Olympic Toán Canada

75

Olympic Toán học của Đức

Các kỳ thi Olympic toán học dành cho học sinh ở Đức đã được tổ chức từ năm 1970. Bất kỳ ai cũng có thể tham gia cuộc thi Olympic tương ứng đầu tiên: các áp phích có điều kiện bài toán được mang ra khắp các trường học và trong vòng hai tháng, học sinh phải gửi lời giải của mình. Số lượng học sinh loại 1 ở các năm khác nhau dao động từ 500 đến 3000 người. Những người chiến thắng ở loại thứ nhất được mời vào vòng thứ hai. Ở vòng đầu tiên và vòng thứ hai, 4 bài toán được đưa ra. Những người chiến thắng trong Thế vận hội được xác định theo loại thứ ba - của chính họ.

Dưới đây chúng tôi trình bày một số bài toán của hai vòng đầu tiên.

1 (1971, tôi đánh máy). Trên bàn cờ có kích thước $n \times n$ ô, trong một nước đi, bạn được phép di chuyển đến một trong các ô sau: 1) ô liền kề từ trên xuống; 2) bên cạnh bên phải; 3) cái liền kề ở phía dưới bên trái. Chứng minh rằng từ mỗi ô không thể đi đến ô liền kề bên phải bằng cách nâng lên đúng một lần trong mỗi ô.

2 (1972, tôi đánh máy). Đặt $f(n) = [n + \sqrt{n} + 0, 5]$, trong đó $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng $f(n)$ nhận tất cả các giá trị tự nhiên ngoại trừ các hình vuông hoàn hảo. ($[x]$ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.)

3 (1973, tôi đánh máy). Cho một số $a = 0$, $a_1 \dots a_n$, ký hiệu thập phân của số đó chứa $n$ chữ số thập phân. Có phải luôn luôn có một số tự nhiên $N$ sao cho các chữ số $n$ đầu tiên của $\sqrt{N}$ sau dấu thập phân trùng với $a$?

4 (1974, tôi đánh máy). Độ dài các cạnh của một tứ giác trường học là $a, b, c$ và $d$. Điều kiện cần và đủ để tứ giác này là hình thang hoặc hình bình hành ở một trong các vị trí của nó là gì?

5 (1975, tôi đánh máy). Những tứ giác nào có hai đường chéo vừa vuông góc vừa ngoại tiếp?

6 (1975, loại II). a) Tỉ số giữa trung bình cộng của hai số tự nhiên và trung bình nhân của chúng là một số tự nhiên. Chứng minh rằng cả hai số này đều bằng nhau.

6. Bác bỏ phát biểu bài toán a) trong trường hợp tỉ số giữa các số tự nhiên và trung bình hình học của chúng.

7 (1978, tôi đánh máy). Tổng số dư $r(n)$ của một số tự nhiên $n$ là tổng các số dư khi chia $n$ cho tất cả các số tự nhiên từ 1 đến $n$. Chứng minh rằng tổng số dư của các số $2^n - 1$ và $2^n$ bằng nhau.

8 (1978, tôi đánh máy). Đặt $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt là ảnh của các điểm $A, B$ và $C$ đối xứng với các điểm $B, C$ và $A$. Dựng tam giác $ABC$ cho tam giác $A_1B_1C_1$.

9 (1978, loại II). Số nguyên tố $p$ có đặc tính là bất kỳ số nào thu được từ $p$ bằng cách sắp xếp lại các chữ số của nó đều là số nguyên tố. Chứng minh rằng ký hiệu thập phân của số $p$ có ​​không quá ba chữ số khác nhau.

10 (1979, loại II). Trong dãy số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$, …, mỗi số hạng cuối cùng được lấy từ số hạng trước bằng cách gán cho nó ở bên phải (tức là ở cuối) một số khác 9. Chứng minh rằng có vô số hợp số trong dãy số này.

11 (1979, loại II). Cho một đường tròn có bán kính $R$. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn nội tiếp tất cả các tam giác có thể nội tiếp trong đường tròn đã cho.

12 (1980, loại II). Trên các cạnh $AB, BC$ và $CA$ của tam giác $ABC$ các điểm $P, Q$ và $R$ lần lượt được lấy. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $APR, BPQ$ và $CQR$ tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác $ABC$.

13 (1981, tôi đánh máy). Chứng minh rằng nếu số $p$ là số nguyên tố thì $2^p + 3^p$ không phải là lũy thừa của một số tự nhiên.

14 (1981, tôi đánh máy). Đặt $S = a + a^2 + \dots + a^n$, trong đó $a \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng chữ số cuối cùng của số $S$ bằng 1 khi và chỉ khi chữ số cuối cùng của số $a$ và $n$ đều bằng 1.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi V. V. Praslov

Olympic Toán Canada

Kỳ thi Olympic Toán quốc gia ở Canada đã được tổ chức từ mùa thu năm 1968. Trước đó, ở tất cả các tỉnh thành của đất nước này, việc hoàn thiện toán học của học sinh đã được thực hiện trong nhiều năm, đến nỗi Olympic chung đã trở thành sự hoàn thiện của công việc này.

Những người tham gia bốn kỳ Olympic đầu tiên đã chống trả lại các kỳ Olympic cấp tỉnh nghèo khó. Phương pháp này sau đó đã được mở rộng. Bây giờ hiệu trưởng các trường THCS đã quyết định đích thân đề cử học sinh

76

trường của họ, theo ý kiến ​​của họ, xứng đáng được tham gia vào cuộc thi chung.

Dưới đây là một số bài toán Olympic toán Canada.

1 (1969). Đặt $f$ là một hàm có các thuộc tính sau:

1. $f(n)$ được xác định cho bất kỳ $n$ tự nhiên nào;
2. $f(n)$ — số nguyên;
3. $f(2)=2$;
4. $f(mn)=f(m)f(n)$ cho bất kỳ $m$ và $n$ nào;
5. $f(m)>f(n)$ khi $m>n$.
   Chứng minh rằng $f(n)=n$.

2 (1970). Cho một đa thức $P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$ với các hệ số nguyên $a_1, ..., a_n$. Được biết, tồn tại bốn số nguyên phân biệt $a, b, c$ và $d$ sao cho $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$ $P(k)\neq 8$.

3 (1971). Mỗi trong số $n$ biết chính xác một mẩu tin tức, và tất cả $n$ tin tức là khác nhau. Mỗi lần $A$ cuộc gọi $B$, $A$ báo cáo $B$ vậy thì tất cả những gì anh ấy biết $B$ không nói gì cả Số lượng cuộc gọi tối thiểu cần thiết để mọi người biết tất cả tin tức là bao nhiêu?

4 (1972). Chứng minh rằng phương trình $x^3+11^3=y^3$ không có lời giải ở dạng số tự nhiên.

5 (1973). Giả sử mọi số tự nhiên $n$
$$h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}.$$
Chứng minh rằng
$$n+h(1)+h(2)+...+h(n-1)=nh(n)$$
tại $n=2, 3, 4, ...$.

6 (1974). Giả sử $n$ là một số tự nhiên cho trước. Hãy tính tổng sau đây $T_n=\sum_{1\leq i<j\leq n}|x_i-x_j|$, trong đó $x_i\in R(i=1, 2, ..., n)$ và $0\leq x_i\leq 1(i=1, 2, ..., n)$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $S(n)$ giá trị tối đa có thể có $T_n$. Tìm $S(n)$.

7 (1975). Cho $k$ là một số tự nhiên. Tìm tất cả các đa thức $P(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ có hệ số thực giống như $P(P(x))=(P(x))^k$.

8 (1976). Giả sử mọi số tự nhiên $n(n\geq 1)$
$$n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1}.$$
Tìm $\frac{a_0}{a_1}+\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_{50}}{a_{51}}$ nếu $a_0=1$, $a_1=2$.

9 (1977). Thành phố Primoguolny bao gồm các khối $m\times n$ (xem hình). Người phụ nữ sống ở góc Tây Nam thành phố và công việc của cô ấy ở phía Đông Bắc. Cô ấy đi làm mỗi ngày