Bài toán M1171—M1175; F1178—F1182

30

Bài toán

M1171—M1175, F1178—F1182

M1171. Chúng ta hãy biểu thị tổng $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ bằng $h_n$. Chứng minh (với mọi số tự nhiên $n$) bất đẳng thức
$$\frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{2h_2^2} + \frac{1}{3h_3^2} + \dots + \frac{1}{nh_n^2} < 2.$$
L. D. Kurlyandchik

M1172. Góc tối đa mà các đoạn $OA$ và $OB$ có thể tạo với nhau, xuất phát từ gốc $O$ của hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian, nếu điểm $A$ có tọa độ $(x, y, z)$ và điểm $B$ có tọa độ $(y, z, x)$?

S. N. Vyshkov

M1173*. Ba đường thẳng được vẽ đi qua một điểm bên trong một tam giác có diện tích $S$ sao cho hai đường thẳng cắt nhau ở mỗi cạnh của tam giác (xem hình). Chứng minh rằng diện tích $S_1, S_2, S_3$ của ba tam giác thu được thỏa mãn bất đẳng thức
$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} \geq \frac{9}{S}.$$
G. N. Zaitsev

M1174*. Dãy số nguyên $a_1, a_2, a_3, \dots$ được cho bởi điều kiện $a_1 = 1, a_2 = 12, a_3 = 20,$
$$a_{n+3} = 2a_{n+2} + 2a_{n+1} - a_n \quad (n = 1, 2, \dots).$$
Chứng minh rằng với mọi số $n$ thì số $1 + 4a_n a_{n+1}$ là bình phương của một số nguyên.

P. Kozarev và S. Doychev (Volgaria)

M1175*. Với những số tự nhiên nào $n$ thì phát biểu sau đây là đúng: cho dù có bao nhiêu $n$-giác đều nhau được đặt trên một mặt phẳng, thì một trong số chúng có thể bị xoắn theo một hướng nhất định mà không cần xác định những số còn lại? (Bạn không thể xoay $n$-giác, nghĩa là tất cả các tia phát ra từ các điểm của $n$-giác đã chọn theo hướng mong muốn sẽ không xác định được các $n$-giác còn lại.)

D. A. Tereshin

F1178. Một tấm ván ép rơi vào không gian. Hóa ra tại một thời điểm nào đó vận tốc của hai điểm trên tấm $a$ và $b$ bằng nhau - $\vec{v}_a = \vec{v}_b = \vec{v}$ - và nằm trong mặt phẳng của tấm. Hóa ra, tốc độ của điểm trang tính $c$, nằm từ các điểm $a$ và $b$ ở khoảng cách bằng khoảng cách giữa các điểm $a$ và $b$, cao gấp đôi tốc độ $v$. Điểm trên tờ giấy lúc này có tốc độ bằng $3v$ ở đâu?

K. S. Serdeev

F1179. Nếu sét đánh xuống mặt nước trong cơn giông bão, thì sau cơn giông đôi khi người ta nhìn thấy một con cá nổi trên mặt hồ. Làm thế nào để giải thích điều này? Suy cho cùng, xác suất sét đánh trúng một ngư dân là rất nhỏ.

A. I. Buzdin