Bài toán M1176—M1180; F1183—F1187

31

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. Các nhiệm vụ được xuất bản trong đó không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường.

bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 10 năm 1989 đến địa chỉ: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được đính kèm trong các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 8-89” và các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ “M1176” hoặc “F1183”. Ở cột “…địa chỉ người gửi”, vui lòng ghi riêng họ và tên của bạn. Trong thư, hãy gửi một phong bì có ghi địa chỉ của bạn (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản sẽ được bao gồm trong một phong bì riêng, được làm thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết mã số trường và lớp bạn dạy. Bài toán M1180 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối cùng của Olympic Toán học toàn Liên minh lần thứ XXIII (Riga, 1989).

Bài tập
M1176 — M1180, F1183 — F1187

M1176. Hai hình vuông AKBM và CNDL nằm trên mặt phẳng sao cho ABCD là tứ giác lồi, các điểm K và L đều nằm trong tứ giác này. Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này là $(MN^2 - KL^2)/4$.

S. A. Stolyarov

M1177. Chứng minh rằng với các số dương $x_1, x_2, ..., x_n$ không vượt quá 1 thì bất đẳng thức sau đúng:
$$(1+x_1)^{1/x_2}(1+x_2)^{1/x_3}(1+x_3)^{1/x_4}...(1+x_n)^{1/x_1} \geq 2^n.$$
K. P. Kokhas, V. M. Televka

M1178. a) Chứng minh rằng với tam giác không tù ABC có các cạnh a, b, c, đường tròn nội tiếp bán kính r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bất đẳng thức sau có giá trị:
$$2(R+r) \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
6) Trong những điều kiện nào thì sự bất bình đẳng này biến thành sự bình đẳng?

Z. A. Skopets

M1179. Tìm $a_{1000}$ nếu $a_1=0$ và cho $n=1, 2, 3, ...$

a) $a_{n+1} = \frac{n}{n+1}(a_n+1)$;

b) $a_{n+1} = \frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_n+1)$;

b) $a_{n+1} = \frac{n(n+1)(n+2)}{(n+3)(n+4)(n+5)}(a_n+1)$.

V. A. Vergezim

M1180. Trên một trong hai mặt cầu giao nhau cho trước lấy các điểm A và B, mặt khác - C và D. Đoạn AC đi qua điểm chung của hình cầu. Đoạn BD đi qua một điểm chung khác của hình cầu và song song với đường thẳng chứa tâm của hình cầu. Chứng minh rằng hình chiếu của các đoạn AB và CD lên đường thẳng AC bằng nhau.

I. F. Sharytsin

F1183. Xe buýt di chuyển với tốc độ không đổi $u=60$ km/h, dừng lại rất lâu. Ngoài trời đang có gió và mưa. Những hạt mưa được hình thành trên cửa sổ bên của xe buýt như hình ảnh trong hình 1. Tốc độ và hướng gió không thay đổi. Tốc độ của hạt mưa rơi là bao nhiêu? Bạn có thể nói gì về tốc độ gió? Đường thẳng, xe buýt không quay đầu.

A. V. Andranov

F1184. Một thanh sắt hình trụ dài 10 cm được nung trên ngọn lửa của bếp gas. Nhiệt độ của đầu nóng của thanh hóa ra là 700 ° C, ở khoảng cách 1 cm với nó - 500 ° C, 2 cm - 300 ° C, 3 cm - 200 ° C, 5 cm - 150 ° C, nhiệt độ của đầu kia