Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

70

Tùy chọn 2

1. Một quả bóng treo trên một sợi dây dao động trong mặt phẳng thẳng đứng sao cho gia tốc của nó ở vị trí cực trị và vị trí thấp nhất có mô đun bằng nhau. Tìm góc lệch của ren ở vị trí cực trị.

2. Một điểm vật chất chuyển động sao cho tọa độ của nó thay đổi theo thời gian tuân theo định luật: $x = a \sin \omega t, y = a \cos 2\omega t$. Tìm phương trình quỹ đạo của một điểm và định luật thay đổi mô đun vận tốc của nó theo thời gian.

3. Giả sử không khí (M=29 kg/kmol) bao gồm chủ yếu là oxy ($M_1 = 32$ kg/kmol) và nitơ ($M_2 = 28$ kg/kmol), hãy xác định tỷ lệ phần trăm của các khí này trong khí quyển.

4. Trong ống chữ U, chiều cao cột không khí ở chân trái bịt kín là $L = 300$ mm và chiều cao cột đường vượt quá ở chân phải mở là $h = 110$ mm (hình 3). Đáng lẽ phải có một cột thủy ngân ở đầu gối phải mà mức của nó đã tăng lên $\Delta h = 40$ mm. Mức độ ở đầu gối trái đã tăng bao nhiêu? Áp suất khí quyển $p_a = 760$ mm pt. Nghệ thuật.

5. Một hệ thống gồm 4 điện trở có điện trở $R = 1$ Ohm, mỗi điện trở được nối với nguồn dòng điện có EMF $\mathcal{E} = 10$ V và điện trở trong $r = 1$ Ohm. Các điện trở này nên được kết nối như thế nào để công suất tối đa được truyền vào chúng?

6. Vật ở cách màn một khoảng $L$. Giữa chúng có một đường thẳng có tiêu cự $F$. Bằng cách di chuyển đường, bạn có thể có được cả hình ảnh phóng to và thu nhỏ trên màn hình. Tìm tỷ lệ kích thước hình ảnh trong trường hợp chung.

Ấn phẩm được biên soạn bởi A. S. Borgakovsky, G. G. Spirin

Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{2x+1} - \frac{2}{3x+2} \leq \frac{4}{5x+4} - \frac{3}{4x+3}.$$

2. Có thể đổ đầy nước vào hồ bơi bằng 2 máy bơm nếu máy thứ nhất chạy trong 4 phút và máy thứ hai chạy trong 3 phút. Thời gian làm đầy bể chỉ với máy bơm đầu tiên ít hơn 3 phút so với máy bơm thứ hai. Tìm những thời điểm này.

3. Giải phương trình
   $(\sin 2x - \cos 2x)^2 + \sin 6x = 1.$

4. Giải phương trình
   $$x^{\log_3 x} - 1 + \log_{1/3} x = x^{3 - \log_3 x}.$$

5. Trong một hình thang bằng nhau có hai đường tròn tiếp tuyến có bán kính $R$, mỗi đường tròn tiếp xúc với các cạnh và một cạnh và tâm của các đường tròn nằm trên đường chéo. Tìm các cạnh của hình thang.

6. Giải phương trình
   $$\sqrt{x-1} + \sqrt{5-x} = x^2 - 6x + 7.$$
   Tùy chọn 2

7. Giải phương trình
   $$\sqrt{x+4} - \sqrt{2x+1} - \sqrt{3x+1} = 0.$$

8. Công ty có 3 thợ máy có trình độ khác nhau. Cái đầu tiên in nhiều trang hơn 2 trang mỗi giờ so với cái thứ hai, cái thứ ba mất nhiều trang hơn 4 phút so với cái thứ nhất và dài hơn 4/3 lần so với cái thứ hai. Người đánh máy đầu tiên gõ bao nhiêu trang mỗi giờ?

9. Giải phương trình $\sin^4 x - \cos^4 x = 1.$

10. Giải phương trình
    $$10^{(6 \log_2 x)^{10}} - 13 \cdot x^{\lg x} = 1.$$

11. Cho tam giác ABC, cạnh AC bằng 26, các đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A và C bằng 36 và 15 tương ứng. Tìm đường trung tuyến thứ ba.

12. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà bất đẳng thức
    $$\sin^5 x + \cos^5 x - a(\sin x + \cos x) \geq \frac{a^2 - 11}{2} (\sin x + \cos x) \sin x \cos x$$
    thỏa mãn với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Máy bay phải bay với tốc độ bao nhiêu và theo hướng nào để đi được quãng đường $l = 300$ km chính xác về phía bắc trong thời gian $t = 2$ h, nếu trong suốt chuyến bay, gió tây bắc thổi một góc $\alpha = 30^\circ$ đến kinh tuyến với tốc độ $v_B = 27$ km/h?
2. Một quả cầu đồng có khối lượng $m = 20$ kg rơi xuống nước kéo theo một quả cầu thép có cùng khối lượng được buộc vào nó bằng một sợi dây. Xác định gia tốc của quả cầu và lực căng của sợi dây. Mật độ đồng $q_M = 8,9 \text{ г/cm}^3$, thép $q_c = 7,8 \text{ г/cm}^3$, nước $q_B = 1 \text{ г/cm}^3$. Hãy coi chủ đề này là lý tưởng. Lực cản của nước giữ nguyên.
3. Tìm vận tốc thoát đầu tiên của một hành tinh có khối lượng gấp 3 lần khối lượng Trái đất. Bán kính của hành tinh này lớn hơn 2 lần so với Trái đất. Giả sử vận ​​tốc thoát đầu tiên của Trái đất bằng $v_I = 8$ km/s.
4. Hai bình hình trụ được nối với nhau ở phía dưới bằng một ống mỏng có vòi (hình 1). Một bình có tiết diện $S_1 = 15 \text{ cm}^2$ và được đổ đầy chất lỏng đến độ cao $h_1 = 20$ cm; bình thứ hai có $S_2 = 5 \text{ cm}^2$ chứa đầy ptruth theo chiều cao