Bài toán M1151—M1155; F1158—F1162

Nhiệm vụ

M1151 — M1155, F1158 — F1162

M1151. a) Chứng minh đẳng thức (trong đó $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$):

$$\frac{1 \cdot 2!}{2} + \frac{2 \cdot 3!}{2^2} + \dots + \frac{n(n+1)!}{2^n} = \frac{(n+2)!}{2^n} - 2.$$

6. Tìm số tiền

$$\frac{1 \cdot 3!}{3} + \frac{2 \cdot 4!}{3^2} + \dots + \frac{n(n+2)!}{3^n}.$$

V. N. Zhokha

M1152. Gọi $h$ và $l$ là chiều cao và khía được vẽ từ một đỉnh của tam giác, $R$ và $r$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của nó. Chứng minh sự bình đẳng của cô ấy $h/l \geq \sqrt{2r/R}$.

Cornel Berceanu, Istvan Varda (Romania)

M1153. Số lượt tối đa có thể có trong một tuyến xe kín đi vòng quanh tất cả $8 \times 8$ ô của bàn cờ một lần là bao nhiêu?

M. V. Khovanov

M1154*. Chứng minh rằng nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và ngoại tiếp bởi một đường tròn khác thì đường thẳng đi qua tâm của các đường tròn này sẽ đi qua giao điểm các đường chéo của tứ giác.

V. Yu. Protasov

M1155. Một điểm chuyển động theo một tam giác, phản xạ từ các cạnh của nó theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”. Định kỳ cũng là tên đặt cho quỹ đạo của điểm này, là một đường đứt nét khép kín và không đi qua các đỉnh của tam giác. (Ví dụ về quỹ đạo tuần hoàn với 3 và 6 mắt xích trong một tam giác được cho ở hình 8 trên trang 12. a) Chứng minh rằng không có tam giác nào có các cạnh khác nhau chứa quỹ đạo tuần hoàn bốn mắt xích.

Có tam giác nhọn nào có quỹ đạo tuần hoàn 6) gồm 5 khâu không? c) từ 7 liên kết?

G. A. Galperin, A. M. Stgenin

F1158. Xe địa hình có thể sử dụng bánh trước hoặc bánh sau làm bánh dẫn động. Người lái xe muốn kéo tải ba làn. Lực kéo lớn nhất $T$ (không bị giật) mà ô tô có thể tác dụng là bao nhiêu nếu hệ số ma sát của bánh xe trên đường là $\mu=0,4$, khối lượng của ô tô là $M=2$ t, khoảng cách giữa tâm các bánh xe là $l=4$ m, bán kính bánh xe là $R=0,3$ m? Trục trước và trục sau nằm trong cùng một mặt phẳng nằm ngang; khối tâm của ô tô nằm trong mặt phẳng này và cách các trục một khoảng bằng nhau; cáp nằm trong cùng một mặt phẳng. Nên lái bánh xe nào? $T$ có phụ thuộc vào điều này không?

A. I. Buzdin

28

F1159. Hãy tưởng tượng rằng bạn đang ở trong một đoàn tàu đang tăng tốc và đi bộ với tốc độ không đổi so với toa xe chạy dọc theo đoàn tàu. Một lực rất đáng kể đang đẩy bạn trở lại, và bạn chắc chắn đang thực hiện công chống lại lực này. Công việc của bạn dành cho việc gì? Rõ ràng, cô ấy không thể tăng thêm tốc độ cho đoàn tàu - xét cho cùng, bạn đang đẩy cô ấy về phía sau. Có chuyện gì thế này? Định luật bảo toàn năng lượng có bị vi phạm không?

A. N. Korotkov

F1160. Một hình trụ có bán kính $R$ và chiều cao $H$ chứa $N$ electron. Một từ trường cảm ứng không đổi $B$ được đặt song song với trục hình trụ. Người ta cho rằng tất cả các electron có cùng tốc độ $v$, nằm trong mặt phẳng vuông góc với từ trường và tác động của các electron lên thành hình trụ là đàn hồi tuyệt đối. Hãy ước tính giá trị bằng nhau và áp suất lên thành xi lanh, tạo ra “khí điện tử” như vậy, phụ thuộc vào từ trường như thế nào (áp suất có thể được tính đến một hệ số không đổi, không phụ thuộc vào từ trường). Điện tích $e$, khối lượng $m$. Hãy xem xét trường $(mv/eB) \ll R$ đó (trường “mạnh” $B$). Bỏ qua tương tác giữa các electron với nhau.

D. A. Kuptsov

F1161. Trong âm học kiến ​​trúc, ai cũng biết rằng các phòng trưng bày rất “thưa thớt”. Trong các thánh đường lớn (ví dụ, ở Nhà thờ Thánh Peter ở Rome), một khu vực có hàng rào (phòng trưng bày) được xây dựng xung quanh chu vi của chân mái vòm, nơi mà việc tiếp cận của khách du lịch bị hạn chế. Nó đã được thay thế từ lâu nên tiếng đập nhẹ ở điểm $A$ (hình 1) có thể nghe rõ ở điểm $B$ nếu người nói đang nhìn dọc theo bức tường phòng trưng bày. Nhưng nếu người nói nhìn về hướng điểm $B$ thì với cùng âm lượng giọng nói tại điểm $B$ sẽ không nghe thấy gì. Tại sao điều này lại xảy ra?

Tại điểm $A$, một nguồn âm không định hướng phát ra một xung khá lớn có thời lượng $\tau_1$. Khoảng thời gian của xung sẽ là bao nhiêu, được thực hiện tại điểm $B$? Đường kính thư viện $d$.

V. I. Klyachin

F1162. Dưới nước ở độ sâu $h$ có nguồn sáng chính xác. Hình ảnh của nguồn này ở đâu đối với người quan sát nhìn dọc theo mặt nước (hình 2)? Chiết suất của nước là $n$.

S. S. Krotov