Hình học tội phạm, hay một vấn đề nguyên tắc

47

Hình học tội phạm, hay Trường hợp Priitspa

(hướng dẫn phương pháp luận trong một màn)

D. V. Fomin

Sân khấu tối om. Giai điệu vang lên nhẹ nhàng (xem phần giới thiệu). Đèn bật sáng. Phòng khách tại 221-6 Phố Baker. Sherlock Holmes ngồi xem tờ báo buổi tối. Nhập Batcon.

Holmes. Xin chào bạn của tôi. Tôi thấy rằng bạn đã quyết định quên đi y học một thời gian và dành thời gian cho hình học.

Dơi. Nhưng làm thế nào…?

Holmes. Bạn gặp vấn đề về Trò đùa hàng ngày của ngày hôm qua trong túi của bạn với một cuộc thi hình học bài toán. Rõ ràng là bạn đã tốn rất nhiều công sức để cố gắng đánh bại ít nhất một trong số bài toán.

Dơi. Tuy nhiên, Holmes, bạn lấy ý tưởng từ đâu ra rằng tôi không giải được một bài toán nào? Đúng, là như vậy… (Ngồi xuống).

Holmes. Đừng gay gắt thế, Batcon thân mến. Nhân tiện, tất cả những vấn đề bài toán này có thể được giải quyết trên thực tế theo cùng một cách, tất nhiên, nếu bạn tiếp cận chúng một cách chính xác. Đúng là tôi chưa xem bài toán cuộc thi này, nhưng… Tuy nhiên, hãy cùng xem qua.

Bài toán 1. Điểm O nằm bên trong hình vuông ABCD, các góc OCB và OBC có độ lớn là 15 độ.

48

Dusov. Chứng minh tam giác OAD là tam giác đều.

Watson (giơ tay). Xét về độ bí ẩn của nó, bài toán này làm tôi nhớ đến vụ treo cổ Shah Ba Tư. Bạn có nhớ không, Holmes?

Holmes. Bạn đang nói về cái gì vậy, bạn của tôi! Tôi đang đặt ra lời giải cho bạn ngay bây giờ. Hãy sử dụng “nguyên tắc đảo ngược” ở đây. Tôi hy vọng rằng từ lời giải bạn sẽ hiểu nó là gì. Xét điểm X là tam giác đều có hai đỉnh là A và D.

Watson. Nhưng có hai điểm như vậy.

Holmes. Tất nhiên, chúng ta sẽ lấy cái nằm bên trong hình vuông. Hãy tìm các góc XBC và XCB. Chà, Watson, đây, với tư cách là một tín đồ của khoa học chính xác, bạn nắm trong tay những quân bài. Bạn đã đếm chưa?

Watson. Bây giờ… Chúng ta phải lợi dụng thực tế là BAX và XCD là các tam giác đều. Ba! Tại sao những góc này lại bằng 15 độ! Ừm, vậy thì sao…

Holmes. Nhưng điều này có nghĩa là điểm O và X trùng nhau. Đây là điều cơ bản, bạn của tôi.

Watson. Đòi hỏi! Nhưng… trong bài toán thứ hai, nguyên tắc này của bạn sẽ không giúp ích được gì.

Holmes. Được rồi, chúng ta sẽ sử dụng cái khác. Vì thế

Bài 2. Trong tứ giác lồi ABCD, độ dài các cạnh (theo chiều kim đồng hồ) là a, b, c, d. Chứng minh diện tích tứ giác ABCD không vượt quá

$$\frac{1}{4}(a+b)(c+d).$$

Đúng, bài toán này là một loại hoàn toàn khác…

Bất bình đẳng. Tôi, Watson, nhớ ngay mật mã của giáo sư Moriarty.

Watson (mộng mơ). Vâng, đó là một điều khó khăn. Tuy nhiên, chúng ta vẫn phải đền đáp xứng đáng cho anh ấy, anh ấy là một nhà toán học vĩ đại… Nhưng anh lạc đề rồi, Holmes.

Holmes. Anh là người đã để ý đấy, Watson. Và trong thời gian này tôi đã giải quyết được bài toán của bạn. Nghe. Đầu tiên chúng ta hãy mở ngoặc:

$$\frac{1}{4}(a+b)(c+d) = \frac{1}{4}(ad+bc) + \frac{1}{4}(ac+bd).$$

Tôi ngay lập tức nghĩ đến việc đơn giản hóa biểu thức này và cùng với đó là cách tiếp cận lời giải bài toán. Hãy nhớ, Watson, “nguyên tắc đơn giản hóa”: trước tiên bạn cần đi qua những con đường đơn giản và tự nhiên nhất lời giải bài toán.

Watson. Nhưng bản thân tôi đã khéo léo chứng minh rằng tổng ad + bc không nhỏ hơn hai lần diện tích tứ giác: ad không nhỏ hơn hai lần diện tích tứ giác ABD và bc không nhỏ hơn hai lần diện tích tứ giác BCD - chỉ vậy thôi. Phải làm gì với biểu thức ac+bd?

Holmes. “Nguyên tắc phân tích” sẽ giúp chúng ta ở đây. Bạn chỉ cần suy nghĩ một cách nhất quán và logic, bạn của tôi - điều này là cần thiết trong toán học, cũng như trong tội phạm học. Bạn đã thành công như thế nào trong lần đánh giá trước? Nó giúp cho các cạnh a, d và b, c nằm cạnh nhau phải không? Điều này có nghĩa là chúng ta cần đảm bảo rằng a và c ở gần nhau.

Watson. Còn b và d thì sao?

Holmes. À, hãy tự suy nghĩ đi, Watson, nếu a và c ở gần nhau thì b và d, tất nhiên,

49

nhưng họ cũng sẽ ở gần đây. Vì vậy, bạn phải luôn kiểm tra xem có điều kiện nào là thừa không. Nhưng nhân tiện đây là điều này. Vậy tứ giác của chúng ta cần phải làm gì để diện tích không thay đổi, các cạnh $a$ và $c$ ở gần nhau?… Còn bạn thì sao… Kho của bạn có ở bên bạn không?

Watson (không hiểu). Không, không phải với tôi. Tại sao bạn cần nó… (Nhìn vào bức vẽ và đột nhiên hiểu ra.) Thiên tài! Trên thực tế, bạn chỉ cần cắt $ABCD$ theo đường chéo $BD$ và… và lật một trong các bộ phận lại. Khi đó, tất nhiên, lý luận theo cách tương tự như trước, chúng ta thấy rằng $ac+bd$ không nhỏ hơn hai lần diện tích của tứ giác. Chúng tôi thêm điều này vào bất đẳng thức đầu tiên và nhận được những gì chúng tôi cần. Tuyệt vời!

Holmes. Lưu ý rằng ở đây chúng tôi cũng sử dụng “nguyên tắc động”, thay đổi dữ liệu của nó trong quá trình thực hiện lời giải bài toán. Nói chung đây là một nguyên tắc tuyệt vời. Nó nói: thay đổi mọi thứ quan trọng đối với bạn thành nhiệm vụ - từ ngữ, dữ liệu bài toán, những gì bạn cần chứng minh - chỉ

lời giải của cái mới bài toán sẽ cho lời giải của cái cũ. Cụ thể, ông nói: không coi dữ liệu bài toán như một thứ gì đó bị đóng băng. Chà, ví dụ, nếu bạn cần bắt một người đại diện, thì đừng quên rằng anh ta là một người sống và có thể tự do di chuyển xung quanh nơi diễn ra các hoạt động chiến đấu của bạn.

Watson. Có điều gì đó tôi không nắm bắt được…
Holmes. Nhưng Watson, hãy nhìn vào bài toán thứ ba của cuộc thi.
Watson. Nhưng tôi xin bạn, Holmes, hãy nói ngay cho tôi biết suy nghĩ của bạn, chứ không chỉ lời giải. Tôi đã bắt đầu thắc mắc. (Đứng dậy khỏi ghế và đến gần Holmes.)
Holmes. Tôi sẽ cố gắng, bạn của tôi. Vì thế

Zadchazaza. Hai đường tròn $S_1$ và $S_2$ cắt nhau vuông góc tại các điểm $A$ và $B$. Điểm $X$ nằm trên đường tròn thứ nhất nhưng nằm bên trong đường tròn thứ hai. Các tia $]AX$ và $]BX$) cắt đường tròn $S$ tại các điểm $P$ và $Q$. Chứng minh rằng đoạn $PQ$ là đường kính của đường tròn $S_2$.

Watson. Tôi chỉ đơn giản là không hiểu tình trạng của điều này bài toán. Việc các vòng tròn giao nhau ở các góc vuông có nghĩa là gì? Rave!

Holmes. Không, Watson, điều này chỉ cho thấy rằng các tiếp tuyến của chúng tại giao điểm là vuông góc. Vì vậy, hãy xem “nguyên lý động lực học” hoạt động như thế nào ở đây. Hãy di chuyển điểm $X$ dọc theo cung $AB$ của đường tròn $S_1$ - nó sẽ trở thành điểm $X'$, và các tia $AX'$ và $BX'$ sẽ giao nhau với đường tròn $S_2$ tại các điểm $P'$ và $Q'$ - nhìn này, tôi sẽ vẽ cái này lên một mảnh giấy.

50

Rõ ràng, các góc $X'AX$ và $X'BX$ bằng nhau. Nhưng điều này có nghĩa là độ lớn góc của cung $PP'$ và $QQ'$ bằng nhau. Điều này có nghĩa là độ lớn góc của cung $P'Q'$ bằng độ lớn góc của cung $PQ$.

Watson (ngắt lời Holmes). Nhưng làm thế nào bạn có thể chứng minh chính xác điều này, Holmes?

Holmes. Nhưng bạn hãy nghĩ xem, nếu đối với bất kỳ vị trí nào của điểm $X$ trên cung $AB$ đoạn $PQ$ là đường kính, thì cho dù chúng ta di chuyển điểm $X$ như thế nào, giá trị góc của cung $PQ$ sẽ không thay đổi. Nếu những gì được yêu cầu chứng minh trong bài tập là đúng thì rõ ràng điều này cũng phải đúng. Lại là “nguyên tắc đảo ngược”.

Và bây giờ, Watson, hãy mở rộng quan điểm của chúng ta $X$ đến tận điểm $B$. Chúng ta sẽ nhận được gì? Độ lớn góc của cung $PQ$ trong trường hợp này sẽ chính xác bằng 180 độ.

Watson. Tại sao lại thế này? Ồ vâng… chúng tôi lợi dụng thực tế là các vòng tròn này giao nhau theo các góc vuông. Nhân tiện, Holmes, đây là một nguyên tắc khác: bạn phải sử dụng tất cả dữ liệu bài toán và luôn nhớ rằng chúng phải được sử dụng bằng cách nào đó! Tôi nên gọi nó là gì?

Holmes (bình tĩnh). Tôi gọi nó là “nguyên tắc canvas lời giải”.

Watson. Vâng, bạn biết đấy! Bạn có thể nghĩ rằng bạn có thứ gì đó trong mỗi túi!

Holmes. Không, bạn thân mến, tất cả đều ở trong đầu tôi. Tuy nhiên, tôi phải chỉ ra cho bạn rằng nguyên tắc vừa xảy ra với bạn này đôi khi không thể áp dụng được trong cuộc sống thực. Một số sự thật, thoạt nhìn đáng ngờ hoặc trực tiếp chỉ vào người đại diện, sau đó hóa ra chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên hoặc chỉ trích thủ phạm thực sự. Chỉ cần nhớ trường hợp của beryl deademe… Và cuối cùng, bài toán cuối cùng.

Bài toán 4. ABC là tam giác đều có góc ở đỉnh $C$ bằng 20 độ. Các điểm $M$ và $N$ được lấy ở hai bên $AC$ và $BC$ sao cho góc $NAB$ là 50 độ và góc $MBA$ là 60 độ. Chứng minh rằng góc $NMB$ bằng 30 độ.

Watson. Tôi đã cố gắng tính góc này bằng lượng giác…

Holmes. Bạn của tôi, hãy giữ gìn sức khỏe nhé! Điều tốt nhất là đọc báo, và tôi sẽ dành vài phút cho việc này bài toán.

Trong năm hoặc sáu phút, Watson đọc báo, Holmes trầm ngâm nghiên cứu hình. Nghe nhạc yên tĩnh.

Holmes. Vì vậy, Watson, hãy nghe này. Nhiệm vụ quả thực không hề dễ dàng. Chúng ta hãy xét về phía $BC$ các điểm $P$ sao cho góc $PAB$ là 60 độ. Rõ ràng là đường thẳng $PM$ song song với đường thẳng $AB$ và tam giác $PDM$ (và $D$, Watson, là giao điểm của các đoạn $PA$ và $BM$) là đều nhau. Vì tam giác $BNA$ là đều nên độ dài của các đoạn $BN$, $BA$ và $BD$ bằng nhau và các góc $BND$ và $BDN$ bằng 80 độ. Từ đây chúng ta dễ dàng suy ra góc $NDP$ bằng 40 độ. Nhưng góc $NPD$ cũng bằng 40 độ. Điều này có nghĩa là tam giác $NDP$ là tam giác đều và do đó, $MN$ là phân giác của góc $BMP$. Do đó, giá trị của góc $NMB$ bằng một nửa giá trị của góc $DMP$ và bằng 30 độ. Thế thôi.

Watson (bắt buộc). Nhưng làm thế nào?! Làm thế nào bạn có thể nghĩ ra điều này lời giải?

51

Holmes. Chà, Batcon xà phòng, có lẽ tôi có thể kể cho bạn một câu chuyện thú vị về cách tôi, với sự trợ giúp của mười nguyên tắc được lựa chọn khéo léo, đã nghĩ ra lời giải…
Đừng cười, Batcon, tất nhiên là một số nguyên tắc rất hữu ích với tôi. Ví dụ: “nguyên tắc mục tiêu” thay thế - bạn phải luôn nhớ những việc còn lại phải làm để đạt được mục tiêu của mình. À, và một số điều nhỏ nhặt khác…
Tuy nhiên, bạn của tôi, lời giải bài toán vẫn đòi hỏi một điều gì đó hơn là một bộ quy tắc tư duy tiêu chuẩn. Bạn cũng cần những thứ như kinh nghiệm và trực giác. Bạn có thực sự nghĩ rằng mọi thứ đều đơn giản như vậy - bạn chỉ cần đọc nhiều “nguyên tắc” và học cách áp dụng chúng theo trình tự nào đó? May mắn thay, suy nghĩ của con người là một thứ gì đó vô cùng rộng lớn… mặc dù, tất nhiên, những nguyên tắc này, về bản chất không gì khác hơn là những suy nghĩ sáo rỗng, có thể dẫn đến những lợi ích thực sự. Không có gì hợp lý có thể bị bỏ qua, Batcon!

Vatconn (mệt mỏi ngồi xuống ghế, cầm tờ báo lên). Ồ! Nghe này, Holmes: “Đêm qua, những kẻ vô danh, chơi đùa trong dàn ý của tờ báo Daily Joke, đã lấy trộm từ két sắt của tổng biên tập giải thưởng của cuộc thi hình học truyền thống hàng ngày bài toán - một chiếc lá Mobius vàng có kích thước thật…”, v.v., ở đây chẳng có gì thú vị cả… Ồ, đây! “…Thanh tra Robinson tuyên bố rằng cảnh sát vẫn chưa lần ra dấu vết của những người đại diện. Biên tập viên của tờ báo nói với các phóng viên rằng để đạt được sự gia tăng số lượng người đăng ký của tờ báo và cải thiện vấn đề tài chính của tờ báo, tờ báo sẽ công bố một cuộc thi mới, đặc biệt lời giải bài toán ở một trong những số tiếp theo…”

Bạn thân mến, sau những gì tôi nghe được ngày hôm nay, việc bạn phải lay chuyển những kẻ vô lại này là vấn đề nguyên tắc!

Với những lời cuối cùng, ánh đèn trên sân khấu dần tắt và trong bóng tối tiếp theo, những hợp âm cuối cùng của giai điệu đi kèm với màn trình diễn sẽ vang lên.

Bài toán của cuộc thi ngoài kệ được đề cập được đưa ra dưới đây. Hãy nhớ rằng mỗi người trong số họ đều có một điểm khác biệt nhỏ mà bạn có thể dễ dàng tìm thấy và sử dụng hơn theo nhiều nguyên tắc của một thám tử vĩ đại.

Bài toán 5. Chứng minh rằng không thể vẽ được một ngôi sao hữu hạn sao cho độ dài các đoạn AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IJ, JA (xem hình) bằng các tương ứng 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

Bài toán 6. Điểm B nằm bên trong hình chữ nhật ABCD - nội tiếp và độ dài đoạn AD bằng tổng độ dài các đoạn AB và CD. Chứng minh rằng các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau trên cạnh AD.

Bài toán 7. Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, độ dài đoạn AD bằng tổng độ dài đoạn AB và CD. Chứng minh rằng các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau trên cạnh AD.

Bài toán 8. Tên trộm cụt tay muốn dùng mũi đẩy một số đồng xu ra khỏi bàn đổi tiền mà không chạm vào các đồng tiền khác của mình (để không kêu leng keng). Liệu anh ấy có thành công không? Các đồng xu có hình tròn, kích thước của chúng có thể khác nhau và chúng nằm không chạm vào.

Bài toán 9. Một hình vuông được cắt thành nhiều hình chữ nhật. Đối với mỗi người trong số họ, chúng tôi tính toán tỷ lệ của cạnh nhỏ hơn với cạnh lớn hơn. Chứng minh rằng tổng các số này không nhỏ hơn một.