连分数

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链条柴火

N.M.贝斯金

即使在古代，科学家们也对
对于任何非整数
找到一个很好的近似值
具有较小值的分数。
文章讲的是最简单的
找到这样的分数的方法。

$$\pi = \sqrt{2}$$

1. 两个谜语

2. 阿基米德之谜。
   许多人认为，要找到非凡的东西，你必须走得很远，最好是进入太空。在我们的日常生活中，一切都是众所周知的，没有什么有趣的。

这是多么错误的观念啊！我们周围都是神秘的现象，但我们不会去思考它们，因为它们是自然的。这里我们要谈谈数学史上的两个神秘事实。

世界上所有的小学生都“学习”了一门几何课程，阿基米德发现了数字 π 的近似值

阅读$$\frac{22}{7}$$）。他们对这个事实已经习以为常，丝毫不怀疑其中隐藏着什么秘密。与此同时，人们只需要问一个自然的问题：为什么阿基米德更喜欢农村地区？为什么不是八分之一？尝试回答这个问题将把我们带入一个新的算术领域。

让我们澄清这个问题“以分数形式给出实数 α 的表达式的近似值 q”。
这意味着：在所有值为 q 的分数中，找到最接近数字 α 的分数。如果所有值为 q 的分数都绘制在数轴上，则数字 α 落在两个这样的相邻分数之间（当 α 与其中之一重合时的情况是无趣的）

$$\frac{p-1}{q} < \alpha < \frac{p}{q}.$$

从这两个分数中，选择最接近 α 的一个。例如，在 图 1 上，点 α 靠近线段 $$\left[ \frac{p-1}{q}; \frac{p}{q} \right],$$ 的右端，因此

*) 事实上，阿基米德在他的文章《论圆的测量》中对这个结果的表述略有不同。他指出了 l 的极限：

$$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}.$$

尽管 l 接近 $$3 \frac{10}{71}.$$，但 $$3 \frac{1}{7},$$ 的含义已作为更简单的值广泛使用

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应该接受
$$\alpha \approx \frac{p}{q}.$$
如果$\alpha$是线段$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right]$的中间，那么要确定条件的条件，请选择其左端。

将数字$\alpha$替换为其近似值的过程称为近似（approximation）。

从上面可以清楚地看出，要近似数字 $\alpha$，您可以使用任何值的分数。意义的选择取决于我们的愿望。为了技术上的方便，他几乎总是使用小数。然而，在求小数分数的时候，分数还没有被发明出来，阿基米德可以取出任何分数。他选择了自己。为什么？耐心点，我们很快就会解决的。

当用分数 $\frac{p}{q}$ 近似实数 $\alpha$ 时，需要出现
$$\Delta = \alpha - \frac{p}{q}$$

（记住：需要是几乎值减去近似值）。如果该值的近似值是不足的，那么需求是正的，如果是过剩的，那么需求是负的。

绝对的巨大需要称为绝对需要。

很明显，使用所选择的近似方法，绝对消耗

度不能超过$\frac{1}{2q}$（参见图1）

$$|\Lambda| \leqslant \frac{1}{2q}.$$

数字$\frac{1}{2q}$是绝对需要的上限。使用另一种近似方法，上限可能不同。例如，如果我们同意始终采用有缺点的近似值，那么它将等于 $\frac{1}{q}$。

当$\alpha$为需求中间时，绝对需求达到（最不利）情况的上限
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$

很明显，如果近似值能够以较小的 $q$ 值提供高功效，那么它是有益的。为了实现盈利，需要比较两个值：1）实际的绝对需要，2）绝对需要的上限：

$$\frac{\text{абсолютная потребность}}{\text{верхняя граница абс. погр.}} = \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| : \frac{1}{2q} = 2 \cdot |q\alpha - p|.$$

通常考虑这个量的正数。让我们根据给定的需求来带她
$$h = |q\alpha - p|$$

请记住：减少的需求$h$是实际绝对需求与最大可能需求的比率。

明显地，
$$0 < h \leqslant \frac{1}{2}$$

$h$越小，近似效果越好。如果 $h$ 接近于零，则数字 $\alpha$ 位于靠近线段末端之一的位置
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$ $h$ 越接近$\frac{1}{2}$，$\alpha$ 越接近线段的中间。

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尺寸

$$\lambda = \frac{1}{2h} = \frac{1}{2 \cdot |q\alpha - p|}$$

我们称之为盈利系数。它的含义很简单：盈利系数表示实际绝对误差比最大可能误差小多少倍。 $\lambda$越大，近似越有利。明显地，

$$1 \leqslant \lambda < \infty,$$

$$\lambda h = \frac{1}{2}.$$

不要认为较小的分数总是能给出更好的近似值！可以得出结论，当在数轴上绘制八分之一时，数字$\alpha$占据的位置不如绘制七分之一时有利。让我们用数字 $\pi$ 做一个实验，用不同的分数（从一到十分之一）来近似它。省略计算；读者可以自己复制它们。

图 2.

误差不超过0.0013，你会选择哪只股票？我们写下条件$\frac{1}{2q} \leqslant 0,0013$，从中得出$q \geqslant 385$，阿基米德通过取最小分母可以达到相同的精度。

读者，现在你相信阿基米德选择七次元不是偶然的吗？

许多世纪后，荷兰数学家阿德里安·麦修斯给出了一个近似值

$$\pi \approx \frac{355}{113}.$$

梅西亚数与阿基米德数具有相同的惊人特性：分母是 113 戈拉德

*) 计算得出$\lambda = \frac{1}{2 \cdot 0,0089} = 56,2$。要正确得到十位数，需要取$h$小数点后五位

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比其他附近的分母更有利可图。我们建议读者以与上面研究阿基米德数相同的方式来研究 Meshchi 数。例如，选择性系数是多少？

2. 格列高利十三世之谜。格列高利十三世不是数学家。他是教皇。然而，他的名字却与一个重要的数学问题联系在一起——日历问题。

大自然给了我们两个自然的时间单位：年和日（太阳）。正如一本古老的宇宙学教科书中所说的*)“到了年底，一年不等于整数天。”人们不能不同意这一点，因为上述事实会带来许多不便。但这引发了一个有趣的数学问题。

1 年 =
= 365 天 5 小时。 48 分钟46秒。
或者

1 年 = 365.242199 天。

在公民生活中不可能使这么长的一年合法化。如果您将一年视为 365 天，会发生什么？ 图 3 显示正字法，它与包含天文学和自然地理学一般信息的学校科目同名。

*) 宇宙学是所谓的学术学科，包含天文学和自然地理学的一般信息。

图 3.

地球位。 1970 年 1 月 1 日零时。地球位于 A 点。在 365 天内，它不会到达轨道上的同一点，因此，在 1971 年 1 月 1 日 0 点。会在B点，1972年1月1日-在C点，等等。事实证明，如果固定某个日期，地球在轨道上的位置每年都会不同（会滞后近6个小时）。

四年下来，滞后了几乎一天，而且固定日期会落在不同的季节，即1月1日会逐渐从冬天移到秋天，再移到夏天。这很不方便：周期性事件（种植、学年开始）无法与特定的日历日期相关联。

有一种方法可以摆脱这种情况。有的年份需要365天，有的年份需要366天，通过它们来计算，使一年的平均长度尽可能接近真实的长度。可以以任何精度再现一年的真实长度，但这可能涉及短（简单）年和长（闰）年的非常复杂的划分法则，这是不可取的。需要做出妥协：比较/不通过年份法则，这使得一年的平均长度非常接近真实的长度。

这个问题首先由尤利乌斯·凯撒解决。当然，正确的“允许”一词只能有条件地应用。这是亚历山大天文学家索西基因为他做的，他为此目的被召唤到罗马。朱利叶斯·凯撒将引入以下制度：连续三年短，连续第四年长。

很久以后，当采用基督教历法时，可以被 4 整除的年份开始被视为闰年。这个历法被称为“儒略历”。根据儒略历，一年的平均长度是

$$365 \frac{1}{4} \text{ суток} = 365 \text{ суток } 6 \text{ часов.}$$

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正如您所看到的，儒略年的平均长度比真实年份长 11 分钟。 14秒。 16世纪，教皇格列高利十三世希望纠正这一错误。 1582年，他对历法进行了如下改革。保留了简单年份和高年份之间的区别，但它补充了规则：如果年份数字是两个零，并且班次数不能被 4 整除，则查看今年。例如，据此，1700年是简单的年份，但1600年是高年份。

另外，考虑到从年表开始（从“基督诞生”开始）就已经累积了10天的误差，格列高利十三世立即加上了10天。从那时起，又累计了3天（1700年、1800年和1900年）。因此，目前儒略历与新（“公历”）历之间的差异为13天。

公历年的平均长度是多少？根据儒略历，400 年中，有 100 年是高级年份，而根据公历，有 97 年。因此

公历年的平均长度 =
= 365 $\frac{97}{400}$ 天 = 365.2425 天 =
= 365 天 5 小时。 49 分钟12秒，

即它比真实时间长 26 秒。
正如您所看到的，使用简单的方法就可以达到非常高的准确度。

在沙皇俄国，十月革命之前，他们使用儒略历。格里高利历是由人民委员会于1918年颁布的一项特别法令引入的。这就是我们目前使用的历法。它与太阳年实际长度的对应程度足以满足所有实际目的。难道可以说格列高利十三世的倒台决定是最简单、最自然的吗？请耐心等待您的答案，直至本文结束。

二.链条柴火

3. 链分数和的概念。让我们忘记十进制数字系统。正如俄罗斯杰出数学家尼古拉·尼古拉耶维奇·卢津（Nikolai Nikolaevich Luzin，1883-1950）所说，“十进制的优点不是数学上的，而是动物学上的。如果我们手上的手指不是十个，而是八个，那么人类就会使用八进制。”十进制对于实际评估来说很方便，但在研究算术理论问题时却很碍事。

因此，让我们向特殊的数字系统敞开心扉，并问自己一个问题：用分数来近似表示正数的最自然的方法是什么。

这个问题的答案是毫不犹豫的：首先有必要指出它是在哪些数字之间得出的结论。例如，

$$\frac{61}{27} \text{ нахождение между } 2 \text{ и } 3,$$
$$\sqrt{2} \text{ » } 1 \text{ » } 2,$$
$$\pi \text{ » } 3 \text{ » } 4.$$

当然，仅指示这些数字中较小的一个就足够了：

$$\frac{61}{27} = 2 + x \quad (0 < x < 1),$$
$$\sqrt{2} = 1 + y \quad (0 < y < 1),$$
$$\pi = 3 + z \quad (0 < z < 1).$$

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请注意，这种估计与整数的表示方式无关，即与任何特定的数字系统无关。

将处理数字$\frac{61}{27}$。我们对“两个以上”的估计太粗略，仅适合作为第一近似值。如果我们想进行第二步，那么我们必须评估加法$x$。既然小于一，自然就用分子1表示为分数（我们再次诉诸“自然”，但这是最后一次）

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{1}{x_1}.$$

现在$x_1$大于1，我们再次重复相同的步骤：选择整个部分，等等。我们请读者仔细遵循这两个步骤的交替：

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{7}{27} = 2 + \frac{1}{27} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{6}{7}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7}} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}}}.$$

表达

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s},$$

其中$a_1, a_2, \dots, a_s$是自然数，$a_0$是自然数或零，称为连分数。

数字$a_0, a_1, a_2, \dots, a_s$称为连分数的元素*)。我们可以说我们已经将数字 $\frac{61}{27}$ 表示为连分数。

*) 有时它们被称为不可约商。

连分数表示法是不是太麻烦了？在我们的示例中，结果是三层楼的分数，但如果结果是二十层楼的分数，则它无法容纳在一张纸上。

这是事实，因此连分数使用不同的表示法条件。我们将使用这个：

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s} =$$

$$+ \frac{1}{a_s}$$

$$= [a_0; a_1, a_2, \dots, a_s].$$

请注意分号。她强调整个$a_0$的作用是特殊的，与其他数字不一样（特殊并不意味着更重要，在这种情况下，恰恰相反）。

是否可以说每个实数 *) 都可以用连分数表示，而且可以以唯一的方式表示？

首先，让我们考虑一下这个例子：

$$\frac{1}{6 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + 1}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}}}$$

或缩写符号

$$[0; 6, 4] = [0; 6, 3, 1].$$

这种转换（单位与最后一个元素的分离）可以用任何连分数来执行，其中最后一个元素与单位相区分。如果最后一个元素等于 1，则可以将其添加到倒数第二个元素。例如，

$$[1; 10, 3, 7, 1] = [1; 10, 3, 8].$$

然而，很容易证明这是造成歧义的唯一原因

*) 现在我们讨论的是不同的正数。负数的引入并没有改变问题的本质，但无理数的引入却改变了很多。这将在下面讨论。

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将有理数表示为整数分数。
可以证明：

1. 将有理数$\frac{p}{q}$（$p$和$q$互质自然数）转换为整数分数的过程在某个步骤结束。换句话说，任何正有理数都可以表示为$(\cdot)$。根据刚才所说的，这样的表示总是可能的，并且受到约束$a_s > 1$的约束。
2. 具有 $a_s > 1$ 和 $b_t > 1$ 的两个整数分数 $|a_0; a_1, \dots, a_s|$ 和 $|b_0; b_1, \dots, b_t|$ 彼此相等，当且仅当它们具有相同数量的元素时，即 $s = t$ 和 $a_i = b_i$ 与 $i = 1, 2, \dots, s$。
   我们不会证明这一点。我们文章的目的是解释主要思想并鼓励读者更深入地研究书中的问题*)。

4. 无限整数分数。那么无理数呢？让我们尝试展开成一个整数$\sqrt{2} = 1,4142\dots$。让我们波兰语：
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x_1},$$
   $$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1,$$
   $$x_1 = 2 + \frac{1}{x_2}, \quad x_2 = \sqrt{2} + 1 = x_1.$$
   很明显
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   其中 $x = \sqrt{2} + 1$

*) 这里遗漏的所有证明都可以在例如 A. Ya 的书中找到。辛钦《连续分数》，编辑。 1961 年 3 月。

我想马上写
$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}},$$
$$= [1; 2, 2, 2, 2, \dots].$$

也就是说，将 $\sqrt{2}$ 表示为无限整数分数。但这里需要极度谨慎：我们遇到了“无限小数”的新概念，但我们不知道它是什么。很容易理解，每个正无理数都对应着一个无限序列的完整定义
$$[a_0; a_1, a_2, \dots],$$
其中$a_0$是非负整数，所有$a_i$和$i \geqslant 1$都是自然数。我们稍后会研究适用于此的所有内容 *)，但现在让我们对我们所理解的内容感到满意：如何使用正数 $\alpha$ 构建其公式分解
$$\alpha \sim [a_0, a_1, a_2, \dots]$$
到有限或无限整数分数 **)。

5. 匹配分数。连分数可以通过保留元素$a_0, a_1, \dots, a_n$并丢弃$a_{n+1}, \dots$来终止。由此获得的结果称为$n$第合适分数，并用$\frac{p_n}{q_n}$表示。特别是，在 $n = 0$ 处，我们有一个零合适的分数 $\frac{p_0}{q_0} = \frac{a_0}{1}$。

我们会看到，$n$越小，相应的分数就越简单（即分母越小）。同时，它可以作为整数分数的近似值。

*) 该问题将在该杂志的下一期中进行全面讨论。
**) “~”是匹配符号。我们再加上一个等号，直到右侧符号的含义成立为止。

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例子。让我们再次将数字$\frac{61}{27}$分解为整数分数并形成合适的分数

$$\frac{p_0}{q_0} = 2,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [2; 3] = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [2; 3, 1] = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}} = \frac{9}{4},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [2; 3, 1, 6] = \frac{61}{27}.$$

当然，不同数字$\alpha$的最后一个合适的分数是$\alpha$。

我们已经获得了数字 $\frac{61}{27}$ 的几个逐渐近似值。为了评估它们，我们将它们替换为 $\frac{61}{27} \approx 2,259$。

第一个近似值 2，$\Delta = 0,259$ *)。

第二个$\frac{7}{3} = 2,333, \Delta = -0,074$。

第三个$\frac{9}{4} = 2,250, \Delta = 0,09$。

我们替换为误差减小（根据横坐标值）并且具有交替的符号。这是一般规则。

在分解为数字 $\sqrt{2} = 1,4142$ 的整数部分的情况下…我们得到

$$\frac{p_0}{q_0} = 1, \text{ погрешность } \Delta = 0,4142,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [1; 2] = \frac{3}{2} = 1,5, \Delta = -0,0858,$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [1; 2, 2] = \frac{7}{5} = 1,4,$$

$$\Delta = 0,0142,$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [1; 2, 2, 2] = \frac{17}{12} = 1,4167,$$

$$\Delta = -0,0025,$$

$$\frac{p_4}{q_4} = [1; 2, 2, 2, 2] = \frac{41}{29} = 1,4138,$$

$$\Delta = 0,0004.$$

我们在这里也看到了同样的图片。

*) $\Delta$-错误（参见第 17 页）。

6. 其合适分数的主要性质。现在让我们在没有证明的情况下制定适当分数的基本性质，这将导致我们的谜语的解决。

如果 $\frac{p_n}{q_n}$ 是数字 $\alpha$ 的合适分数，则横坐标错误

$$|\alpha - \frac{p_n}{q_n}|$$

与通过具有较小值的任何分数近似数字 $\alpha$ 时相比，变量 *)。

例如，在获得了 $\sqrt{2}$ 的合适分数 $\frac{p_3}{q_3}$ 后，我们可以确定将 $\sqrt{2}$ 近似为任何小于 12 的分数会更糟。

三．解决方案

7. 阿基米德之谜。让我们尝试将数字分解为整数

$$\pi = 3,14159265\ldots$$

$$\pi = 3 + 0,14159265\ldots =$$

$$= 3 + \frac{1}{7 + 0,00885145}.$$

*) 拟合分数在许多方面提供了极高的近似值。这里给出的属性不是唯一的，也不是最重要的。其他属性将在该杂志的下一期中讨论。

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在这个计算阶段，我们已经看到第一个合适的分数将是

$$\frac{p_0}{q_0} = 3, \quad \frac{p_1}{q_1} = \frac{22}{7}.$$

自己进行计算并确保

$$\pi \approx 13; \ 7, 15, 1, 288, 1, \dots.$$

$$\frac{p_2}{q_2} = \frac{333}{106}, \quad \frac{p_3}{q_3} = \frac{355}{113}$$

就是这样。多么简单啊！这张桌子揭示了阿基米德的秘密，同时也揭示了墨丘斯的秘密。从中你可以看到：

第一个近似值：$\pi \approx 3$。

第二次近似：$\pi \approx \frac{22}{7}$。

第三次近似：$\pi \approx \frac{333}{106}$。

第四次近似：$\pi \approx \frac{355}{113}$

（奇数近似值不足，偶数近似值过量）。

我们是否可以认为阿基米德和麦修斯已经暴露了：他们使用连分数，阿基米德使用第二个合适的分数，而麦修斯使用第四个？

不，阿基米德不能这么说。

应该清楚地理解，我们解决的是一个数学问题，而不是一个历史问题。我们解释了如何得出数字 $\frac{22}{7}$。

阿基米德很可能使用了连分数，但这不能从他的著作中得到证实。法院不会接受我们的论点。历史学家尚未达成共识。通过将七度音与其他各种音度进行比较，也可以凭经验发现七度音的优势。

墨子则是另一回事。令人难以置信的是，像 $\frac{355}{113}$ 这样复杂的分数无需理论就能找到。麦修斯很可能使用连分数。很明显，他选择第四个合适的分数的原因是：下一个礼物很麻烦，实际上无法使用。

8. 格列高利十三世之谜。首先我们想一下我们自己如何解决跨越闰年的问题。我们将一年的长度表示为连分数。

$$1 \text{ год} = 365^2 5^4 48^3 46^2 = 365,242199^2 = 1365; 4,7,1,3,5,20,6,12]^2.$$

但不是。 L是无理数。它分解成无限的整数分数。年份的值是经验值。任何经验量都只是在一定的精度下变化，谈论它的合理性或非合理性是没有意义的。上述年份值是常见的，我们应该认为它是准确的。它被表示为有限整数分数。

找到前几个合适的分数：

$$\frac{p_0}{q_0} = 365,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = 365 + \frac{1}{4} = 365 \frac{1}{4},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7}} = 365 \frac{7}{29},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1}}} = 365 \frac{8}{33},$$

$$\frac{p_4}{q_4} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}} = 365 \frac{31}{128}.$$

什么合适的分数可以解决日历问题。例如，近似 $365 \frac{1}{4}$ 可以得到凯撒大帝的解决方案：每四年有一个闰年。没有人建议使用 $365 \frac{7}{29}$ 近似，显然是因为下一个近似

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365/33 只是稍微复杂一点，但准确度明显更高。根据土库曼-波斯哲学家、数学家、天文学家奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam，1040-1123 年）提出的历法，每三十三年中有八年被视为高年。

有关所找到的真实 dinegadana 近似值的准确性的信息如下表所示。

| 进场号 | 高年交替 | 平均年长 | 错误 |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | 每 4 中 1 个高 | 365ᵃ 6ᵃ 00ᵃ 00ᵇ | -11ᵃ 14ᵇ |
| 2 | 7 》 》 》 29 | 365ᵃ 5ᵃ 47ᵃ 35ᵇ | +1ᵃ 11ᵇ |
| 3 | 8 》 》 》 33 | 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 05ᵇ | -19ᵇ |
| 4 | 31 》 》 》 128 | 365ᵃ 5ᵃ 48ᵃ 45ᵇ | +1ᵇ |

在“误差”栏中，减号表示该年的平均长度大于真实的长度。

第四个选项非常准确。 1秒内出错。没有实际意义。因此，有人建议使用这个日历。例如，1864年，俄罗斯天文学家梅德勒提议从20世纪开始在俄罗斯引入这样的历法。为此，需要对儒略历进行如下修正：每128年，跳过一个高楼年份（因为根据儒略历，每128年有32个高楼年份）。然而，这个历法并没有在世界任何地方被采用，显然是因为128周期是“非循环的”。

解决了数学问题，让我们回到历史问题。格列高利十三世（或他的幕僚）传达的信息是什么？

文章开头说公历年的平均长度是365天5小时。 49 分钟12秒。

该值与真实值相差 26 秒之多。事实证明，格列高利十三世或他博学的顾问想出了这个主意……

诺缪斯（他被称为天文学家阿尔方斯并非无缘无故）。这些表格在作者去世一百年后首次在威尼斯出版。他们给出了一年的长度：

1 年 = 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 16ᵇ。

使用这些表格，委员会应该能够得出这样的结论：拟议的日历年平均长度与真实长度仅相差四秒。如果委员会熟悉奥马尔·海亚姆的提议，就会得出他的日历出现 11 秒误差的结论。

我们补充说，没有理由假设格列高利十三世的委托使用了整数分数。她煞费苦心地在NOTE面孔中选择了所需的搭配。

至于奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam），科学家们认为，即使他没有完整的整分数理论，也拥有一些类似的基本方法来解决小值分数的最理性近似问题。在他的时代，东方科学在许多方面优于欧洲科学。