Các đường phân giác, nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác

40

Đường phân giác, đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoài của một tam giác

Như bạn đã biết, các đường phân giác của các góc trong của một tam giác cắt nhau tại một điểm - ở tâm của đường tròn nội tiếp. Nhưng ít người biết rằng bán kính r của đường tròn nội tiếp có liên hệ với chiều cao của tam giác theo tỉ số
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}.$$

Đường phân giác của góc A của một tam giác chia cạnh đối diện thành các đoạn $$\frac{ab}{b+c}$$ và $$\frac{ac}{b+c}$$, chúng liên hệ với nhau bằng cách ứng dụng các cạnh của tam giác b và c vào chúng. Bản thân đường phân giác được chia cho điểm O của giao điểm của các đường phân giác đối với $(b+c):a$.

Độ dài đường phân giác vẽ từ đỉnh A bằng $$\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c},$$ và khoảng cách từ điểm A đến tâm đường tròn nội tiếp bằng $$\sqrt{\frac{(p-a)bc}{p}},$$ trong đó p là nửa chu vi của tam giác.

Không khó để dựng một hình tam giác bằng cách sử dụng các cạnh của nó bằng compa và thước kẻ. Việc thực hiện điều này bằng phương tiện hoặc theo chiều cao sẽ khó khăn hơn một chút. Nhưng không thể dựng một tam giác bằng các đường phân giác (trong trường hợp tổng quát).

Nếu vẽ cả ba đường phân giác của các góc ngoài của một tam giác thì sẽ tạo thành ba điểm giao nhau của chúng, mỗi điểm cách đều các đường thẳng mà các cạnh của tam giác đó nằm trên đó. Do đó, có thể vẽ một đường tròn có tâm tại điểm đó, chạm vào tất cả các cạnh của tam giác hoặc phần mở rộng của chúng. Những vòng tròn như vậy được gọi là vòng tròn ngoài chip.

Tổng các giá trị bán kính $\rho_a$, $\rho_b$ và $\rho_c$ của các hình tròn bên ngoài bằng nghịch đảo của bán kính hình tròn nội tiếp tam giác này:
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{\rho_a} + \frac{1}{\rho_b} + \frac{1}{\rho_c}.$$

Chúng ta hãy đưa ra hai biểu thức tao nhã về diện tích của một tam giác theo bán kính của các đường tròn nội tiếp và bên ngoài:
$$S = \sqrt{r\rho_a\rho_b\rho_c},$$
$$S = \frac{a\rho_b\rho_c}{\rho_b + \rho_c}.$$

41

Các đường thẳng trong một tam giác nối các đỉnh của nó với các điểm tiếp tuyến của các đường tròn bên ngoài cắt nhau tại một điểm, điểm này được gọi là điểm Nagel để vinh danh nhà toán học người Đức August Nagel (1821-1903), người đã phát hiện ra nó.

Nếu bạn vẽ một đường tròn đi qua các đáy của các đường cao của một tam giác đã cho thì nó sẽ đi qua trung điểm các cạnh của tam giác này và đi qua trung điểm của các đoạn đường cao của tam giác từ điểm giao nhau của chúng đến các đỉnh. Đường tròn này được gọi là đường tròn điểm thứ chín. Đường tròn của điểm thứ chín chạm vào đường tròn ngoài của tam giác này.

Điều tò mò là các đoạn nối tâm của đường tròn nội tiếp trong tam giác với tâm của các đường tròn bên ngoài lại được chia đôi bởi đường tròn được mô tả trong tam giác tròn.

Dễ dàng chứng minh rằng một tam giác cân có các đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác bằng nhau kéo dài từ hai đầu đáy. Không khó hơn nhiều khi chứng minh rằng nếu hai đường cao hoặc hai đường trung tuyến của một tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Khẳng định này cũng đúng với các đường phân giác, nhưng cách chứng minh của nó khá phức tạp. Bản thân tuyên bố này được gọi là định lý Steiner-Lemus.

41