Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

65

Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Matematika
Bài thi viết
Phương án 1 (Khoa Cơ, Toán và Kinh tế)

1. Trên mặt phẳng, tìm một điểm đối xứng với điểm có tọa độ (2; 4) so ​​với đường thẳng cho bởi phương trình $2x+y=3$.
2. Giải phương trình
   $$\log_{x+2}\log_2\log_{x+3}(11x^2+46x+48)=0$$
3. Vòng tròn $O_1$ có bán kính $3r$ chạm vào phần kéo dài của cạnh $AB$ của góc $ABC$, tâm của nó nằm trên cạnh $BC$. Vòng tròn $O_2$ bán kính $r$ chạm vào các cạnh của góc $ABC$ và vòng tròn $O_1$. Tìm góc $ABC$.
4. Giải phương trình
   $$\arcsin\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\cos x\right)+\arccos\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\sin x\right)=\frac{\pi}{2}$$
5. Tại đáy của tứ giác paramid $SABCD$ có các góc vuông $ABCD$, $AB=5$, $BC=2$. Được biết là $SB=4$, $SA=3$, $SC=x$, $SD=y$. Tại giá trị nào của $x$ và $y$ thì âm lượng của paramid là lớn nhất, âm lượng này bằng bao nhiêu?
   Phương án 2 (khoa khoa học tự nhiên và địa chất-địa vật lý)
6. Một parabol có đỉnh trên trục $Ox$ tiếp tuyến với đường thẳng đi qua các điểm $A(-1, -1)$ và $B(4, 4)$ tại điểm $A$. Tìm phương trình của parabol.
7. Giải phương trình
   $$4\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos 2x-2\sin^2 x=\sin 2x$$
8. Một vòng tròn được bao quanh một tam giác vuông $ABC$ bằng các khớp nối bằng đồng $AC=5$, $BC=12$. Điểm $E$, $G$ là trung điểm của các cung nhỏ hơn $AC$, $BC$ của đường tròn này, điểm $F$ là trung điểm của các cung $AB$ không chứa điểm $C$. Tìm diện tích tứ giác $AEFG$.
9. Giải phương trình
   $$\log_{x+2}\log_2\log_{x+3}(11x^2+46x+48)=0$$
10. Tất cả các cạnh của lăng trụ tam giác đều $ABCA_1B_1C_1$ có đáy $ABC$ đều bằng 1. Lăng kính $AKLA_2K_2L_2$ có ​​các cạnh bên $AA_2$, $KK_2$, $LL_2$ đối xứng với lăng kính $ABCA_1B_1C_1$ so với điểm $A$. Điểm $E$ thuộc đoạn $AK$, $AE:EK=1:3$, điểm $F$ thuộc đoạn $K_2L_2$, $K_2F:FL_2=3:5$. Tìm độ dài của đoạn thẳng mà đường thẳng $EF$ cắt lăng kính $ABCA_1B_1C_1$.

Lựa chọn 3 (khoa cơ khí, toán học và kinh tế)

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 7^{2x}+4^{2y+1}=85, \\ 7^x-4^y=5. \end{cases}$$
2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
   $$\frac{\sin 2x-0,8\cos x+1}{\sin \frac{x}{2}}=5\cos \frac{x}{2},$$
   nằm trên đoạn $\left[\frac{5\pi}{6}; 2\pi\right]$.
3. Trong một tam giác tù $ABC$ có diện tích $24\sqrt{5}$ các đường trung tuyến $AN$, $CM$ cắt nhau tại các góc arccos $\frac{2}{3}$. Tìm các cạnh của tam giác nếu $AN-CM=3$.
4. Với giá trị nào của tham số $a$ phương trình
   $$ax^2+3x+2a^2-3=0$$
   chỉ có số nguyên lời giải?
5. Đáy của hình lăng trụ tam giác đều $ABCA_1B_1C_1$ có một tam giác đều $ABC$ có cạnh 2, các cạnh $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đều bằng 1. Điểm $K$ là điểm giữa của cạnh $AB$, điểm $L$ là điểm giữa của cạnh $B_1C_1$, điểm $M$ là giữa cạnh $A_1B_1$, điểm $N$ là giữa cạnh $AC$. Các mặt phẳng song song được vẽ thông qua các đường thẳng $KL$, $MN$. Tìm thể tích phần lăng trụ chứa giữa các mặt phẳng này.

Phương án 4 (Khoa Vật lý)

1. Giải phương trình
   $$\text{ctg}x+\frac{\text{ctg}^2x}{3}+\frac{\text{ctg}^3x}{9}+\frac{\text{ctg}^4x}{27}=0.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\left(2^{x+1}-3^{x+1}\right)\sqrt{2^{2x}-2^{x+3}\cdot3^x+11\cdot3^{2x}} \geq 0.$$
3. Trong tam giác song song $ABCD$, các điểm $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Được biết, đường phân giác của góc $C$ chia diện tích tam giác $AMD$ làm đôi. Tìm độ dài cạnh $AD$ nếu $CD=4$.
4. Tìm tất cả lời giải hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} x^2-6x+6y \leq 0, \\ y^2-2xy+9 \leq 0. \end{cases}$$
5. Ở đáy của lăng kính tứ giác $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có một hình thoi $ABCD$ có cạnh 5 và đường chéo $AC=8$. Các cạnh $AA_1$, $BB_1$, $DD_1$ được xáo trộn và chạm vào mặt phẳng $ABCD$ tại điểm $C$. Tìm bán kính của quả bóng.

Phương án 5 (khoa học tự nhiên vật lý và địa chất-địa vật lý)

1. Giải phương trình
   $$\lg \frac{4x^2+1}{2-x}+\lg \frac{2-x}{11x+4}=0.$$
2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
   $$\frac{\sin 2x-0,8\cos x+1}{\sin \frac{x}{2}}=5\cos \frac{x}{2},$$