện. Việc xem xét cẩn thận hình này gợi ý một ý tưởng về cách xây dựng các quỹ đạo định kỳ phức tạp hơn cho các lớp tam giác tù đặc biệt. Những công trình này được mô tả trong Hình 10 và 11.

Quỹ đạo ổn định

Các quỹ đạo tuần hoàn mới được xây dựng có một nhược điểm đáng kể - cho dù các góc của tam giác thay đổi nhỏ đến đâu, chúng vẫn bị phá hủy (theo nghĩa là không có quỹ đạo tuần hoàn nào trong tam giác bị biến dạng gần quỹ đạo ban đầu). Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng một quỹ đạo tuần hoàn trong một tam giác tù, không có khuyết tật này.

Cho các góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ của một tam giác tù $ABC$ liên hệ với nhau bởi các bất đẳng thức

$$\frac{\pi-\beta}{2} < k\alpha < \frac{\pi}{2} \leqslant (k+1)\alpha,$$

$$\frac{\pi-\alpha}{2} < l\beta < \frac{\pi}{2} \leqslant (l+1)\beta,$$

trong đó $k$ và $l$ là một số số tự nhiên. Như trong hình 10, $a$, chúng ta sẽ tạo $k-1$ phản xạ gương của tam giác $ABC$ xung quanh đỉnh $A$ ngược chiều kim đồng hồ và $l-1$ phản xạ xung quanh đỉnh $C$ theo chiều kim đồng hồ - Hình 12, $a$. Các tia cực trị $AN$ và $CN$ tạo thành các góc nhọn $k\alpha$ và $l\beta$ với đáy $AC$. Làm thế nào chúng ta

14

Hình 11. Quỹ đạo tuần hoàn trong một hình tù
tam giác có góc nhọn α và β,
thỏa mãn điều kiện α+kβ=π/2 và 2α+β>π/2 (k là số tự nhiên).

chúng ta biết, trong một tam giác nhọn
ANC có một quỹ đạo tuần hoàn gồm ba đường gân $H_1H_2H_3H_1$ nối các đáy của độ cao của nó. Có thể kiểm tra (chúng tôi để lại điều này cho người đọc) rằng đoạn $H_2H_3$ sẽ đi qua phía dưới đỉnh $B$. Sau đó, khi áp dụng một “accordion” lên tam giác $ABC$ của một hành lang bao gồm $\triangle ABC$ và $k+l-2$ các tam giác phản xạ (như trong phần trước), quỹ đạo của chúng ta sẽ biến thành quỹ đạo định kỳ liên kết $2(k+l)-1$ trong $\triangle ABC$, được mô tả trong hình 12.6. Quỹ đạo này ổn định: trong một tam giác đủ gần $\triangle ABC$, tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn gần nó. Đây là hệ quả của sự ổn định của quỹ đạo tuần hoàn ba đường gân trong một tam giác nhọn.

Bài 5. Chứng minh đoạn $H_2H_3$ đi dưới đỉnh $B$ (hình 12, a) khi và chỉ khi $(1-\text{ctg} k\alpha \cdot \text{tg} \alpha)(1-\text{ctg} l\beta \cdot \text{tg} \beta)>1-\text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta$.

Trong trường hợp đơn giản nhất, khi $k=l=2$, quỹ đạo có 7 liên kết.

Bài toán 6. Chứng minh rằng trong một tam giác tù không có quỹ đạo tuần hoàn ổn định nào có ít hơn 7 mắt xích.

Kết quả

Hãy tóm tắt một số kết quả nghiên cứu quỹ đạo tuần hoàn trong bida tam giác.

Hoàn toàn giống hình tam giác

15

số, có những quỹ đạo tuần hoàn. Như nhà toán học người Mỹ G. Mazur gần đây đã chứng minh, mối liên hệ của các quỹ đạo tuần hoàn trong những tam giác như vậy thậm chí có thể tạo thành một góc, dù nhỏ đến đâu, với bất kỳ đường thẳng có hướng nào.

Ngoài ra, trong một tam giác vuông tùy ý có các quỹ đạo định kỳ với số lượng liên kết lớn một cách góc cạnh. Điều này chưa được biết đối với các tam giác có góc nhọn, mặc dù người ta đã chứng minh rằng với mọi số có hướng $N$ đều tồn tại một tam giác nhọn trong đó có các quỹ đạo tuần hoàn có nhiều hơn $N$ liên kết.

Để kết luận, chúng tôi nhắc lại rằng các quỹ đạo tuần hoàn trong bida tam giác luôn tồn tại dưới dạng hình tam giác. Nguyên nhân dẫn đến sự phá hủy hoặc tách rời quỹ đạo tuần hoàn trong quá trình biến dạng của tam giác là do việc đi qua điểm góc của đường biên. Sự cản trở này giải thích tính chất phức tạp của hình màu vàng ở hình 13.6.

Mời độc giả đã nghiên cứu lý thuyết toán học bida hãy suy nghĩ về bài toán M1155 (xem trang 27), cũng như tìm một số tam giác điển hình khác có quỹ đạo tuần hoàn ổn định. Về vấn đề này, chúng tôi cung cấp cho bạn điều này bài toán:

Bài toán 7. Xây dựng quỹ đạo tuần hoàn gồm 15 mắt xích trong một tam giác chữ có các góc $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn điều kiện:

$$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{1000} < \alpha < \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3} < \beta < 3\alpha.$$

Ngoài ra, chúng tôi khuyên bạn nên đọc § 9.4 trong cuốn sách “Hình học” của M. Berger và cuốn sách được xuất bản trong bộ “Thư viện «Kvant»” của G. A. Galperin và A. N. Zemlykov “Bida toán học”, cũng như các bài báo sau được xuất bản vào các thời điểm khác nhau trên «Kvant»: 1. A. Zemlykov. Toán học bida (1976, số 5); 2. A. Zemlyakov. Số học và hình học va chạm (1978, số 4); 3. A. Zemlyakov. Bi-a và bề mặt (1979, số 9); 4. G. Galperin. Bi-a (1981, số 4).

Hình 13. Tập hợp các hình tam giác xây dựng các quỹ đạo tuần hoàn. Tam giác nhọn được biểu thị bằng vùng màu xanh lam $\alpha + \beta > \pi/2$, hình tam giác hình chữ nhật được biểu thị bằng đường chéo màu đỏ $\alpha + \beta = \pi/2$. Hình tam giác từ phần “hai thiết kế”: a) - tiếng bíp màu xanh lá cây; b) - đoạn màu đỏ. Các hình tam giác từ phần “quỹ đạo ổn định” - vùng màu vàng trên hình b).