函授数学学校

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函授数学学校

苏联可能没有比这更大的学校了：毕竟，约有一万人在该校学习，他们生活在该国的不同城市和村庄。我们谈论的是莫斯科国立大学力学与数学学院的函授数学学校（CMS）。

它是在苏联著名数学家、苏联科学院通讯院士、学校科学委员会主席I. M. Gelfand的倡议下于1964年在莫斯科第二数学学校的基础上组建的。其主要目标是帮助小学生更好地掌握学校数学课程，发展他们的能力，并教他们如何使用书本。

每个月，学生们都会收到一次作业——小册子，其中概述了与学校课程相邻的数学部分，并包含许多有趣的问题*)。学生独立学习手册后，完成测试任务并将其发送给 ZMSH。莫斯科国立大学约500名师生和研究生对这些作品进行了检查和解决。

*) ZMSH 编制的一些任务以单独小册子的形式印刷在“物理和数学学校图书馆”系列（Nauka 出版社）中：这些是 I. M. Gelfand、E. G. Glagoleva、A. A. Kirillova 的“坐标法”，I. M. Gelfand、E. G. Glagoleva、E. E. Shnolya 的“函数和图形”， A. A. Kirillov 的《极限》，N. B. Vasilyev 和 V. L. Gutenacher 等人的《直线与曲线》。许多«Kvant»的读者都看过这些带有彩色封面和页边空白处有图画的小册子。

ZMSH 没有为大学生做准备的特殊目标，但除了一般作业外，ZMSH 还会向学生发送准备入学考试的材料。几乎所有 ZMSh 的毕业生在毕业后都成功参加了各种数学入学考试。他们中的许多人选择数学作为他们的职业。例如，莫斯科国立大学力学和数学学院二年级学生中有四分之一是 ZMSH 的应届毕业生。

ZMSH中有29部电影。他们是在教育机构和大学组织的，并根据总体计划开展工作。此外，ZMS工作还有另一种形式，称为“集体学生”。这是一个学校数学圈，在老师的指导下按照ZMS程序进行工作。任务被分成忙碌的圈子，然后每个参与者完成一个测试，由老师检查。此后，圈子起草一份共同的“集体作品”并发送给ZMS。目前，ZMS 大约有 350 个这样的圈子。

1965年，列宁格勒大学西北函授数学学院开始运作。 ZMSH - 莫斯科和列宁格勒 - 保持相互联系，并根据领土“划分”进入 ZMSH 的人员（参见入场规则）。现设有莫斯科物理技术学院物理数学函授学院、莫斯科国立大学物理学院ZPS等。

ZMSH 方法学家 J.M. Rabbom

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ZMSH 仅接受八年级学生。 ZMSH 不接受居住在莫斯科、列宁格勒及其郊区的学童。学校将于 9 月 1 日开始上课。

ZMSH 有两门课程。成功完成学业的学生将获得结业证书。学校教育是免费的。

本期«Kvant»提供了作为莫斯科国立大学和列宁格勒国立大学函授数学学校入门测试的问题。想要进入ZMSH的人必须在1970年3月10日之前提交这些问题的解决方案。检查完工作后（1970年6月左右），您将被告知是否已被ZMSH录取。

尽管一些入门问题在外观上与一般学校的问题有所不同，但解决这些问题不需要额外的数学知识。

为了被学校录取，没有必要无一例外地解决所有问题。在评估工作时，不仅会考虑解决问题的数量，还会考虑解决方案的质量。每个问题的解决方案必须是合理的。没有任何义务的答案可能不会被阅读。如果一项任务有多个可能的答案，则必须指出所有答案。

作业必须在学生笔记本上用俄语完成。参赛文件将不会被退回。

寄送时请勿将笔记本卷成管状。在与笔记本一起的信封中，您需要放入一张14厘米×6厘米的纸，上面写有您的邮政地址（我们在发送答案时会将其贴在信封上）。

将一张格子纸粘在笔记本封面上，按照以下图案画写（否则你的作业将不会被检查！）：

地区：
姓、名、出生年份：
学校[全名]：
班级：
姓、名、父名老师
数学：
父母的工作地点和职位：
常用邮政地址：

沃洛多斯卡亚。
伊万诺夫·彼得，1952
2号学校托玛.
八年级“B”。

尼卡诺夫·尼古拉·阿列克谢耶维奇。
父亲是 1 路公交车的司机。 3、
母亲是一位家庭主妇。
托马，圣。列宁娜，3 岁，公寓。 8.

检查结果
（由检查员填写）

居住在阿尔汉格尔斯克、沃洛格达、加里宁格勒、列宁格勒、摩尔曼斯克、新西伯利亚、普斯科夫地区、科米和卡累利阿苏维埃社会主义自治共和国、白俄罗斯、拉脱维亚、立陶宛和爱沙尼亚苏维埃社会主义共和国的学童必须将作业寄至以下地址：Leningrad, P-228, st. Savushkina，61 岁，列宁格勒国立大学专科学校。函授学校。去比赛。

居住在苏联其他地区和资源区的学童必须将作业发送至以下地址：Moscow, V-234, 莫斯科国立大学，力学和数学，ZMSH。去比赛。

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ZMSH 1970入口控制测试

1. 数学家手里拿着一根棍子和一顶帽子，以比溪流速度快一倍半的速度沿着上游的溪岸走回家。有时，他会把帽子扔进小溪里，用棍子把它弄乱，然后继续以同样的速度逆流而上。过了一会儿，他发现了错误，把棍子扔进小溪里，然后以比杂乱中的帽子快两倍的速度跑回来。追上梅帽后，他立刻将其从水中捞出，转身以原来的速度顺着水流行走。 10分钟后，他遇到了一根漂浮在溪流中的棍子。如果他没有把棍子和帽子搞混的话，他会提前多少时间回家呢？

2. 对于每个三角形ABC，是否存在一个点P，使得所有三个点（相对于直线AB、BC和AC对称的点P）都位于三角形ABC的外接圆上？

3. 对于什么 a 值，方程 ax² + x - 2 = 0 的根之差等于 3？

4. 该学生在五年的学习中参加了 31 次考试。随后的每一年，他通过的考试都比前一年多。第五年第二次考试比第一年多。第四年有几次考试？

5. 等体积梯形的底长分别为4厘米和8厘米，面积为21平方厘米。角的小底与梯形的大底、小底或侧边相交于哪一侧？

6. 一个完全平方数的四位数的所有数字都可以减去同一个数，这样结果就是一个完全平方数的四位数。找出所有这样的数字。

7. 凸四边形内一点到其所有顶点的距离之和是否可能大于其周长？

8. Ch.城里赫赫有名的三名歹徒之一。以阿奇、老板和韦斯利的绰号偷了一个装有钱的公文包。审讯过程中，三人分别作了三项供述：

   阿奇：1）我没有拿公文包。
   2) 盗窃案发生的那天，我离开了Ch.城市。
   3) 韦斯利偷了公文包。

   老板：1）韦斯利偷了公文包。
   2) 即使我接受了，我也不会承认。
   3) 我已经有很多钱了。

   韦斯利：1）我没有拿公文包。
   2) 我长期以来一直在寻找一款好的公文包。
   3) 阿奇说得对，他离开了Ch。

调查过程中发现，每个歹徒的三份陈述中，两份属实，一份不正确。谁偷了公文包？

9. 找到整数 x 和 y，使得 x > y > 0 且 x3 + 7y = y3 + 7x。

10. 一个 100 m × 100 m 的正方形区域，排列着 1 m × 1 m 的方形瓷砖，有四种颜色：白色、红色、黑色和灰色 - 以便两个相同颜色的瓷砖不会相互碰撞（即没有共同的侧面或顶部）。总共可以有多少个红立特？

11. 求解方程 (x² + 6x - 4) (x² + 6x - 3) = 12。

12. 给定三角形ABC。找到分别位于AB 和BC 边上的点K 和H，使得BK = KH = HC。

13. 找出所有数 p 使得 p² + 13 也是素数。