Viện thép và hợp kim Moscow

71

Viện Mátxcơva
thép và hợp kim

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Tính toán
   $$\frac{(13,75 + 9\frac{1}{2}) \cdot 1,2}{(10,3 - 8\frac{1}{2}) \cdot \frac{5}{9}}.$$
2. Đơn giản hóa phép tính ở $x = 1,33$
   $$\frac{x - 1}{x + \sqrt{x} + 1} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}^3 - 1} + \frac{2}{x^{-1/2}}.$$
3. Tính $\cos \alpha$ nếu $tg \alpha = -3\frac{3}{7}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
4. Tính $\left( \frac{2}{\log_7 b} + 1 \right) \cdot b$ tại $b = \sqrt[3]{2}$.
5. Giải phương trình
   $$\sqrt{3x^2 - x} + x = 1.$$
   Trong đáp số hãy viết ra nghiệm của phương trình, và trong trường hợp có nhiều nghiệm thì ghi tổng của chúng.
6. Lò nóng lên đều. 0,5 giờ sau khi bắt đầu làm nóng, nhiệt độ lò là 500 ° C và sau 1 giờ nữa - 900 ° C. Nhiệt độ ban đầu của lò là bao nhiêu?
7. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} < 0.$$
   Trong đáp số viết tổng các số thỏa mãn bất đẳng thức.
8. Diện tích mặt cắt dọc trục của hình nón là 12 và chiều dài của đường sinh của nó là 5. Tìm tỷ lệ thể tích của hình nón với diện tích bề mặt bên của nó.
9. Xác định giá trị của tham số $k$ tại đó các nghiệm của phương trình $x^2 + (k - 1)x + 2k - 8 = 0$ thỏa mãn điều kiện 2x₁ - x₂ = -6, trong đó $x_1 < x_2$.
10. Giải phương trình
    $$\log_2 (4^x + 4) = x + \log_2 (2^{x+1} - 3).$$
    Trong đáp số hãy viết ra nghiệm của phương trình, và trong trường hợp có nhiều nghiệm thì ghi tổng của chúng.
11. Giải phương trình
    $$4\cos x \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = 1.$$
    Trong đáp số viết nghiệm của phương trình (tính bằng độ) thuộc đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

72

12. Một hình lập phương có bán kính $R = \sqrt{\frac{3}{2}}$ được treo trong một bán cầu sao cho các đỉnh thứ tư của nó nằm trên đáy bán cầu, và các đỉnh thứ tư còn lại nằm trên bề mặt hình cầu. Tìm thể tích của khối lập phương.

Tùy chọn 2

1. Tính toán không có bảng
   $$\left(3\sqrt{76} - \sqrt{57}\right) \cdot \frac{2}{19} \sqrt{19} + \sqrt{12}.$$
2. Rút gọn và đánh giá tại $a=3, b=2$:
   $$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2 \cdot (a+b).$$
3. Tìm $\cos(\alpha-\beta)$ nếu $\sin \alpha=\cos \beta=0,6; \alpha \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$; $\beta \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.
4. Tìm $b^{\log_5}7$ nếu $7^{\log_5}b=4$.
5. Giải phương trình
   $$6 + \sqrt{x^2-3x+6} = 2x.$$
   Trong đáp số hãy viết ra nghiệm của phương trình, và trong trường hợp có nhiều nghiệm thì ghi tổng của chúng.
6. Một mảnh hợp kim đồng-kẽm nặng 36 kg chứa 45% đồng. Khối lượng đồng Kukugo nên được thêm vào mảnh này để thu được hợp kim chứa 60% đồng?
7. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2x^2-9x+7}{x^2-1} \leq 1.$$
   Trong đáp số viết số nguyên lớn nhất thỏa mãn phương trình và trong trường hợp có nhiều nghiệm, tổng của chúng.
8. Bán kính đáy của hình trụ gấp ba lần chiều cao của nó. Tổng diện tích bề mặt của hình trụ lớn hơn diện tích xung quanh của nó bao nhiêu lần?
9. Tìm tổng của tất cả các giá trị nguyên của tham số $a$ sao cho tam thức bậc hai $x^2+ax+a^2+6a$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện $1<x<2$ là âm.
10. Giải phương trình
    $$4\cdot 9^2x-3\cdot 4^2x-4\cdot 36^x=0.$$
    Trong đáp số hãy viết ra nghiệm của phương trình, và trong trường hợp có nhiều nghiệm thì ghi tổng của chúng.
11. Giải phương trình
    $$\sqrt{3}(\cos x-\sin 3x)=\cos 3x-\sin x.$$
    Trong đáp số hãy viết nghiệm của phương trình (tính bằng độ) thuộc đoạn $\left[0; \frac{\pi}{9}\right]$.
12. Tìm bình phương tỉ số giữa chiều cao của hình nón và đường kính của đáy nếu hình nón có bề mặt bên nhỏ nhất đối với một thể tích cho trước.

Vật lý
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Một vật được ném thẳng đứng lên trên với tốc độ $v_0=4,9$ m/s. Đồng thời, từ độ cao tối đa có thể đạt tới, một vật thẳng đứng được ném xuống từ một điểm xuất phát khác. Xác định thời gian sau đó hai vật gặp nhau $g=9,8$ m/s$^2$. Đáp số đầu hàng SI.
2. Một lực bằng $F=20$ N hướng một góc nào so với hướng chuyển động của vật, nếu khi chuyển động vật $s=10$ m thì công $A=100$ J thực hiện? Đáp số đầu hàng SI.
3. Một người có khối lượng $M=64$ kg, đứng trên giày trượt trên băng, ném một hòn đá nằm ngang có khối lượng $m=4$ kg với tốc độ $v=8$ m/s. Xác định quãng đường người đó lăn trở lại sau khi ném. Hệ số ma sát giữa xe ngựa và băng là $\mu=0,01$. Gia tốc của trọng lực được lấy bằng $g=10$ m/s$^2$. Đáp số đầu hàng SI.
4. Xác định chu kỳ dao động của một nam châm toán học được treo bằng nanite có chiều dài $l=10$ m. Lấy gia tốc trọng trường bằng $g=10$ m/s$^2$. Đáp số đầu hàng SI.
5. Hai xi lanh được nối với nhau bằng một ống có vòi. Ở bình thứ nhất, khí ở áp suất $p_1=0,6 \cdot 10^5$ Pa, ở bình thứ hai $p_2=10^5$ Pa, dung tích của xi lanh thứ nhất là $V_1=3 \cdot 10^{-3}$ m$^3$, bình thứ hai $V_2=10^{-3}$ m$^3$. Áp suất nào sẽ được thiết lập trong các xi lanh nếu vòi được mở? Nhiệt độ không đổi, thể tích của ống có thể thay đổi. Cho Đáp số trong SI bằng cách chia nó cho $10^4$.
6. Cần bao nhiêu phần bằng nhau về áp suất ($p_1=0,6 \cdot 10^5$ Pa, $p_2=10^5$ Pa, dung tích của xi lanh thứ nhất là $V_1=3 \cdot 10^{-3}$ m$^3$, xi lanh thứ hai $V_2=10^{-3}$ m$^3$. Áp suất nào sẽ được thiết lập trong các xi lanh nếu bạn mở vòi? Nhiệt độ không đổi, thể tích của ống có thể thay đổi. Đáp số cho SI.
7. Áp suất cần bao nhiêu phần bằng nhau ($p_1=0,6 \cdot 10^5$ Pa, $p_2=10^5$ Pa, dung tích của xi lanh thứ nhất là $V_1=3 \cdot 10^{-3}$ m$^3$, xi lanh thứ hai $V_2=10^{-3}$ m$^3$. Áp suất nào sẽ được thiết lập trong các xi lanh nếu bạn mở vòi? Nhiệt độ không đổi, thể tích của ống có thể thay đổi. Đáp số cho SI.
8. Hai tụ điện nối tiếp $C_1=1$ µF và $C_2=2$ µF được nối với nguồn điện áp không đổi $U=240$ V. Xác định điện áp trên tụ $C_1$. Đáp số đầu hàng SI.
9. Xác định lực tác dụng lên một dây dẫn có chiều dài $l=10$ cm với dòng điện $I=10$ A trong một từ trường đều cảm ứng $B=0,18$ T, nếu góc giữa dây dẫn và cảm ứng từ là $a=30^\circ$. Đáp số đầu hàng SI.
10. Có bao nhiêu bước sóng của bức xạ đơn sắc có tần số $v=5 \cdot 10^{14}$ Hz phù hợp trên một đoạn có chiều dài $l=1$ mm? Tốc độ ánh sáng là $c=3 \cdot 10^8$ m/s.

Tùy chọn 2

1. Từ độ cao $h=20$ m một vật bắt đầu rơi tự do. Đồng thời với bề mặt trái đất, một vật khác được ném thẳng đứng lên trên với tốc độ $v_0=20$ m/s. Ở độ cao nào những cơ thể này sẽ gặp nhau? Gia tốc của trọng lực $g=9,8$ m/s$^2$. Báo cáo độ cao từ bề mặt trái đất. Đáp số đầu hàng SI.
2. Hai quả bóng có khối lượng $m_1=0,5$ kg và $m_2=1,5$ kg được nối với nhau bằng một sợi dây không trọng lượng và không co giãn, được ném qua một khối. Tìm các giá trị gia tốc của nấm. Dùng khối lượng của khối và lực ma sát trong khối để chạy. Gia tốc rơi tự do được coi là bằng $g=10$ m/s$^2$. Đáp số đầu hàng SI.

73

3. Xác định lực tác dụng lên vật nếu khi chuyển động trên quãng đường $s=20$ m thì công thực hiện $A=500$ J và lực hướng một góc $\alpha=60^\circ$ so với phương chuyển động. Đáp số đầu hàng SI.

4. Một phát súng được bắn từ một chiếc 阻力 đang đứng trên bệ đứng yên theo hướng nằm ngang. Khối lượng đạn $m=100$ kg, tốc độ đạn $v=400$ m/s. Khối lượng của bệ là $M=20$ t. Xác định khoảng cách mà bệ lăn tới sau khi bắn nếu hệ số ma sát trên đường ray là $\mu=0,1$. Lấy gia tốc của trọng trường bằng $g=10$ m/s². Đáp số đầu hàng SI.

5. $v=3$ km khí chiếm thể tích bao nhiêu ở áp suất $p=1$ MPa (1 MPa=10⁶ Pa) và nhiệt độ $t=100^\circ\text{C}$? Đáp số đầu hàng SI.

6. Để nấu chảy $m=1$ t đồng thau, người ta sử dụng lò điện có công suất $P=10^5$ W. Sẽ mất bao lâu để tan chảy nếu thỏi được nung nóng đến $\Delta t=900^\circ\text{C}$ trước khi bắt đầu tan chảy? Nhiệt dung riêng của đồng thau là $c=386$ J/(kg K). Không có sự mất mát năng lượng. Nhiệt dung riêng nóng chảy của đồng thau $\lambda=2 \cdot 10^5$ J/kg. Đáp số đầu hàng SI.

7. Vatara của tế bào điện có EMF $c=15$ V và điện trở trong $r=5$ Ohm

Các phép biến đổi hình học
Phần II:
Các phép biến đổi tương tự

1. 45°. Gợi ý. Áp dụng phép xoay giống tâm $\Pi_A^k, \varphi$, trong đó $\varphi=\angle BAC$ và $k=\sqrt{2}$.

2. Đồng nhất với tâm $C$ và hệ số $k$.

3. 90°, 45°, 45°. Gợi ý. Thành phần này là một sự chuyển đổi danh tính.

4. 45°, 60°, 75°. Gợi ý. Cho tam giác ABC hướng dương, $\angle AMB=\varphi_1$, $\angle APC=\varphi_2$, $\angle BNC=\varphi_3$, $k_1=AM/BM$, $k_2=CP/AP$, $k_3=BN/CN$.

Chứng minh rằng thành phần

$$\Pi_N^{k_1}, \varphi_3 \circ \Pi_P^{k_2}, \varphi_2 \circ \Pi_M^{k_1}, \varphi_1$$

chuyển hóa tự nhiên.

5. Gợi ý. Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $AC$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng các tam giác $OMP$ và $OCQ$ là tương tự nhau. Áp dụng phép xoay giống tâm $O_O^{k_1}, \varphi_1$, trong đó $k=\frac{1}{\sqrt{3}}, \varphi=90^\circ$ dịch đoạn $MN$ thành đoạn $PQ$.

6. Gợi ý. Chứng minh rằng $\Pi_B^{\cos \gamma}, \varphi \times \Pi_A^{1/\cos \gamma}, \varphi=R_K^2\varphi$, trong đó $\varphi=90^\circ-\gamma$.

7. $\angle BAK=\angle ABK=\gamma$.

8. Gợi ý. Thiết lập $\angle PQN=\angle PCN$ và $\angle QPM=\angle QCM$.

9. $2\alpha, 2\beta, 2\gamma$.

10. $45^\circ$.

Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Matematika
Tùy chọn 1

1. $(-2; 2)$.

2. $-2+\sqrt{1/10}$.

3. $2\arctg(\sqrt{15}-2\sqrt{3})$. Gợi ý. Lưu ý rằng $\angle ABC$ là ngu ngốc. Đặt $\alpha=\frac{1}{2}\angle ABC$, $X$ và $Y$ là điểm tiếp xúc của các đường tròn với đường thẳng $AB$. Sau đó $XY=XB+BY=3r$ sttg $(\pi-2\alpha)+r$ sttg $\alpha=2r\sqrt{3}$.

4. $\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi$, $k\in Z$. Gợi ý. Chuyển số hạng thứ hai sang bên phải và tính sin của bên trái và bên phải.

5. $x=\sqrt{20}, y=\sqrt{13}, V=8$. Gợi ý. Âm lượng của primada đạt cực đại khi chiều cao tối đa giảm xuống từ đỉnh $S$, tức là khi chiều cao này trùng với chiều cao của tam giác $SAB$ giảm xuống một bên $AB$.

Tùy chọn 2

1. $y=-\frac{1}{4}(x-1)^2$.

2. $-\frac{\pi}{4}+\pi n, (-1)^n\arcsin \frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}+n\in Z$.

3. $117/2$. Gợi ý. Tâm $O$ của đường tròn nằm tại trung điểm của cạnh huyền $AB$ và bán kính $R$

76

Tùy chọn 3

1. Những quả bóng ban đầu có điện tích khác dấu: $q_1$ và $-q_2$, sau khi lắng xuống sẽ mang cùng điện tích $q=(q_1-q_2)/2$. Mối liên hệ giữa lực đẩy và lực hút -

$$k \frac{q^2}{l^2} = \frac{1}{8} \frac{q_1 q_2}{l^2},$$

từ đây chúng ta đi đến phương trình

$$x^2 - (5/2) x + 1 = 0,$$

ở đâu $x=q_1/q_2$.
Giải phương trình này, ta được hai đáp số:

$$q_1/q_2 = 2 \text{ и } q_1/q_2 = 1/2,$$

tức là điện tích của một quả bóng lớn gấp đôi điện tích của quả bóng kia.

2. Điều kiện quan trọng để một viên đạn xuyên qua một tấm ván (cả cố định và không cố định) là sự giải phóng năng lượng nhiệt $Q=mv_0^2/2$ trong tấm ván. Trong trường hợp tấm ván không được cố định chắc chắn, vận tốc cuối cùng của tấm ván và viên đạn là như nhau. Đặt tốc độ này bằng $u$. Khi đó từ định luật bảo toàn động lượng

$$mv=(m+M)u$$

và định luật bảo toàn năng lượng

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{(m+M)u^2}{2} + \frac{mv_0^2}{2}$$

chúng tôi nhận được

$$v=v_0 \sqrt{(m+M)/M}.$$

3. Xem lời giải bài toán F1155 sẽ được xuất bản sau.
4. Xem lời giải bài toán F1153 sẽ được xuất bản sau.
5. Xem lời giải bài toán F1156 sẽ được xuất bản sau.

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow Toán học
Tùy chọn 1

1. {1}.
2. $\pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{a} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ tại $a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$; $\{\emptyset\}$ tại $a \in (-1; 1)$. Gợi ý. Rút gọn phương trình về phương trình tương đương của nó $\cos 2x = \frac{1}{a}, a \neq 0$.
3. 1791. Gợi ý. Đặt $A=\sqrt{xyz1}$ là một số đặc biệt và $(x, y, z$ là các chữ số). Theo điều kiện, các số $xy=10x+y, z$, 1 tạo thành một cấp số cộng với một số chênh lệch $d$. Vì vậy $z=1+d, 10x+y=1+2d$. Từ những đẳng thức này suy ra $5 \leq d \leq 8$. Vẫn còn phải liệt kê các giá trị có thể có của $d$.
4. $S_1=\frac{1}{2} l \cos^2 \beta \sin 2\alpha$,
   $$S_2=\frac{3}{4} l^2 \cos \beta \sin \alpha \sqrt{1-\cos^2 \beta \sin^2 \alpha},$$
   $$S_3=\frac{3}{4} l^2 \cos \beta \cos \alpha \sqrt{1-\cos^2 \beta \cos^2 \alpha}$$
   tại $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right), \beta \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Gợi ý.

Hình 1.
Đặt $SABCD$ là một tham số cho trước và đặt các điểm $A_1, B_1, C_1, D_1, P, R, Q, T$ là trung điểm của các cạnh của nó (hình 1). Có 5 phần của paramid, các mặt phẳng bằng chiều dài tính từ các đỉnh của nó. Những cái được hiển thị ở hình. Đây là hình chữ nhật $A_1B_1C_1D_1$, hình thang $PD_1C_1Q$ và cuối cùng là hình thang $RA_1D_1T$. Các phần còn lại trên hình không được hiển thị (chúng đối xứng với khoảng cách đến các hình thang). Sau những nhận xét này, việc tính toán diện tích cần thiết không còn khó khăn nữa.

Tùy chọn 2

1. $(-\infty; -6] \cup (-2; +\infty)$.
2. $(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ tại $c=85$.
   Lời giải không phải với $c \neq 85$. Gợi ý. Thực hiện phép thay thế $u=6^{-\sin y}, v=7^{\cos y}$. Rõ ràng là $\frac{1}{6} \leq u \leq 6, \frac{1}{7} < v \leq 7$. Phương trình đầu tiên của hệ chỉ được thỏa mãn bởi $u=6, v=7$.
3. Ở $35 \leq c < 215/6$ trong bốn bình, nồng độ axit lớn hơn ở bình thứ ba, ở $215/6 < c \leq 37$ nồng độ trong bình thứ ba lớn hơn ở bình thứ ba. Đối với phần còn lại $c$ lời giải không. Gợi ý. Gọi $x$ và $y$ là số lít hòa tan, khác nhau tương ứng từ bình thứ nhất và bình thứ hai vào bình thứ ba.
   Sau đó

$$\begin{cases} x+y=10, \\ 3x+4y=c, \end{cases}$$

và $0 < x \leq 5, 0 < y \leq 7$, và do đó $35 \leq c \leq 37$.
Tính nồng độ $d$ axit trong bốn bình, ta thu được $d=215-5c$.

77

4. $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} l^3 \cos \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \frac{1 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}}{(2 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2})^3}$
   tại $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{3}\right)$. Với $\alpha \in \left[\frac{\pi}{3}; \pi\right)$, bài toán không có lời giải.
   Lưu ý: Hãy xem xét phần hình nón OPQ của bạn (hình2). Hãy để $x = AA_1$. Biểu diễn qua góc $\alpha$ và $x$ diện tích toàn phần của lăng kính $S(x)$, ta thu được
   $$S(x) = 3\sqrt{3} \left(l \sin \frac{\alpha}{2} - x \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}\right)^2 + 6x \left(l \sin \frac{\alpha}{2} - x \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}\right),$$ nên $S(x)$ là tam thức bậc hai trong $x$ với hệ số $a$ của $x^2$ bằng $a = 3\sqrt{3} \mathrm{tg}^2 \frac{\alpha}{2} - 6 \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}$.
   Vẫn còn phải tìm giá trị lớn nhất của hàm $S(x)$ trên khoảng $\left(0; l \cos \frac{\alpha}{2}\right)$, trong đó $\alpha \in (0; \pi)$. Hóa ra là ở $a \geq 0$ không đạt được mức tối đa $S(x)$ trong khoảng thời gian đã chỉ định và ở $a < 0$ (tức là ở $0 \leq \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}$), mức tối đa cần thiết đạt được ở $x = l \cos \frac{\alpha}{2} \frac{1 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \alpha/2}{2 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \alpha/2}$.

Vật lý

1. $v_0 = \sqrt{lg \left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - 2 \cos \alpha + 2\right)} = 5$ m/s.
2. $Q = m_2 v_0 \sqrt{2gh} - m_2 (m_2/m_1 + 1) gh \approx 91,3$ J.
3. $v_0 = \sqrt{2 \mu g (l - h + (M/m)(l/2 - h))} = 3,5$ m/s.
4. $v = \sqrt{\frac{2ah}{\sin \alpha}} \left(\frac{1}{\cos \alpha} - 1\right) \approx 1,07$ m/s.
5. $a = \frac{4I}{M} \sqrt{\frac{m_0 U}{e}} \approx 3$ m/s$^2$.
6. $p_2 = (2n - 1)p_1 = 300$ kPa.
7. $S_2 = \left\{ \begin{array}{l} \frac{B_1 S_1 + |q| R}{B_2} = 3,4 \cdot 10^{-2} \text{ m}^2, \\ \text{ если } q > 0, \\ \frac{B_1 S_1 - |q| R}{B_2} = 1,1 \cdot 10^{-2} \text{ m}^2, \\ \text{ если } q < 0. \end{array} \right.$
8. $Q = PL/R = 4$ mJ.
9. $x_m = IBl\tau/\sqrt{2km} = 0,25$ m.
10. $F_2 = F_1 \frac{mg + IBl}{mg - IBl} = 2$ N.

Viện Hàng không Moscow được đặt theo tên. Sergo Ordzhonikidze

Matematika
Tùy chọn 1

1. Lúc 16 tuổi.
2. $\frac{\pi}{3} (2k + 1), k \in \mathbb{Z}$.
3. $[1; 10^9] \cup [10^{16}; 10^{25}]$. Gợi ý. Thực hiện
   thay thế $y = \sqrt{1g} x$ và giải bất đẳng thức thu được đối với $y$.
4. $(\pi P - Q)^2/4Q$. Gợi ý. Gọi $x, y$ là các hình vuông của tam giác, $R, r$ bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tương ứng. Cạnh huyền có độ dài $2R$ được chia theo điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp thành hai đoạn có độ dài là $x - r$ và $y - r$. Vì vậy $x + y - 2r = 2R$ hoặc $x + y = 2(R + r)$. Bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình và thay tích $xy$ để thỏa mãn tam giác, ta thu được
   $$x^2 + y^2 + 4P = 4(R + r)^2,$$từ
   $$R = \frac{P - r^2}{2r}.$$
5. $\{(-1 + \sqrt{3})/2; 2); ((\sqrt{3} - 1)/2; 2)\}$. Gợi ý. Ta viết phương trình của hệ như sau:
   $$\left\{ \begin{array}{l} 2x^2 + yx - 1 = 0, \\ 2 \left(-\frac{3x}{2(1 - x)^2}\right)^2 + y \left(-\frac{3x}{2(1 - x)^2}\right) - 1 = 0. \end{array} \right.$$
   Mỗi phương trình của hệ là một phương trình bậc hai có dạng $2z^2 + yz - 1 = 0$, phương trình thứ nhất đối với $z = x$, phương trình thứ hai đối với $z = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$. Do đó, $x = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$ hoặc $x = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$ hoặc $x = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$. Do đó, thể tích của nó cũng như thể tích của lăng trụ thẳng ban đầu bằng $Sh$.
   Tùy chọn 2
6. $\frac{\pi}{6} (6k + 5), k \in \mathbb{Z}$.
7. 2,5.
8. $(-1/3; 0) \cup (4; \infty)$. Gợi ý. Đối với bất đẳng thức lời giải $\log_3 x + 1 \frac{x - 2}{x - 4} \geq 0$ cần xét 2 trường hợp: $0 < 3x + 1 < 1$ và $3x + 1 > 1$.
9. $4\sqrt{3}/27$. Gợi ý. Nếu $x$ là góc nghiêng của cạnh bên của đường thẳng với mặt phẳng đáy thì $V(x) = \frac{2}{3} \sin x \cos^2 x$. Việc nghiên cứu cực đại của hàm $V(x)$ có thể được đơn giản hóa thành nghiên cứu đa thức $f(y) = y(1 - y^2)$ ($y = \sin x$, tức là $0 \leq y \leq 1$).
10. $\{(4; -5); (0; -1); (4; -3); (0; 1)\}$. Gợi ý. Từ phương trình thứ hai, $x$ và $y$ là các số nguyên và từ phương trình đầu tiên $(x + y)^2 = 2 - \frac{1}{4} (x - 2)^2$, mở $(x + y)^2 \leq 2$, tức là tổng $x + y$ có thể thuộc một trong ba giá trị - 0, 1, -1.
11. $(-4/3; 8/3); (4/5; 8/5)$. Gợi ý. Hình tam giác $AMO$ và $BMC$ được cắt bớt. Vì vậy $\frac{MC}{OM} = \frac{MB}{MA} = \frac{BC}{AO}$. Biểu thị độ dài của các đoạn thông qua tọa độ $(x; y)$ của điểm $M$, ta thu được hệ phương trình, từ đó ta được $(x; y)$.

78

Vật lý

Tùy chọn 1

1. $a_{\max} = \arctg 2\mu$.
2. $\omega = \sqrt{(k_1 + k_2)/m}$; Khi lò xo đổi vị trí thì tần số dao động không thay đổi.
3. $t = \frac{\varrho_1 V_1 c_1 t_1 + m_2 (c_2 t_2 + \lambda)}{\varrho_1 V_1 c_1 + m_2 c_2} \approx 24^\circ\text{C}$
   (ở đây $\varrho_1 = 10^3$ kg/m$^3$ là mật độ của nước); khối lượng ban đầu của nước không thay đổi.
4. $l < d\sqrt{2CW/(qQ)}$.
5. $\tau \leq \Delta l(d-F)/(vF) \approx 10^{-3}$ tr.
6. $E_{\min} = hc/\lambda_{\max} = 7,2 \cdot 10^{-19}$ J = 4,5 eV
   (ở đây $h = 6,62 \cdot 10^{-34}$ J s là hằng số Planck, $c = 3 \cdot 10^8$ m/s là tốc độ ánh sáng).

Tùy chọn 2

1. $a_{\max} = \arcsin 0,8 = 53^\circ$.
2. $y(x) = a(1 - 2x^2/a^2)$ là phương trình của parabol; $v = \omega a \sqrt{\cos^2 \omega t + 4 \sin^2 \omega t}$.
3. $x_1 = \frac{M_1(M - M_2)}{M(M_1 - M_2)} \times 100\% = 27,6\%$;
   $x_2 = \frac{M_2(M_1 - M)}{M(M_1 - M_2)} \times 100\% = 72,4\%$.
4. $\Delta L = 10$ mm.
5. Các điện trở cần được kết nối thành hai nhóm song song, mỗi nhóm có hai điện trở.
6. $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{L + \sqrt{L^2 - 4LF}}{L - \sqrt{L^2 - 4LF}} \right)^2$.

Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

Toán học
Tùy chọn 1

1. $(-4/5; \bigcup -3/4) \bigcup (-2/3; -\frac{1}{2}) \bigcup (0; \infty)$.
   Gợi ý. Giảm sự bất bình đẳng
   $$-\frac{x}{(2x+1)(3x+2)} \leq \frac{x}{(5x+4)(4x+3)}$$
   Với $x \geq 0$ bất đẳng thức cuối cùng đúng. Đối với $x < 0$, bất đẳng thức chỉ có giá trị nếu một trong các mẫu số âm.
2. 6 phút, 9 phút.
3. $\pi k, \frac{\pi}{10} (2k+1), k \in Z$.
4. { 1; 1/9; 9 }.
5. Các cạnh và đáy nhỏ bằng $2R \sqrt{2}$, đáy lớn hơn là $2R(2+\sqrt{2})$.
6. { 1; 5}. Gợi ý. Sau khi bình phương phương trình Obihace, hãy thay thế $t = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}$, sau đó đảm bảo rằng $t = 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình thu được. Để chứng minh điều này, hãy sử dụng bất đẳng thức $t \leq 2$.

Tùy chọn 2

1. {0}.

2. 10 tờ.

3. $\frac{\pi}{2} (2k+1), k \in Z$.

4. { 0,001; 0,01; 100; 1000}. Gợi ý. Lấy logarit cơ số 10 và thay thế $y = \lg x$.

5. 39. Gợi ý. Gọi $M$ là giao điểm của các đường trung tuyến. Tam giác $AMC$ là hình chữ nhật. Trung vị $MH$ của nó bằng 1/3 trung vị mong muốn.

6. $a \in [-6; 1]$. Gợi ý. Hãy để $t = \sin 2x$. Khi đó $0 \leq t \leq 1$ và bất đẳng thức được rút gọn về dạng $t^2 + (a^2 - 9)t + (a - 1) \leq 0$.

Vật lý

1. $v = ((l/t)^2 + v_B^2 + 2(l/t)v_B \cos \alpha)^1/2 = 174$ km/h; $\beta = \arcsin (\sin \alpha \cdot v_B/v) = 4,3^\circ$.
2. $a = g \left( 1 - \frac{\varrho_B(\varrho_M + \varrho_C)}{2\varrho_M \varrho_C} \right) = 8,6$ m/s$^2$; $T = 2H$.
3. $v = \sqrt{3}/2v_1 = 9,8$ km/s.
4. $h = (S_1h_1 + S_2h_2)/(S_1 + S_2) = 25$cm;
   $Q = (\varrho g/2)(S_1h_1^2 + S_2h_2^2 - (S_1h_1 + S_2h_2)h) \approx 1$ J; $\Delta T = Q/(cQ(S_1h_1 + S_2h_2)) \approx 1,8 \cdot 10^{-3}$ K.
5. $\Delta T = T_0m_1/m_2 = 546$ K.
6. $r = \sqrt{R_1R_2} = 5,5$ Ôm.
7. $q = BlS/(16Q) = 0,05$Cl.
8. $x_m = mv/v/\sqrt{k(M+m)} = 0,1$ m.
9. $H = h(tg \alpha + tg \beta)/(tg \beta - tg \alpha) = 400$ m.
10. $h = 5,2$ xem

Viện thép và hợp kim Moscow

Toán học
Tùy chọn 1

1. 27,5. 2. 2,33. 3. -0,28. 4. 14. 5. -0,5.
2. 300. 7. 6. 8. 0,8. 9. 4. 10. 2. 11. 0. 12. 1.
                 Gợi ý. Hãy xem xét việc thành thạo việc sản xuất một bán cầu, đi qua các đường chéo của khối chính.

Tùy chọn 2

1. 12. 2. 5. 3. 0,96. 4. 2. 5. 5. 6. 13,5. 7. 8.
2. 4. 9. -21. 10. 0,5. 11. 15. 12. 0,5.
         Gợi ý. Xét điểm cực trị của hàm số $y = S_\delta^2(r)$, trong đó $S_\delta$ là mặt bên của hình nón.

Vật lý
Tùy chọn 1

1. $t = v_0/(4g) = 0,125$ tr.
2. $\alpha = \arccos \frac{A}{F_5} = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ$.
3. $l = m^2v^2/(2\mu gM^2) = 1,25$ m.
4. $T = 2\pi \sqrt{l/g} = 6,28$ tr.
5. $p = (p_1V_1 + p_2V_2)/(V_1 + V_2) = 0,7 \cdot 10^5$ Pa; đáp số:7.
6. $\tau = \frac{2cm(t_k - t)}{P\eta/100\%} = 1676$ s, trong đó $t_k = 100^\circ C$ là nhiệt độ sôi của nước.
7. $n = \sqrt{R/R_1} = 6$.
8. $U_1 = C_2U/(C_1 + C_2) = 160$ V.
9. $F = BIl \sin \alpha = 0,09$ N.
10. $n = lv/c = 1,67 \cdot 10^3$.

79

Tùy chọn 2

1. $x=h-gh^2/(2v_0^2)=15,1$ m.
2. $a=g(m_2-m_1)/(m_1+m_2)=5$ m/s$^2$.
3. $F=A/(s\cos\alpha)=50$ N.
4. $l=m^2v^2/(2\mu gM^2)=2$ m.
5. $V=\nu RT/p=9,3$ m$^3$, trong đó $R=8,31$ J/(mol K) là hằng số khí phổ quát.
6. $\tau=m(c\Delta t+\lambda)/P=5474$ tr.
7. $q=S\varepsilon R/(R+r)=10$ µF.
8. $F=q^2/(4\pi\varepsilon_0r^2)=9\cdot10^3$ N.
9. $m_1/m_2=(r_1/r_2)^2=4$.
10. $\alpha=30^\circ$.

Kính vạn hoa «Kvant»
(xem «Kvant» số 2)

Câu hỏi và bài toán

1. Ánh sáng phát ra từ tia laser gần như là các tia song song.
2. Đối với các bước sóng ánh sáng khác nhau, chiết suất của một chất là khác nhau.
3. Càng gần đường vuông góc có tia đỏ, tia xa nhất là philotine.
4. Đối với bất kỳ đường thẳng nào, tiêu cự chính của tia đỏ lớn hơn (về giá trị tuyệt đối).
5. Cây xanh.
6. Màu đỏ vì khi di chuyển từ môi trường này sang môi trường khác, phần thế giới xác định màu sắc của tia không thay đổi.
7. Không, vì bản thân sự giao thoa là hệ quả của nguyên nhân chồng chất, theo đó các mặt trước của sóng “xuyên thủng” nhau không bị biến dạng lẫn nhau.
8. Có, vì sóng tiến và sóng lùi là kết hợp.
9. Do thoát nước, phần dưới của lenika bò ra và phần trên trở nên mỏng hơn. Do đó, các vân giao thoa tương ứng bị dịch chuyển.
10. Do nhiễu xạ ở rìa Mặt Trăng, hình ảnh giao thoa xuất hiện trên bề mặt Trái Đất.
    11, 12. Hiện tượng nhiễu xạ bắt đầu kể chuyện.

Kinh nghiệm vi mô
Các vân nhiễu xạ tối sẽ được nhìn thấy qua khe: một thềm rõ ràng ở trung tâm và một số cạnh yếu.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(xem «Kvant» số 2)

1. Có 300 đồng xu trên cân.
2. Xem hình 3. Tổng S số trên mỗi vòng tròn là 12, vì $4S=36+S$.
3. Xem hình 4.
4. Có sai sót ở cột “Hiệu số bàn thắng bại” của đội Schwenitz: 1 trận thắng và 1 trận hòa thì hiệu số bàn thắng bại không thể là “1-1”. Tổng số bàn thắng ghi được là 11,

Hình 3. Hình 4.
và số bàn thua là 12. Do đó, sai số về tỷ số là 1 bàn, tức là hiệu số bàn thắng bại của Schwenitz là “2-1” hoặc “1-0”. Khoảng cách của các tùy chọn này dẫn đến bảng sau:

| | Tiếng Hungary. | Schwenitz | tiếng Tây Ban Nha | tôi. | Franz. | Bóng khác nhau. | Kính |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Hungary | * | — | — | 2:1 | 2:0 | 4—1 | 4 |
| Schwenitzia | — | * | 1:1 | 1:0 | — | 2—1 | 3 |
| Tây ban nha | — | 1:1 | * | 2:2 | — | 3—3 | 2 |
| Ireland | 1:2 | 0:1 | 2:2 | * | — | 3—5 | 1 |
| Pháp | 0:2 | — | — | — | * | 0—2 | 0 |

5. Chúng ta hãy cắt hình tứ giác dọc theo các đường ở giữa và gấp các hình tứ giác thu được sao cho các đỉnh của hình tứ giác lớn được tách ra.