[习题 M1—M5; F1—F4]

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马泰马蒂克软件

M1。在总统米拉弗洛雷斯*统治的安丘里亚国家，新总统选举的时间已经临近。该国大约有2000万选民，其中只有百分之一（安丘里亚正规军）支持米拉弗洛雷斯。米拉弗洛雷斯自然希望当选，但另一方面他也希望选举显得民主。米拉弗洛雷斯所说的“民主投票”是这样的：所有选民被分成几个平等的组，然后每个组又被分成若干个平等的组，最后这些组又被分成相等的组，等等；在最小的群体中，选择该群体的代表 - 选举人，然后由代表选出选举人在更大的群体中投票，等等；最后，最大群体的代表选出一名代表。米拉弗洛雷斯按照自己的意愿将选民分为几组，并指导他的政党如何投票。他能否组织“民主选举”，从而当选总统？ （如果票数相等，反对派获胜。）

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*) 参见欧亨利，《国王与卷心菜》。作品选集，两卷，GIHL，1955 年，卷。 1，p。 7.

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下面是几道数学和物理题，从习题册«Kvant»开始。其中许多都是相当困难的。读者提出的这些问题的最佳解决方案将发表在期刊上。

M2。给定一个半径为 1 的球体。半径为 $r (n \geqslant 3)$ 的等圆$\gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_n$ 位于其上。圆$\gamma_0$接触所有圆$\gamma_1, \dots, \gamma_n$；另外，圆$\gamma_1$和$\gamma_2$互相接触； $\gamma_2$和$\gamma_3$； …; $\gamma_n$ 和 $\gamma_1$。在 $n$ 的情况下这可能吗？计算相应的半径$r$。

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捷克斯洛伐克人

图 1.

M3。在图1，飞机上布满了五位数的方块和鲜花。相同颜色的正方形的中心位于正方形网格的顶部。可以使用多少种颜色对平面进行类似填充？

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在 图 2 上，平面上覆盖着七种颜色的六边形，因此相同颜色的六边形的中心形成相同正三角形格子的顶点。类似的结构可以有多少种颜色？

笔记。在第一个问题中，颜色的数量可以是一种（所有方块都是相同的颜色）或两种（就像在棋盘上一样）。在第二个问题中，您可以轻松找到一种颜色和三种颜色的解决方案。建议给出问题的完整解决方案，即描述满足指定条件的所有颜色。

图 2.

洛维亚姆。但是，如果您感兴趣，请发送不完整的解决方案。例如，想一想，有十三种颜色可以解决第二个问题吗？

A·N·科尔莫多罗夫

M4。给定AB段。在平面上找到一组点 C，使得三角形 ABC 的中线
从顶点 A 绘制的高度等于从顶点 B 绘制的高度。

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M5。在由 n 个元素组成的集合 E 中，识别出 m 个不同的子集（不同于 E 本身），以便对于 E 的每两个元素，恰好有一个给定子集包含这两个元素。

证明m≥n。什么情况下可以实现平等？

N·布尔巴基

在物理学中

F1。三个连通水的容器，其中心彼此之间的距离a相同，覆盖有相同厚度、相同材料（图3）的活塞。垂直相同的杆连接到活塞，活塞枢转地连接到杆AB。如果与活​​塞和负载的质量相比，杆和杆的质量可以忽略不计，则可以在杆上的什么点处将负载连接到杆上，以便在平衡位置，杆保持水平。容器直径以 图 表示。

F2。质量为 m₁ 和 m2 的两个球位于水平面上，并紧固在一起