Các phép biến đổi hình học

52

và cúi xuống những cuốn sổ ghi chép với các điều khiển được chỉ định.”

Năm 1913, các cộng tác viên của Rutherford đã thử nghiệm công thức của Rutherford về sự tán xạ hạt α bằng cách đếm các lần nhấp nháy quan sát được ở các góc khác nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau và đã xác nhận nó. Điều này chắc chắn cho thấy tính đúng đắn của mô hình hạt nhân.atoma. Vì một hệ điện tích đứng yên không thể ở trạng thái cân bằng ổn định, Rutherford đã từ bỏ mô hình nguyên tử tĩnh và cho rằng các electron trong nguyên tử chuyển động xung quanh hạt nhân, mô tả quỹ đạo cong. Nhưng trong trường hợp này, electron phải chuyển động với gia tốc và theo điện động lực học cổ điển, phát ra sóng điện từ, do đó, phải kèm theo sự mất năng lượng. Cuối cùng, electron phải rơi vào hạt nhân.

Niels Bohr đã tìm ra lối thoát cho mâu thuẫn này. Nhưng như người ta nói, đó lại là một câu chuyện hoàn toàn khác. Còn thí nghiệm của Rutherford thì sao? Có phải bây giờ chúng chỉ quan trọng đối với lịch sử vật lý? Hóa ra là không. Điều thú vị là gần 60 năm sau, vào những năm 70, phương pháp thăm dò vật chất bằng hạt alpha của Rutherford bắt đầu được sử dụng rộng rãi trong các phòng thí nghiệm để nghiên cứu cấu trúc của tinh thể, xác định vị trí của các tạp chất khác nhau trong chúng và xác định thành phần của chúng. Hiện nay nó được gọi là phương pháp tán xạ nghịch đảo Rutherford. Chỉ có nguồn của các hạt α không phải là các mảnh radium mà là các máy gia tốc mạnh, giúp thu được dòng lớn của chúng với năng lượng cao. Và nguyên mẫu của họ là một hộp chì nhỏ đựng muối radium, như bạn còn nhớ, Tiến sĩ Rutherford đã dứt khoát từ chối chia tay với hải quan Mỹ.

M. Yu. Ditsilov

Matematika8,9,10

Các phép biến đổi hình học

Phần II: Các phép biến đổi tương tự

Trong Phần I của bài viết này, được đăng trong số cuối cùng «Kvant», chúng tôi đã nói về việc làm thế nào trong lời giải hình học bài toán mười hai được sử dụng. Ở đây chúng ta sẽ nói về ứng dụng của một lớp biến đổi hình học rộng hơn: các phép biến đổi tương tự.

Sự định nghĩa. Phép đồng nhất có tâm O và hệ số k≠0 là một phép biến đổi trong đó ảnh của một điểm A tùy ý là một điểm A’ sao cho OA’=k·OA.

53

Điểm cố định có vách đơn của một đồng âm (tại $k \neq 1$) là tâm của nó. Nếu $k > 0$ thì các điểm $A$ và $A'$ nằm trên đường thẳng $OA$ ở một phía của tâm đồng âm, nếu $k < 0$ thì ở hai phía đối diện. Tại $k = -1$ tính đồng nhất là sự đối xứng trung tâm (xoay quanh điểm $O$ x $180^\circ$).

Một đồng âm có hệ số dương $k$ dịch từng tia kết hợp với tia đó và do đó, không làm thay đổi hướng của các hình tam giác. Một đồng âm có hệ số âm $k$ có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của một đồng âm có hệ số dương $|k|$ và phép quay quanh tâm $180^\circ$. Trong trường hợp này, mỗi tia biến đổi thành một tia hướng ngược lại với nó, nhưng hướng của các hình tam giác không thay đổi.

Chúng ta hãy xem xét thành phần của tính đồng nhất và phép quay có tâm chung. Giả sử, dưới sự đồng nhất với tâm $O$ và hệ số $k$, điểm $A$ đi đến điểm $A'$, và khi quay quanh điểm $O$ theo góc $\varphi$ (hãy nhớ rằng xoay chúng ta luôn có nghĩa là quay ngược chiều kim đồng hồ), điểm $A'$ đi đến điểm $A''$ (hình 1). Thành phần của họ lấy điểm $A$ đến điểm $A''$. Dễ dàng kiểm tra rằng kết quả không thay đổi nếu trước tiên chúng ta thực hiện phép quay và sau đó là phép đồng nhất.

Thành phần đồng tính và phép quay có tâm chung là tính tương đồng. Nếu hệ số đồng nhất dương thì chế phẩm được gọi là phép quay giống tâm. Chúng ta hãy giới thiệu ký hiệu sau: $R_O^\varphi$—quay quanh điểm $O$ theo góc $\varphi$; $H_O^k$ — đồng âm với tâm $O$ và hệ số $k$; $\Pi_{k,\varphi}^O$ là phép quay giống tâm với tâm $O$, hệ số $k$ và góc quay $\varphi$. Vì vậy, $\Pi_{k,\varphi}^O = R_O^\varphi \cdot H_O^k = H_O^k \cdot R_O^\varphi$, $k > 0, 0 \leqslant \varphi < 360^\circ$.

Với phép quay giống tâm, góc giữa tia bất kỳ và ảnh của nó bằng góc quay. Điều này xuất phát từ thực tế là với tính đồng nhất có hệ số dương, tia sáng đi vào tia đồng hướng và khi quay, góc giữa ảnh bất kỳ và ảnh của nó bằng góc quay (xem Định lý 1 của Phần I trong số trước «Kvant»).

Phép quay và tính đồng nhất bảo toàn hướng của các hình tam giác, có nghĩa là phép quay giống tâm cũng bảo toàn hướng đó. Các phép đồng nhất và phép quay giống tâm, cũng như các phép dịch song song, được gọi là các phép biến đổi tương tự loại một.

Tính đồng nhất, phép quay quanh một điểm và phép biến đổi đồng nhất có thể được coi là trường hợp đặc biệt của phép quay giống tâm $\Pi_{k,\varphi}^O$: đối với $\varphi = 0$ là đồng tính $H_O^k$, đối với $k = 1$ là phép quay $R_O^\varphi$, đối với $k = 1$ và $\varphi = 0$ thì đó là phép biến đổi đồng nhất.

Các phép biến đổi tương tự loại thứ nhất có thể được định nghĩa, giống như các chuyển động loại thứ nhất, là các phép biến đổi mặt phẳng trong đó tất cả các khoảng cách được nhân với cùng một số dương và hướng của tất cả các tam giác được giữ nguyên. Chứng minh tương tự Định lý 2 phần I.

Định lý 1. Mọi phép biến đổi tương tự loại thứ nhất đều là phép quay giống tâm hoặc phép dịch song song (nghĩa là định nghĩa ban đầu của chúng ta về phép biến đổi tương tự loại thứ nhất tương đương với định nghĩa cuối cùng).

Kết quả. Cấu tạo của hai vòng quay tâm là một vòng quay tâm hoặc một chuyển động tịnh tiến song song.

Chúng tôi không chứng minh những tuyên bố này, giới hạn bản thân ở thực tế sau đây.

Định lý 2. Thành phần của hai phép quay tâm $\Pi_{k,\varphi}^A$ và $\Pi_{k,\varphi}^B$ tại $k_1 k_2 = 1$ là chuyển động loại một: quay nếu $\alpha + \beta \neq 360^\circ$, và tịnh tiến song song nếu $\alpha + \beta = 360^\circ$.

54

Bằng chứng. Tổ hợp hai điểm tương đồng loại một có hệ số $k_1$ và $k_2$ là tổ hợp hai điểm tương đồng loại một có hệ số $k_1 k_2$. Vì $k_1 k_2 = 1$, bố cục $F = \Pi_B^{k_2, \beta} \circ \Pi_A^{k_1, \alpha}$ là chuyển động loại thứ nhất, trong đó mỗi tia đầu tiên quay qua góc $\alpha$, sau đó qua góc $\beta$, và kết quả là qua góc $\alpha + \beta$. Do đó, nếu $\alpha + \beta \neq 360^\circ$ thì $F$ là phép quay quanh một điểm nhất định một góc $\alpha + \beta$; nếu $\alpha + \beta = 360^\circ$ thì $F$ là chuyển giao song song.

Kết quả. Thành phần của ba điểm tương đồng $F = \Pi_C^{k_3, \gamma} \circ \Pi_B^{k_2, \beta} \circ \Pi_A^{k_1, \alpha}$ là một phép biến đổi đồng nhất khi và chỉ khi $k_1 k_2 k_3 = 1$, tổng các góc quay bằng $360^\circ$ hoặc $720^\circ$ và phép biến đổi $F$ có một điểm cố định.

Để chứng minh hệ quả này cần sử dụng hệ quả của Định lý 1.

Bài tập

1. Cho hai hình vuông có hướng giống nhau $ABCD$ và $AB'C'D'$. Tìm góc giữa các tia $BB'$ và $CC'$.
2. Tìm một bài hát
   $$\Pi_C^{k, 120^\circ} R_B^{120^\circ} R_A^{120^\circ},$$
   nếu $ABC$ là tam giác đều hướng âm.
3. Tìm các góc của tam giác $MNP$ nếu bố cục
   $$\Pi_N^{1/k, 90^\circ} \Pi_P^{k, 90^\circ} R_M^{180^\circ}$$
   có một điểm cố định.

Tại Olympic Trường Quốc tế XVII năm 1975, nhiệm vụ sau đã được đề xuất, có thể dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng phép biến đổi thành phần *).

*)Lời giải đề xuất bởi 3. A. Skopets (tạp chí “Matematika ở trường”, 1977, số 6).

Bài toán. Trên các cạnh của một tam giác tùy ý $ABC$, các tam giác $ABM$, $BCN$ và $CAP$ được dựng bên ngoài tam giác đó sao cho $\angle CAP = \angle CBN = 45^\circ$, $\angle ACP = \angle BCN = 30^\circ$, $\angle ABM = \angle BAM = 15^\circ$. Chứng minh rằng $\angle PMN = 90^\circ$ và $PM = MN$.

Lời giải. Cho tam giác $ABC$ có hướng dương (hình 2, a). Hãy xem xét thành phần

$$F = \Pi_N^{1/k, 105^\circ} \circ \Pi_P^{k, 105^\circ} R_M^{150^\circ},$$

ở đâu $k = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \sqrt{2}$.

Chúng tôi có:

$$R_M^{150^\circ}(B) = A, \Pi_P^{k, 105^\circ}(A) = C,$$

$$\Pi_N^{1/k, 105^\circ}(C) = B.$$

Do đó, $F(B) = B$, tức là $B$, là một điểm cố định của phép biến đổi $F$. Vì tích của các hệ số tương tự bằng 1 và tổng các góc quay bằng $360^\circ$ nên chúng ta thu được rằng $F$ là phép biến đổi danh tính.

Các góc của tam giác $MNP$ có thể được tìm bằng cách dựng ảnh của điểm $M$ với bố cục $F$ (hình 2, b). Xét rằng $F(M) = M$, chúng ta có

$$R_M^{150^\circ}(M) = M, \Pi_P^{k, 105^\circ}(M) = M',$$

$$\Pi_N^{1/k, 105^\circ}(M') = M.$$

Các hình tam giác $PMM'$ và $PAC$ (cũng như các hình tam giác $NMM'$ và $NBC$) giống nhau và có cùng hướng. Các hình tam giác $PMM'$ và $NMM'$ giống nhau và ngược chiều nhau, $MM'$ là cạnh chung, nghĩa là chúng bằng nhau; do đó $\angle PMN = 90^\circ$ và $PM = MN$.